Геометрическое моделирование трехмерных объектов.

аналитическая модель векторно-полигональная модель (полигональная сетка) Два типа геометрических моделей трехмерного объекта:

Аналитическая модель s и t – параметры, которые изменяются в определенном диапазоне определяют форму поверхности Недостатки: алгоритмы для работы с бикубическими объектами существенно сложнее алгоритмов, имеющих дело с многоугольниками. Общая каноническая форма уравнения поверхности 2-го порядка: Общая параметрическая форма уравнения поверхности имеет вид: Например, для сферы: Например, для сферы: x 2 + y 2 + z 2 = R 2,где R – радиус сферы, B – широта, L – долгота.

Полигональной сеткой является совокупность связанных между собой плоских многоугольников. Полигональные сетки (векторно-полигональная модель) Недостатки: при использовании большого числа многоугольников для улучшения кусочно-линейных аппроксимаций объекта увеличиваются затраты памяти и вычислительное время.

Способы изображения объектов Каркасная (проволочная) модель Закрашивание объектов для имитации отражения света, затемнения, прозрачности, использование текстур Показ поверхностей в виде многогранников с плоскими гранями или сплайнов с удалением невидимых точек

Каркас обычно состоит из отрезков прямых линий (ребер), но можно строить каркас и на основе кривых, сплайновых линий Все ребра видны: как ближние, так и дальние. прямые линии (ребра) Каркасная модель

Для описания пространственных объектов используются следующие элементы: -вершина (vertex) -вектор (ребро) -полилиния -полигон (грань) -полигональная поверхность вершина ребро вершина Полигональные сетки (модели)

Способы описание полигональных сеток: 1. Явное задание граней 2. Задание граней с помощью указателей на элементы списка вершин 3. Явное задание ребер Критерии оценки: - объем требуемой памяти; - простота идентификации ребер, инцидентных вершине; - простота поиска вершин, образующих ребро; - легкость определения всех ребер, образующих грань; - простота получения изображения полигональной сетки на экране; - простота обнаружения ошибок в представлении (например, отсутствие вершины, ребра или грани).

Явное задание граней MGr[6][4][3] = {{{x0,y0,z0}, {x1,y1,z1}, {x2,y2,z2}, {x3,y3,z3}}, …, {x1,y1,z1}, {x2,y2,z2}, {x6,y6,z6}, {x7,y7,z7}}}; A B C D E F

x y z A x y z B x y z C x y z D x y z E x y z F P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 A B C D E F Явное задание граней.

Задание граней с помощью указателей на элементы списка вершин P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 A B C D E F Вершины: Грани: xyzxyz A BC D E F

Явное задание ребер P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 A B C D E F Основывается на иерархии: вершины – ребра - грани Вершины: Грани: xyzxyz A BC D E F Ребра:

Геометрическое моделирование стандартных трехмерных геометрических объектов. Цилиндры и призмы x y z x z H R l Координаты вершин граней: N – число вершин многоугольника

Конусы и пирамиды. x y z H Если начало МСК лежит в основании пирамиды (в центре), то: Y вершин основания = 0 Y V = H Координаты вершин граней: V

Правильные многогранники. (Платоновы тела) Существует всего пять правильных многоугольников, называемых также «Платоновыми телами» Многогранник Грани Ребра Вершины а) Тетраэдр б) Гексаэдр (куб) в) Октаэдр г) Додекаэдр д) Икосаэдр Эти числа удовлетворяют теореме Эйлера: Если 1 – число вершин многогранника, f – число граней, а k – число ребер, то 1 + f = k + 2 (если многоугольник правильный)

а) Тетраэдр Платоновы тела. б) Гексаэдр (куб) в) Октаэдр г) Додекаэдр д) Икосаэдр

Правила расчета координат правильного многогранника. Построение куба Координаты вершин куба, у которого длина ребра равняется l: x y z

Тетраэдр. Длина ребра грани тетраэдра: а l l – длина ребра куба

Октаэдр x y z Координаты вершин: Y вершины: 1, 2, 3, 4 = 0 X вершины: 0, 3, 4, 5 = 0 Z вершины: 0, 1, 2, 5 = 0 Координаты остальных вершин = l – длина ребра куба

Икосаэдр. y x z y x z Рассечем круглый цилиндр единичного радиуса, ось которого совпадает с осью аппликат Z двумя плоскостями z = и z = Разобьем каждую из окружностей на 5 частей

Додекаэдр. Вершины додекаэдра есть центры (тяжести) треугольных граней икосаэдра.

Сфера (шар). Два способа формирования изображения сферы: 1. Аналитическая модель (основан на использовании формул аналитического описания сферы) 2. Использование икосаэдра для аппроксимации сферы

Сфера (шар). 1. Аналитическая модель R – радиус шара B – широта (изменяется от –90 до +90) L – долгота (от –180 до +180 или от 0 до 360) Координаты точек поверхности шара: y x z L B R

Сфера (шар). 1. Аналитическая модель y x z Пример каркасного изображения на основе меридианов и параллелей меридианы параллели y x z

2. Использование икосаэдра для аппроксимации сферы AB C DE F Сфера (шар). Икосаэдр может быть использован в качестве основы сферы, имеющей 80 треугольных граней. Треугольник, образующий грань икосаэдра y x z A B C R 0 0A = 0B = 0C = R x z y 0 R 0D = 0E = 0F = d R = l d < R E D F 0D = 0E = 0F = R = l A B C

Тела вращения. ось вращения контур конус Конусы, цилиндры, призмы, сферы, тор, вазы и др. могут представлены в виде поверхности вращения, которые получаются с помощью поворота контура вокруг оси на угол 360 с небольшим шагом. r – шаг поворота контура пирамида

Тела вращения. ось вращения дырка

Тела вращения. Тор h r R ось вращения