Фракталы Геометрическое особенности строения материалов Лекция 12 Химический факультет ННГУ 4 курс, 9 семестр Федосеев Виктор Борисович профессор кафедры физического материаловедения физического факультета ННГУ

СТРУКТУРА ВОДЫ Дисциллят Лёд Антарктиды Вода озера в Японии

ВЛИЯНИЕ МУЗЫКИ НА СТРУКТУРУ ВОДЫ Вода из реки БетховенHeavy Metal Танец KAWACHIБах Тибетская сутра

Тайны природы: наука или вера? 13 Образец водопроводной воды Shinagawa, Токио. 14 Тот же образец после того, как 500 инструкторов ХАДО по всей Японии одновременно послали добрые мысли ему. 15 Вода, взятая из озера Fujiwara, перед молитвой. 16 Кристалл воды после молитвы буддистского первосвященника Като 17 Слова «Любовь и благодарность», произнесенные на … языке. 18 Слова «Любовь и благодарность», произнесенные на … языке. 19 Слова «Любовь и благодарность», произнесенные на … языке. (английском, японском, немецком) элементарное объяснение физической природы этого явления: …мозг, состоит на 90% из воды + может изменять структуру вакуума… (остальные 10% - пустота?!!)

Основные определения Симметрия – инвариантность (лат. invarians -- неизменяющийся) относительно геометрических преобразований (вращения, трансляции, отражения) Самоподобие – инвариантность при изменении масштабов или размеров Скейлинг – (анг. scaling – пересчет, определение масштаба ) масштабная инвариантность фрактал - это множество с дробной размерностью Фрактал -- (лат. fractus – ломанный, дробный) некое образование, самоподобное или само аффинное в том или ином смысле. (Мандельброт). "Определение позволяет охватить множество объектов, достойных называться фракталами. Любое более строгое определение отсекает какой- нибудь класс объектов, сужая мир фракталов" Мандельброт

Как описать неправильные фигуры Правильные (сфера) неправильные Длина

Есть ли аналоги в физике и химии ? определения Скейлинговый закон (степенной закон) – выражения общего вида Const – численная константа, a – множитель уравнивающий размерности, d – показатель степени пример: Флори: Радиус инерции клубка R, образованного гибкой полимерной цепью в хорошем растворителе зависит от степени полимеризации N

определения Размерность Хаусдорфа (– Безиковича) N – число элементов шагов r – размер элемента (длина шага) пример: береговая линия Норвегии имеет размерность D=1.52, а береговая линия Англии – D=1.3 Чья граница более извилиста? Чем короче шаг r, тем больше шагов N

определения фрактальная структура – непрерывный объект или совокупность кластеров, заполняющий все пространство системы фрактальный кластер – объект, ограниченный в пространстве, не зависящий от размера системы

Почему существуют фракталы? микроканонический ансамбль ……… ……… Так же как и при рассмотрении дисперсных систем можно построить ансамбль состояний дисперсной частицы с разными конфигурациями Вероятность отклонения от сферической конфигурации очень велика Даже оставив в ансамбле частицы, энергия которых почти не отличается от сферической частицы, можно утверждать, что

…

Фрактальная размерность как термодинамический параметр условие сохранения количества вещества в системе число мономеров, образующих дисперсную систему, при любых взаимодействиях между дисперсными частицами постоянно.

Фрактальная размерность как термодинамический параметр При образовании круговой дислокационной петли радиусом r энергия кристалла возрастает на величину G модуль упругости, b вектор Бюргерса, - постоянная Пуассона, стехиометрическое число дефекта, равное количеству перемещенных атомов, L протяженность дислокационной линии. Величину U можно интерпретировать как энергию образования круговой дислокационной петли.

Фрактальная размерность как термодинамический параметр При образовании фрактальной дислокационной петли "радиусом" r энергия кристалла увеличивается на G модуль упругости,b вектор Бюргерса, - постоянная Пуассона, стехиометрическое число дефекта, равное количеству перемещенных атомов, L протяженность дислокационной линии Фрактальная размерность дислокационной петли связывает протяженность линии дислокации и (или) радиус петли со стехиометрическим числом и определена как.

Фрактальная размерность как термодинамический параметр Чем сложнее (извилистее или шероховатее) линия дислокации, тем меньше величина ее фрактальной размерности. Чем меньше фрактальная размерность, тем больше радиус, протяженность, периметр объекта, тем больше энергия образования дислокации Для круговой петли D=2. L – протяженность дислокации, -- число атомов или вакансий, её создавших

Фрактальная размерность как термодинамический параметр Чем сложнее (извилистее или шероховатее) поверхность, тем меньше величина фрактальной размерности Чем меньше фрактальная размерность, тем больше диаметр, протяженность, периметр объекта + тем меньше плотность объекта + тем больше энергия образования Для сферических и кристаллических включений D = 3 S – поверхность, -- число атомов или вакансий, создавших объект

Фрактальная размерность как термодинамический параметр Та же функция распределения для фракталов d – фрактальная размерность Функция распределения петель по размерам

Фрактальная размерность как термодинамический параметр При образовании фрактальной дислокационной петли "радиусом" r энергия кристалла увеличивается на G модуль упругости,b вектор Бюргерса, - постоянная Пуассона, стехиометрическое число дефекта, равное количеству перемещенных атомов, L протяженность дислокационной линии Фрактальная размерность дислокационной петли связывает протяженность линии дислокации и (или) радиус петли со стехиометрическим числом и определена как

Замкнутые линии с разной фрактальной размерностью, охватывающие одинаковую площадь как пример дислокационных петель

Фрактальная размерность как термодинамический параметр Функции распределения по размерам для дислокационных петель с разной фрактальной размерностью: идеальная форма D =2 ( круговые петли ); шероховатая форма D=1.9; разветвленная форма D=1.8. Чем меньше объект, тем правильнее форма

Фрактальная размерность как термодинамический параметр Идеальная геометрическая форма шероховатая форма разветвленная форма Изменение средней фрактальной размерности дислокационных петель в зависимости от их размера. Чем крупнее объект, тем сложнее ("интереснее" или "противнее") его форма 4-е Начало термодинамики

Утверждение Образование дефектов неправильной формы термодинамически оправдано: оно способствует уменьшению свободной энергии дисперсной системы и в состоянии термодинамического равновесия, и на пути к нему.

Утверждение Геометрическая форма дефектов является функцией термодинамических условий. Это дает возможность управления структурными характеристиками материала. А как?

Чем ниже температура, тем правильнее форма

Давление мало влияет на форму

простейшие закономерности Чем крупнее размер частиц, тем выше среди них доля фракталов. Вероятность существования в дисперсной системе большой частицы с идеальной геометрической формой мала. Чем крупнее размер частиц, тем сложнее их геометрическая форма – меньше их фрактальная размерность. Фрактальная размерность полидисперсной системы не может быть охарактеризована единственным числом. Дефектная структура, содержащая элементы разного размера, должна быть мульти фрактальной. С повышением температуры средняя фрактальная размерность дефектов существенно уменьшается – геометрическая форма частиц усложняется. С ростом давления средняя фрактальная размерность дефектов дислокационного типа незначительно возрастает. (Для дефектов, имеющих большой собственный объём, например: вакансионные и газонаполненные поры, зависимость от давления может оказаться более существенной.)

Зависимость фрактальной размерности кластеров, от способа агрегации частиц Модель агрегации Вероятность присоединения, Р Фрактальная размерность кластера, D d = 2d = 3 Частица кластер, линейная траектория Р = 1,002,003,00 Частица кластер, броуновское движение Р = 1,001,682,46 Частица кластер, броуновское движение Р = 0,251,712,48 Частица кластер, броуновское движение Р = 0,101,73 Кластер кластер, линейная траектория Р = 1,001,541,94 Кластер кластер, броуновское движение Р = 1,001,441,77 Кластер кластер, химически лимитированная агрегация Р = 1,001,592,11

Фрактальные кластеры, выращенные электроосаждением цинка и на компьютере Изменится ли форма кластера, если во время электроосаждения Zn а) на ногу технологу упадет коробка с электродами, б) мимо пробежит секретарша начальника цеха

Пленки хитозана

шлифы

Зависимость фрактальной размерности рельефа поверхности аустенитной нержавеющей стали от числа циклов нагружения N. N0 – число циклов до разрушения образца. Фрактальная размерность как характеристика усталости поликристаллов металлов Кузнецов П.А., Петракова И.В., Шрайбер Ю. // Физическая мезомеханика. 7. С Почему получилось так красиво? Почему D > 2 ?

Алгоритм анализа полутоновых изображений а)преобразование исследуемого изображения в монохромное; б)выделение на изображении квадратного фрагмента; в)(при необходимости) устраняется градиент освещенности и выполняется нормировка яркости; г)полученное полутоновое изображение отображается в бинарную матрицу: точкам с яркостью, превышающей заданный порог P (0 P 255), присваивается значение 1, остальным 0; д)вычисляется зависимость вида S – площадь "белой" области, равная числу окрашенных ячеек матрицы, L – линейный размер изображения (ранг матрицы), A – размерный множитель, D – фрактальная размерность. Зависимость находили методом наименьших квадратов используя серию бинарных изображений, полученных понижением размера исходного изображения в 2, 4, 8 и более раз, окрашивая точки, накрывающие хоть одну окрашенную точку исходного изображения. Что такое МНК?

Алгоритм анализа фрактальной размерности по фотографиям a Шум + b Фрактал = с Фрактал d Шум = … Шум Фрактал D Порог интенсивности P Особенности функции D(P) указывают на присутствие фрактальных объектов. Погрешность зависимости S=AL D подтверждает, что объект обладает фрактальными свойствами Ступеньки, перегибы, горбы

Пример расчёта фрактальной размерности Мишакин В.В. Испытания на многоцикловую усталость

Пример: результат расчёта фрактальной размерности – многоцикловая усталость стали

Исходное изображение P=190, D=1.741, A=1.98P=100, D=1.793, A=1.79 Фрактальная размерность (плёнка хитозана)

D Яркость D Исходное изображение P=190, D=1.713, A=1.595 P=40--80, D=1.936, A=1.079 Фрактальная размерность (плёнка хитозана)

Фрактальная размерность структур, образующихся в плёнках хитозана БК, мас.% в растворе ХТЗ, мас.% в растворе Условия медленная сушка, (н.у. 8–14 суток) н.у. быстрая сушка (Т=65 о С) прозрачны (1.55) прозрачны (1.85) прозрачны (1.67) прозрачны (1.90)1.83 прозрачны прозрачны (1.75–1.82) прозрачны ; 1.88 прозрачны пленки ХТЗ, содержащие БК, имеют более высокие прочностные характеристики чем пленки ХТЗ, полученные из растворов уксусной кислоты Растет с ростом концентрации

Фракталы Как "простому не металлофизику" в этом разобраться

Теория перколяции Когда кластер, образованный случайно занятыми узлами коснется противоположных стенок, произойдет перколяция (лат percolate – протекать насквозь) Объекты: фильтры, проводники, защитные покрытия

Теория перколяции Наименьшая плотность занятых узлов, при которой бесконечная решетка перколирует, называется критической плотностью, или порогом перколяции. Порог перколяции для узлов квадратной решетки близок к 0, Помимо перколяции по узлам существует перколяция по связям.: Все узлы решетки одинаковы, между соседними узлами с некоторой вероятностью могут возникать «связи». Здесь перколяция означает непрерывную цепь связей от одного края решетки до другого. Порог перколяции связей для бесконечной квадратной решетки 0.5.

Наблюдения Таблица Критическая концентрация узлов и связей для основных перколяционных решеток Размерность ЗадачаЗадача Решетка задачи, d УЗЛОВ, Хссвязей, Хс Квадратная 20,5900,500 Треугольная 20,5000,347 Шестиугольная 20,7000,653 Простая кубическая 30,3100,250 Кубическая ОЦК30,2430,178 Кубическая ГЦК30,1950,120 Гексагональная ПУ30,2000,124

Примеры использования в химии Черкасова В.А., Тарасевич Ю.Ю. Ориентированная перколяция димеров на простой кубической решетке // Матем. моделирование, 2009, том 21:8, 100–107 (Астраханский государственный университет) Предложена и исследована модель, описывающая ориентирован- ную перколяцию неточечных объектов – димеров (иголок дли- ной 2) на простой кубической решетке. Определен порог перко- ляции (фазового перехода золь–гель при наличии внешних упорядочивающих факторов) для димеров, лежащих в плоскости в одном направлении р= ± , а для димеров, лежащих в плоскости в двух направлениях р= ± Найдена оценка максимально плотной случайной упаковки молекул в гелевой фазе (порог джемминга) для однонаправленной перколяции и для двунаправленной перколяции димеров на кубической решетке.

Задание к экзамену Что такое порог джемминга?