Федеральное Государственное Образовательное Учреждение Высшего Профессионального Образования Ставропольский Государственный Аграрный Университет Лекция 9 на тему «Планирование имитационного компьютерного эксперимента» по дисциплине «Имитационное моделирование экономических процессов»

Вопросы: 1. Кибернетический подход к организации экспериментальных исследований сложных объектов и процессов 2. Регрессионный анализ и управление модельным экспериментом 3. Факторный эксперимент и метод крутого восхождения Контрольные вопросы.

1. Кибернетический подход к организации экспериментальных исследований сложных объектов и процессов Имитационная модель независимо от выбранной системы моделирования (например, Pilgrim или GPSS) позволяет получить два первых момента и информацию о законе распределения любой величины, интересующей экспериментатора (экспериментатор - это субъект, которому нужны качественные и количественные выводы о характеристиках исследуемого процесса). Если набор стандартных параметров, получаемых автоматически с помощью модели, не устраивает экспериментатора, то существуют следующие простейшие вспомогательные приемы.

Рассмотрим получение первого и второго момента произвольной величины, не являющейся параметром узла модели. Если неизвестная величина х является интервалом времени (или пропорциональна интервалу), то ее можно связать: c интервалом пребывания клапана, дополнительно введенного в модель, в запертом состоянии; с временем жизни дополнительно сгенерированного транзакта в узле, помещенного в запертый клапан, который в нужный момент открывается и направляется в дополнительный терминатор. В первом случае математическое ожидание длительности пребывания клапана в запертом состоянии m определяется автоматически в качестве параметра узла. Дисперсия - это произведение квадрата математического ожидания m2 на коэффициент вариации в квадрате с 2, который также подсчитывается автоматически в этом узле.

Во втором случае математическое ожидание m времени жизни транзакта в узле term также определяется автоматически, а дисперсия получается в качестве произведения m2 с 2. Для получения вида закона распределения, если не хватает стандартных выходных данных, предлагается простейший прием. Интересующий нас интервал возможных значений переменой х, которая имеет произвольный смысл (денежная сумма, объем партии товара и др.), делится на к равных интервалов: (х 0, х 1], (х 1, х 2],..., (xк-1, хк]. В модели объявляется массив к переменных с фиксированной точкой. Во время прогона модели частоты появления значений х в этих интервалах значений подсчитываются в соответствующих элементах массива р. Вид закона определяется в виде ступенчатой функции.

Более сложной является задача планирования имитационного эксперимента для определения той области, в которой находится оптимальная (в каком-то смысле, с точки зрения экспериментатора) точка. Далее словом «опыт» будем называть один прогон модели, который дает возможность получить два первых момента интересующих нас величин. Серию целенаправленных опытов, позволяющих с некоторой достоверностью определить искомое экстремальное значение, назовем эксперимент. Планирование эксперимента можно рассматривать как кибернетический подход к организации и проведению экспериментальных исследований сложных объектов и процессов. Основная идея метода состоит в возможности оптимального управления экспериментом в условиях неопределенности, что родственно тем предпосылкам, на которых базируется кибернетика.

Целью большинства исследовательских работ является определение оптимальных параметров сложной системы или оптимальных условий протекания процесса: определение параметров инвестиционного проекта в условиях неопределенности и риска; выбор конструкционных и электрических параметров физической установки, обеспечивающих наиболее выгодный режим ее работы; получение максимально возможного выхода реакции путем варьирования температуры, давления и соотношения реагентов – в задачах химии; выбор легирующих компонентов для получения сплава с максимальным значением какой-либо характеристики (вязкость, сопротивление на разрыв и пр.) - в металлургии.

2. Регрессионный анализ и управление модельным экспериментом В общем случае объект исследования можно представить как некоторый «черный ящик» (рис. 1), на входе которого действуют управляющие параметры хi (i = 1, 2,..., к) и неконтролируемые возмущения zj (j = 1,2,..., m). Выходом объекта исследования являются показатели качества или какие-либо другие характеристики объекта ( =1,2,..., n). В электронных установках управляющими факторами являются параметры электронных деталей, величины напряжений и токов. Помехи возникают в результате работы других электронных установок (путем наводок и через общие цепи питания), а также в результате изменения характеристик параметров (температурный и временной дрейф).

Рис. 1. Схема исследования системы или процесса

Если рассмотреть зависимость одной из характеристик системы (хi), как функцию только одной переменной хi (рис. 2), то при фиксированных значениях хi, будем получать различные значения (хi). Разброс значений в данном случае определяется не только ошибками измерения, а главным образом влиянием помех zj. Сложность задачи оптимального управления характеризуется не только сложностью самой зависимости (х 1, х 2,..., хk), но и влиянием zj, что вносит элемент случайности в эксперимент. График зависимости (хi) определяет корреляционную связь величин и хi, которая может быть получена по результатам эксперимента с помощью методов математической статистики. Вычисление таких зависимостей при большом числе входных параметров х, и существенном влиянии помех zj и является основной задачей исследователя-экспериментатора. При этом чем сложнее задача, тем эффективнее становится применение методов планирования эксперимента.

Рис..2. Пример усреднения результатов эксперимента

Различают два вида эксперимента: пассивный и активный. При пассивном эксперименте исследователь только ведет наблюдение за процессом (за изменением его входных и выходных параметров). По результатам наблюдений затем делается вывод о влиянии входных параметров на выходные. Пассивный эксперимент обычно выполняется на базе действующего экономического (производственного) процесса, который не допускает активного вмешательства экспериментатора. Этот метод мало затратный, но требует большого времени. Активный эксперимент проводится главным образом в лабораторных условиях, где экспериментатор имеет возможность изменять входные характеристики по заранее намеченному плану. Такой эксперимент быстрее приводит к цели, и именно к нему применимы идеи планирования экстремального эксперимента.

На математическом языке задача установления взаимосвязей оптимизируемого процесса формулируется следующим образом: нужно получить некоторое представление о функции отклика = (х 1, х 2,..., хk) где - параметр процесса, подлежащий оптимизации; х 1, х 2,..., хk - независимые переменные, которые можно варьировать при постановке экспериментов. х 1, х 2,..., хk - независимые переменные, которые можно варьировать при постановке экспериментов Координатное пространство с координатами х 1, х 2,..., хk называют факторным пространством. Геометрический образ соответствующей функции отклика называется поверхностью отклика.

Будем рассматривать самый общий случай, когда исследование поверхности отклика ведется при неполном знании механизма изучаемых явлений. Естественно, что и в этом случае аналитическое выражение функции отклика неизвестно. Наиболее удобным оказалось представление функции отклика в виде полинома: где 0, i, ij, ii - коэффициенты регрессии Пользуясь результатами эксперимента, можно определить выборочные коэффициенты регрессии b0, bi, bij, bii, которые являются лишь оценками (приближенными значениями) для теоретических коэффициентов регрессии. Уравнение регрессии, полученное на основе опыта, запишется так:

где y- значение выхода, предсказанное уравнением (выборочная оценка для ). Допустим, что у нас имеется N результатов наблюдения величины у, зависящей от х 1, х 2,..., хk. Положим, что результаты наблюдений нужно представить полиномами степени d. Тогда число коэффициентов регрессии будет равно (число сочетаний из k+d по d). Очевидно, необходимо, чтобы. Для определения численных значений выборочных коэффициентов регрессии используется так называемый регрессионный анализ (метод наименьших квадратов). В регрессионном анализе полагается, что выполняется ряд предпосылок.

1. Результаты наблюдений y1, y2,..., yN - независимые, нормально распределенные случайные величины. Речь идет о распределении у относительно некоторой фиксированной точки х 1, х 2,..., хk, так как на значение у влияют и другие неконтролируемые параметры. Если эта предпосылка не удовлетворяется, то коэффициенты регрессии найти можно, однако ничего нельзя будет сказать об эффективности метода, т.е. нельзя оценить точность уравнения регрессии. Если у не подчиняется нормальному распределению, то стараются подобрать такую функцию преобразования, чтобы перейти от у к новой случайной величине q = f(у), распределенной приближенно нормально. Например, для многих асимметричных распределений делается замена q = lnу.

2. Дисперсии, u = 1, 2,..., N равны друг другу. Это значит, что если производить многократные и повторные наблюдения над величиной уu при некотором определенном наборе значений х 1u, х 2u,..., хku, то получим дисперсию, которая не будет зависеть от математического ожидания М{уu}, т.е. не будет отличаться от, полученной при повторных наблюдениях для любого другого набора независимых переменных. Это требование также не всегда выполняется для реального эксперимента. 3. Независимые переменные х 1, х 2,..., хk измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошибкой в определении у. При таких исходных предпосылках оказывается возможным вычислить коэффициенты b0, bi, bij, bii, а также оценить их точность и точность уравнения регрессии (1) в целом.

3. Факторный эксперимент и метод крутого восхождения Одной из основных идей планирования эксперимента является выбор экспериментальных точек. Факторный эксперимент обеспечивает наиболее удобный для описания процесса выбор точек факторного пространства, при этом обеспечивается и свойство ортогональности. Факторный эксперимент применяется в тех случаях, когда неизвестная поверхность достаточно гладкая и не имеет многочисленных локальных экстремумов, например при определении зависимостей от различных факторов свойств химических и физических процессов. Факторный анализ используется и при обработке большого числа экономических данных, собранных органами государственной статистики» если исследуемые свойства экономического процесса достаточно гладко меняются при варьировании отдельных факторов.

При построении полного факторного эксперимента управляющие переменные хi принимают только два возможных значения: +1 или -1. К такой схеме планирования можно свести любой эксперимент. Например, управляющими переменными процесса в химическом реакторе являются давление и температура. Несмотря на очень простое построение плана, полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток: с ростом числа факторов к число опытов растет по показательной функции N = 2k. Число опытов факторного эксперимента можно сократить, применяя так называемый дробный факторный эксперимент (дробные реплики от полного факторного эксперимента). Однако уменьшение числа опытов полного факторного эксперимента при сохранении всех его расчетных преимуществ может сопровождаться неприятным явлением взаимного влияния различных эффектов при необоснованном пренебрежении некоторыми взаимодействиями.

Основные преимущества и возможности факторного эксперимента: очень просто производятся все вычисления; можно получать математическое ожидание процесса как в форме линейного уравнения, так и с учетом взаимодействий; все коэффициенты регрессии определяются независимо друг от друга, что дает некоторую возможность рассматривать уравнение регрессии как физическую модель процесса; все коэффициенты уравнения регрессии определяются с одинаковой и минимальной дисперсией; применение дробного факторного эксперимента и насыщенного планирования позволяет уменьшать число опытов полного факторного эксперимента; имеется возможность исключать временной дрейф.

Рассмотрим метод крутого восхождения с применением факторного эксперимента. Определение оптимальных условий протекания экономических, химических, физических и металлургических процессов, или задача определения оптимального состава компонентов системы, всегда решалась чисто интуитивно. При попытке дать строго обоснованные методы решения этой задачи приходится сталкиваться с большими трудностями. Чтобы найти оптимум, нужно дать описание поверхности отклика в широком интервале варьирования независимых переменных. Адекватное описание таких больших участков поверхности требует очень большого числа опытов. Для решения этой задачи используется последовательный, пошаговый метод изучения поверхности отклика. Исследователь вначале ставит серию опытов для описания небольшого участка поверхности отклика полиномом 1-го порядка.

Далее он двигается по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения оказывается недостаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление для движения по поверхности отклика. Такой процесс продолжается до тех пор, пока исследователь не попадет в окрестность экстремума. Если требуется более точно определить положение оптимума, то ставится большая серия опытов, и поверхность отклика описывается полиномом 2-го, а иногда даже 3-го порядка. При таком подходе к задаче достигается весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Градиент функции отклика может быть задан выражением где - единичные векторы в направлении осей х 1, х 2,..., хk факторного пространства. Движение в направлении градиента - это движение по кратчайшему, наиболее крутому пути; отсюда название «крутое восхождение» (если отыскивается максимум функции) или «наискорейший спуск» (минимум функции).

Рассмотрим метод крутого восхождения при определении градиента по линейному приближению поверхности отклика, полученному на основе факторного эксперимента. На рис. 3 нанесены кривые равного уровня поверхности отклика для двух независимых переменных. Если построить нормали к кривым равного уровня, то получим направления градиента. Движение из точки О в направлении ОР - это наиболее крутой путь подъема по поверхности отклика. В направлении ОР исследователь будет двигаться до тех пор, пока не перейдет точку Q. В окрестности точки Q надо будет поставить новую серию опытов и заново найти направление градиента (QM).

Если поверхность отклика локально может быть описана линейным уравнением, то частные производные, очевидно, будут равны коэффициентам уравнения регрессии Рис. 3. Схема движения по градиенту

В этом случае при движении по поверхности отклика в направлении крутого восхождения нужно будет независимые переменные изменять пропорционально величине соответствующих коэффициентов регрессии с учетом их знака. При постановке экспериментов всегда приходится переходить к натуральным переменным. В натуральных переменных величина шага должна быть пропорциональна произведению bi на единицу варьирования. Основными достоинствами факторного эксперимента являются: простота возможность отыскания экстремальной точки (с какой- то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточно гладкая и нет локальных экстремумов.

Основные недостатки факторного эксперимента: невозможность поиска экстремума при наличии ступенчатых разрывов неизвестной поверхности или локальных эктремумов; отсутствие средств описания характера поверхности вблизи экстремальной точки, так как используются простейшие линейные уравнения регрессии.

Контрольные вопросы: Какие статистические результаты позволяет получить имитационная модель, реализованная в любой системе моделирования (например, Pilgrim или GPSS)? В чем заключается кибернетический подход к организации экспериментальных исследований сложных объектов и процессов? Какие характерные признаки имеет пассивный эксперимент? В каких случаях проводится активный эксперимент? Что такое функция (поверхность) отклика? Как она связана с факторным пространством? Как представляется общий вид уравнения регрессии, полученного на основе опыта? Для каких целей применяется факторный эксперимент (указать его достоинства и недостатки)?

Какие достоинства и недостатки имеет метод крутого восхождения? В чем состоят отличия между полным и дробным факторными экспериментами?