СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Яхина Рита Альфировна, преподаватель компьютерных дисциплин, председатель методической цикловой комиссии «Информационные системы», Отличник образования Республики Башкортостан

CИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел. Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел

Несмотря на то, что исторический человек привык работать в десятичной системе счисления, с технической стороны зрения она крайне неудобна

Дело в том, что в компьютере имеются всего два устойчивых состояния работы микросхем, связанные с прохождением электрического тока через данное устройство или его отсутствием

Эти состояния кодируются соответственно (1 и 0). Именно поэтому вся информация в компьютере представляется в двоичной форме – с помощью «нулей» и «единиц».

В восьми двоичных разрядах, можно записать 2 8 = 256 различных двоичных чисел – от до

Восьми двоичных разрядов вполне достаточно для того, чтобы дать уникальное (неповторяющееся) 8 – битовое обозначение всем символам, которые мы видим на клавиатуре компьютера

Таблица кодирования символов 8 битовыми числами называется кодовой таблицей символов ASCII (American Standard Code Information Interchange – американский стандартный код для обмена информацией)

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Система счисления – способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ позиционные не позиционные

НЕПОЗИЦИОННЫЕ Непозиционная система счисления – система счисления, в которой величина цифры не зависит от занимаемой позиции

Исторически непозиционные системы счисления появились первыми. НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Из многочисленных представителей этой группы в настоящее время сохранила свое значение лишь римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

РИМСКАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ IVXLCDM

ПРАВИЛА ЗАПИСИ ЧИСЕЛ В РИМСКОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

1. Если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI =6 2. Если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае цифра уже повторяться не может, например: XL = 40

3. Цифры M, C, X, I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд 4. Цифры D, L, V могут использоваться в записи числа только по одному разу

Запись числа ХХХ обозначает число 30, состоящее из трех цифр Х, каждая из которых, независимо от места ее положения в записи числа, равна 10 Запись MCXXIV обозначает 1124

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число - MMMCMXCIX (3999)

Задача Выполните действия и запишите результаты римскими цифрами: 1. XXII – V 2. XX : V 3. CV – LII 4. X * IV 5. IC + XIX 6. LXVI : XI 7. MCM + VIII 8. XXIV * VII

Ответы: 1. XXII – V = XVII (22 – 5 = 17) 2. XX : V = IV (20 : 5 = 4) 3. CV – LII = LIII (105 – 52 = 53) 4. X * IV = XL (10 * 4 = 40) 5. IC + XIX = CXVIII ( = 118) 6. LXVI : XI = VI (66 : 11 = 6) 7. MCM+VIII = MCMVIII ( = 1908) 8. XXIV*VII = CLXVIII (24 * 7 = 168)

НЕДОСТАТКИ НЕПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В них нельзя записать любое число В них нельзя записать любое число Запись чисел обычно громоздка и неудобна Запись чисел обычно громоздка и неудобна Затруднены математические операции Затруднены математические операции

ПРИМЕНЕНИЕ НЕПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Позиционная система счисления – система счисления, в которой величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Основание позиционной системы счисления – количество используемых цифр

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Разряд числа – местоположение цифры, содержащейся в записи числа Вес разряда – единицы, десятки, сотни и т.д.

Арабские цифры включая ноль, которыми мы пользуемся в настоящее время, а также запись чисел в десятичной системе счисления были изобретены в индии около 600 г. н.э. Первыми о них узнали арабы, которые в VII – VIII веках завоевали обширные районы Азии и Средиземноморья. Поскольку Европа узнала о них от арабов, цифры стали называться «арабскими» АРАБСКИЕ ЦИФРЫ

Правила выполнения арифметических действий в десятичной системе счисления впервые были разработаны выдающимся узбекским математиком и астрономом Мухаммедом аль – Хорезми (780 – 850 гг. н.э.) и описаны им в труде, который назывался «Книга о сложении и вычитании по исчислению индийцев»

Мухаммед Аль-Хорезми ( н.э.) - основатель алгебры. От его имени произошел термин "алгоритм", также он автор значительной работы в области географии

Поскольку он был первым, кто на примере простых арифметических операций сформулировал, что определенная последовательность действий приводит к конечному результату, много позже в его честь это понятие стали называть «алгоритмом» Поскольку он был первым, кто на примере простых арифметических операций сформулировал, что определенная последовательность действий приводит к конечному результату, много позже в его честь это понятие стали называть «алгоритмом»

ПОЗИЦИОННАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Алфавит десятичной системы счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Каждая цифра несет двойную нагрузку: 1. Собственное значение 2.Место, которое оно занимает в записи числа (разряд) 1111=1* * * *10 0 Рассмотрим число 1111

В позиционных системах счисления местоположение символа в записи числа называется разрядом В десятичной системе счисления мы имеем дело с разрядами единиц, десятков, сотен и т.д.

В других системах счисления, например, в двоичной системе счисления, нет специальных названий разрядов, и их назначение определяется весом разряда

Вес каждого разряда определяется как основание системы счисления в степени, равной номеру разряда Например: Например: 2 1, 2 2, 2 3 и т. д. 2 1, 2 2, 2 3 и т. д. При представлении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с 0 При представлении целых чисел нумерация разрядов идет справа налево, начиная с 0 Для дробной части нумерация идет слева направо, начиная с 1 Для дробной части нумерация идет слева направо, начиная с 1

РАЗРЯДНАЯ СЕТКА СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Любое число, независимо от основания системы счисления, образуется как сумма произведений цифр числа на вес соответствующих разрядов =5* * * *10 0

РАЗВЕРНУТАЯ ФОРМА ЗАПИСИ ЧИСЛА

О преимуществах двоичной системы счисления с точки зрения организации работы компьютера мы уже знаем. Тогда зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной системы, в которой человек привык работать? О преимуществах двоичной системы счисления с точки зрения организации работы компьютера мы уже знаем. Тогда зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной системы, в которой человек привык работать?

Число 255, переведем его в другие системы счисления с основаниями кратными двойке: Число 255, переведем его в другие системы счисления с основаниями кратными двойке: = = = FF 16

Хорошо видно, что чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи, то есть тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют запись чисел в 8- и 16 – ричной системах счисления. Хорошо видно, что чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи, то есть тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности. Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют запись чисел в 8- и 16 – ричной системах счисления.

Десятичная ДвоичнаяВосьмеречная Шестнадцатеречная Числа в четырех наиболее распространенных системах счисления

Десятичная ДвоичнаяВосьмеречная Шестнадцатеречная A B C D E F

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА ЧТО ЖЕ ОСТАЛОСЬ ОТ ДРУГИХ ДРЕВНИХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ? 12 – речная – 12 месяцев в году, циферблат современных часов разбит на двенадцать интервалов, тарелки и вилки принято считать дюжинами(12) и т.д. 60 – речная (древний Вавилон) – измерение временных интервалов (1 час = 60 минут, 1 мин = 60 секунд) и угловых величин (10 = 60' 1' = 60'')/ 7 – речная – 7 дней в неделе и.т.д.

ОБЩИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВСЕХ ПОЗИЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ 1. При каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления 2. При каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления

Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием n нужно иметь алфавит из n цифр. Обычно для этого при n 10, к арабским цифрам добавляют буквы.

Основание НазваниеАлфавит n = 2 Двоичная 0 1 n = 3 Троичная n = 8 Восьмеречная n = 10 Десятичная n = 16 Шестнадцатер ичная A B C D E F Алфавит некоторых систем счисления

Задача: 1. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны следующие числа? 10, 21, 201, 1201 Ответ: Минимальное основание системы счисления – 3

Задача: 2. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны следующие числа? 403, 561, 666, 125 Ответ: Минимальное основание системы счисления – 7

Задача: 3. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней могут быть записаны следующие числа? 22, 984, 1010, А219 Ответ: Минимальное основание системы счисления – 16

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ ПРАВИЛА ПЕРЕВОДА

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Чтобы двоичное число представить в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, число разбивается на три двоичных разряда (триада) и на четыре двоичных разряда (тетрада), начиная с младших разрядов и записывается его 8 –ричным и 16 – ричным эквивалентом Если до полной триады и тетрады не хватает чисел, то триада и тетрада дополняются нулями

Перевести число из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления А 8 А 16 Результат: = = = 5D 16 D Результат: = 5D 16

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ Целые числа из десятичной системы счисления в любую другую переводятся путем последовательного деления на основание той системы, в которую оно переводится. Процесс деления продолжается до получения «0» Для получения числового значения результата цифры записываются в обратном порядке.

Перевести число 21 из десятичной счисления в двоичную систему счисления А 2 Результат: = Проверка: = 1* * * * *2 0 = = 21 10

Перевести число 181 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления А 8 Результат: = Проверка: = 2* * *8 0 = 2*64 + 6*8 + 5*1 =

Перевести число 622 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления Результат: = 26Е 16 ЗАДАНИЕ 1

Перевести число 622 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления Результат: = ЗАДАНИЕ 2

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления производится путем последовательного умножения начиная со старших разрядов, на основание системы счисления из которого переводится, и последовательным прибавлением следующих разрядов и так до самого младшего разряда.

Перевести число 125 из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления А 10 Результат: = Проверка: = 8* *10 0 = 80+5 = 85 10

Перевести число 2312 из четверичной системы счисления в десятичную систему счисления А10 Результат: = Проверка: 2* * * *4 0 = 2*64 + 3* = =

Перевести число 342 из шестеричной системы счисления в десятичную систему счисления: А 10 Результат: = ЗАДАНИЕ Проверка: = 3* * *6 0 = =

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ЛЮБУЮ ДРУГУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления производится путем последовательного умножения дробной части на основание системы счисления в которое переводится да получения нулевого результата или требуемого количества цифр. Результат записывается в прямом порядке

Если целая часть < 0 Перевести число 0,75 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления: 0,75 10 А 2 Результат: =

Перевести число 0,32 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления: А 8 Результат: =

Если целая часть > 0 1. Число разбиваем на целую и дробную часть 2. Целую часть делим на то основание в которое переводим, дробную часть – умножаем на то основание в которое переводим

Перевести число 65,84 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления: А 2 Результат: = Результат: = Ответ: = =

Таким образом, для перевода дробных чисел из десятичной системы счисления в любую другую систему счисления необходимо перевести целую часть и отдельно перевести дробную часть

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДЕСЯТИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ Производится путем последовательного деления на основание системы счисления, в котором число находится, начиная с младших разрядов и последовательным прибавлением следующей цифры исходного числа и так до самого старшего разряда

Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления А 10 Результат : =

Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления А 10 Результат: =

ПЕРЕВОД ДВОИЧНОЙ ДРОБИ В ВОСЬМИРЕЧНУЮ И ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНУЮ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ Число разбивается на три двоичных разряда (триада) и на четыре двоичных разряда (тетрада), вправо от запятой и каждая триада и тетрада записывается его 8 –ричным и 16 – ричным эквивалентом При необходимости неполные крайние левые и правые триады и тетрады дополняются нулями

Перевести А 8 Результат: =

Перевести А 16 Результат: = 7FB.9C 16

Задачи: Перевести следующие числа: А 8 () А 4 () 3. АВС.1А 16 А 8 () А 2 () А 2 () А 7 () А 6 () А 3 () А 2 () А 16 ()

Задачи: Перевести следующие числа: А А 4 3. АВС.1А 16 А А А А А А А А 16

Домашнее задание: Перевести следующие числа: А А 4 3. АВС.1А 16 А А А А А А А А 16

ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ ТЕСТОВЫЙ КОНТРОЛЬ