Спиновые операторы. Матрицы Паули. Квантовые спиновые модели Спиновые системы. Квантовые спиновые модели

Спиновые операторы Причиной наличия магнитных степеней свободы у различных веществ являются некомпенсированные спины либо электронов на верхних орбиталях, либо ядер атомов Коммутационные соотношения: Для какой-либо одной из проекций оператора спина и оператора квадрата спина всегда имеется общая система собственных функций Понижающие и повышающие операторы: 2

Матричные элементы спиновых операторов Операторы квадрата спина и z -проекции спина на узле диагональный в удельном базисе: Для других операторов: 3

Матрицы Паули В важном частном случае для спина с максимальной проекцией 1/2 его компоненты часто более удобно выразить через матрицы Паули: Действие повышающих и понижающих матриц эквивалентно действию операторов рождения и уничтожения в ферми-статистике или в статистике hard-core: 4

Квантовые спиновые модели Взаимодействие спинов с внешним магнитным полем: Взаимодействие спинов между собой – обменное взаимодействие: Два электрона, локализованных на соседних узлах решетки: Кулоновская энергия взаимодействия двух электронов на узлах: 5

Квантовые спиновые модели Ферромагнитное упорядочение: Антиферромагнитное упорядочение: 6

Квантовые спиновые модели Модель Гейзенберга учитывает взаимодействие системы узел иных спинов между собой и с внешним полем: Анизотропные магнетики: Ось легкого намагничивания: Плоскость легкого намагничивания: XYZ-модель: 7

Квантовые спиновые модели XXZ-модель: XY-модель – предельный случай XXZ-модели: Модель Изинга – другой предельный случай XXZ-модели: XXX-модель – полностью изотропная модель Гейзенберга: 8

Квантовые спиновые модели Магнитный кластер 9

Гамильтонова матрица для спиновой модели Фиктивные бозоны или псевдо бозоны: Слагаемые гамильтониана, дающие диагональныйй вклад в гамильтонову матрицу: 10

Гамильтонова матрица для спиновой модели Слагаемые гамильтониана, дающие недиагональныйй вклад в гамильтонову матрицу: Расчет корреляторов по основному состоянию системы: Каждая собственная волновая функция гамильтониана представляет собой линейную комбинацию исходных узел иных функций: Матричные элементы операторов в удельном базисе известны, поэтому 11

Инварианты в спиновых моделях Модель Гейзенберга с внешним полем, направленным вдоль оси z : В системе сохраняется проекция полного спина системы на ось z : Гамильтонова матрица разбивается на блоки, стоящие на главной диагонали и отвечающие различным суммарным проекциям спина, все элементы вне этих блоков равны нулю: 12

Инварианты в спиновых моделях Пример В системе 27 базисных состояний: Задача распадается на группу отдельных задач для каждого значения суммарной проекции спина 13