Куперовские пары. Энергия связи и радиус. Теория БКШ. Гамильтониан БКШ. Волновая функция БКШ Куперовские пары

Притяжение между частицами Основное состояние свободного газа электронов соответствует заполнению всех одноэлектронных уровней энергии вплоть до некоторой энергии – энергии Ферми Такое состояние является неустойчивым при наличии сколь угодно слабого притяжения между частицами Рассмотрим систему из двух электронов на фоне электронного газа в системе отсчета, в которой их центр масс покоится. Волновая функция системы: Согласно принципу Паули Уравнение Шредингера 2.

Притяжение между частицами Уравнение Бете – Голдстоуна: Если взаимодействие V отвечает притяжению, то возможны также решения, соответствующие некоторым связанным состояниям с энергиями E

Притяжение между частицами Условие само согласованности: Вводя замену переменных, имеем: В пределе малых энергий: В пределе слабого взаимодействия: 4.

Задача о двумерной яме Отсутствие порога по взаимодействию подтверждается сопоставлением с задачей о двумерной потенциальной яме Найдем энергию связанного состояния в мелкой двумерной потенциальной яме и сравним с энергией связи электронов в куперовской паре. Энергия связанного состояния подчиняется следующему трансцендентному уравнению: В случае мелкой ямы имеем: 5.

Пропускание тока через сверхпроводник Уравнение для энергии пары: Учитывая, что получаем уравнение на энергию связи: В линейном приближении имеем: 6.

Учет кулоновского отталкивания Уравнение для фурье-компоненты волновой функции пары: Введем обозначения: Один штрих соответствует интегрированию по области электрон- фононного взаимодействия, два штриха – по области кулоновского отталкивания Получаем: 7.

Теория БКШ Волновая функция N электронов: Фурье-компонента функции пары: Для полной функции Введем операторы вторичного квантования с коммутационными соотношениями Тогда 8.

Теория БКШ Рассмотрим производящую функцию Среднее число частиц: Относительные флуктуации числа частиц очень малы: 9.

Теория БКШ Для нахождения энергии основного состояния необходимо минимизировать выражение Кинетическая энергия: Потенциальная энергия: Выражение для кинетической энергии легко преобразуется: Члены, отвечающие куперовскому спариванию в потенциальной энергии: 10.

Теория БКШ Разложим волновую функцию на два слагаемых: Тогда Положим Имеем: Минимизация: 11.

Теория БКШ Определим Тогда Получаем уравнение: Уравнение всегда имеет решение, соответствующее газу невзаимодействующих электронов: 12.

Теория БКШ Уравнение имеет и нетривиальные решения Рассмотрим упрощенное взаимодействие: Находим: Отсюда Решение этого уравнения существует лишь при положительных V 13.

Теория БКШ В пределе слабой связи Теперь можно вычислить кинетическую и потенциальную энергии: Разность энергий конденсированного и нормального состояний: Вероятность нахождения электрона в состоянии для конденсированной фазы: 14.

Теория БКШ Распределение электронов по импульсам: Амплитуда конденсации в состояние k: 15.