О D В С Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник. А E А многоугольник называется описанным около этой окружности.

D В С Какой из двух четырехугольников АВСD или АЕКD является описанным? А E К О

D В С В прямоугольник нельзя вписать окружность. А О

D В С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности? А E О К Свойство касательной Свойство касательной Свойство отрезков Свойство отрезков касательных касательных F P

D В С В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. А E О aa R N Fbb cc dd

D В С Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника. А О ВC+AD=15 AB+DC=15 P ABCD = 30 см

D F Найти FD А О N ?

D В С Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности. А ВC+AD=10 AB+DC= N F 33 4 SL О

D В С Верно и обратное утверждение. А О Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. ВС + АD = АВ + DC

D В С Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность? А О =

В С А В любой треугольник можно вписать окружность. В любой треугольник можно вписать окружность.Теорема Доказать, что в треугольник можно вписать окружность Дано: АВС

KВ С А L M О 1) ДП: биссектрисы углов треугольника 2) СOL = COМ, по гипотенузе и ост. углу ОL = MО Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника 3) МОА= КОА, по гипотенузе и ост. углу МО = КО 4) LО=MО=KО равноудалена точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной АВС.

KВ С А В любой треугольник можно вписать окружность. В любой треугольник можно вписать окружность. L M ОТеорема

D В С Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. А Fr a1a1a1a1 a2a2a2a2 a3a3a3a3r О r …+К

О D В С Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника. А E А многоугольник называется вписанным в эту окружность.

О D В С Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность? А E L P X E О D ВСА E

О А В D С Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности? Теорема о вписанном угле Теорема о вписанном угле

О А В D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна С

? 59 0 ? 90 0 ? 65 0 ? D А В С О D А В С О Найти неизвестные углы четырехугольников.

D Верно и обратное утверждение. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0, то около него можно вписать окружность. А В С О О D АВС

В С А Около любого треугольника можно Около любого треугольника можно описать окружность. описать окружность. Теорема Доказать, что можно описать окружность Дано: АВС

KВ С А L M О 1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам ВО = СО 2) ВOL = CO L, по катетам 3) СОМ = АOМ, по катетам СО = АО 4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью.

KВ С А Около любого треугольника можно описать окружность. L MТеорема О

ОВС А О В С А В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = б) АС =

О В С А В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = (180 0 – 51 0 ) : 2= : 2= / : 2= /

ОВ С А 704 (a) 704 (a) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы д и а м е т р

ОВ С А 704 (б) 704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен. d

ОС В А 705 (а) 705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см

ОС А В 705(б) 705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=18 см,

О В С А Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности

О В С А Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см. Найти сторону АВ ?