Бозе-эйнштейновская конденсация. Возбуждения в неидеальном бозе-газе. Сверхтекучесть. Критерий сверхтекучести Ландау 1.8. Конденсация Бозе – Эйнштейна

Статистика Бозе – Эйнштейна Рассмотрим газ частиц с симметричной волновой функцией, описываемых во вторичном квантовании операторами рождения и уничтожения и подчиняющихся следующим коммутационным соотношениям: Действие операторов в представлении чисел заполнения: Числа заполнения квантовых состояний при симметричных волновых функциях ничем не ограничены и могут иметь произвольные значения Статистическая сумма для системы невзаимодействующих частиц: Химический потенциал должен быть отрицателен 2.

Бозе-газ Термодинамический потенциал: Средние числа заполнения: Полное число частиц в газе: Энергия бозе-газа: 3.

Бозе-газ Низкие температуры: химический потенциал достигает нулевого значения при температуре конденсации: Число частиц с ненулевой энергией: Число сконденсировавшихся частиц: При температуре T=T 0 начинается конденсация бозе-частиц в низшее энергетическое состояние 4.

Бозе-газ Термодинамические величины бозе-газа в условиях наличия конденсата: Теплоемкость имеет при T=T 0 излом и равна 1.92N. Таким образом, явление бозе-конденсации – типичный фазовый переход второго рода. 5.

Возбуждения в бозе-газе В квантовой бозе-системе элементарные возбуждения должны иметь целочисленный спин, так как момент импульса всякой квантово-механической системы может меняться только на целое число. Поэтому в квантовой бозе-жидкости элементарными возбуждениями с малыми импульсами p являются обычные гидродинамические волны, т.е. фононы (квазичастицы с нулевым спином). Таким образом, закон дисперсии возбуждений должен быть линеен: Функция распределения возбуждений: При низких температурах возбуждения практически не взаимодействуют и их можно считать идеальным бозе-газом с нулевым химпотенциалом 6.

Возбуждения в бозе-газе Термодинамические величины жидкости при низких температурах: При увеличении импульса закон дисперсии отличается от линейного, и дальнейший ход зависимости определяется взаимодействием между частицами бозе-газа Рассмотрим слабо неидеальный бозе-газ с одинаковым взаимодействием U между парами частиц, описываемый гамильтонианом 7.

Возбуждения в бозе-газе Упростим взаимодействующую часть гамильтониана, учитывая, что в основном состоянии частицы находятся в конденсате, и ввиду слабости взаимодействия основное состояние взаимодействующего газа будет слабо отличаться от основного состояния идеального газа, поэтому число частиц над конденсатом будет много меньше числа конденсатных частиц: Взаимодействующая часть гамильтониана переписывается в виде Учтем выражение для полного числа частиц: 8.

Возбуждения в бозе-газе Полный гамильтониан: Введем линейные преобразования операторов: Подставляя их в гамильтониан и обозначая S=UN/V, S p =p 2 /2m+S, Δ p =1+A p 2, W p =1-A p 2, получаем: 9.

Возбуждения в бозе-газе Полная энергия системы: В предельных случаях спектр возбуждений имеет вид: Из вида спектра возбуждений видно, что локальных минимумов на нем нет, так как смене линейной на квадратичную зависимость соответствует только точка перегиба 10.

Возбуждения в бозе-газе В реальном газе при возрастании взаимодействия возможен локальный минимум (что наблюдается у жидкого гелия): m* – эффективная масса этих возбуждений, называемых ротонами 11.

Возбуждения в бозе-газе При низких температурах распределение ротонов близко к больцмановскому, в этом пределе Неидеальный бозе-газ имеет два вида возбуждений – фононы и ротоны, отвечающих различным участкам по импульсу q одной и той же ветви возбуждений. При низких температурах роторная часть меньше фононной и, наоборот, при высоких превалирует над фононной, так что теплоемкость имеет сначала степенную зависимость, а затем экспоненциальную 12.

Сверхтекучесть Рассмотрим бозе-жидкость при T=0, текущую по капилляру. Если между жидкостью и стенками капилляра имеется трение, это может привести к увлечению жидкости стенками капилляра. Это приводит к появлению элементарных возбуждений и диссипации энергии. Энергия жидкости, связанная с этими возбуждениями, имеет вид Для того, чтобы такое возбуждение появилось, необходимо, чтобы Эта величина имеет минимальное значение при антипараллельных скорости и импульсе. Таким образом, Критерий сверхтекучести Ландау: 13.

Сверхтекучесть Минимальному значению ε/p соответствует точка кривой ε(p), в которой Производная dε/dp есть скорость элементарного возбуждения. Поэтому критерий Ландау означает, что сверхтекучее движение может иметь место, только если скорость жидкости меньше скорости элементарного возбуждения в точках, удовлетворяющих уравнению. Опасная точка лежит правее роторного минимума Скорость сверхтекучего движения должна быть Импульс газа возбуждений в единице объема: 14.

Сверхтекучесть Бозе-жидкость при T 0 представляет собой смесь двух жидкостей – сверхтекучей и нормальной, движущихся без трения относительно друг друга Фононная и роторная части нормальной плотности: Оставшаяся часть плотности соответствует сверхтекучему движению. Движение сверхтекучей компоненты всегда потенциально: В бозе-жидкости могут происходить колебания двух различных типов с разными скоростями. Нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в противофазе, так что полный поток жидкости равен нулю 15.