История возникновения тригонометрии - презентация

1 Школа- интернат 9 ОАО «РЖД»

2 Тема: «История, возникновение и применение тригонометрии» Автор: Миханькова Екатерина Автор: Миханькова Екатерина Учитель: Степанова Ольга Алексеевна Учитель: Степанова Ольга Алексеевна

3 Проблема: Проблема: Ученикам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И они не догадываются, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями. Ученикам часто кажется, что тригонометрия – это скучный набор формул и графиков. И они не догадываются, что многое из того что нас окружает: восход и заход Солнца, затмения и движения планет, вращение колеса и биение сердца это периодические процессы и явления, которые можно описать тригонометрическими функциями.

4 Цель: Показать историю зарождения и развития тригонометрии и их практическую значимость для окружающих. Показать историю зарождения и развития тригонометрии и их практическую значимость для окружающих. Рассказать историю развития тригонометрии; Познакомить с жизнью и деятельностью математиков, внесших вклад в развитие тригонометрии; Расширить знания о тригонометрических функциях; Задача:

5 Тригонометрия Тригонометрия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, ), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, ), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.греч.треугольник греч.математики тригонометрические функции геометрии греч.треугольник греч.математики тригонометрические функции геометрии

6 Древняя Греция Древняя Греция Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии: и в течении долгого времени тригонометрия развивалась изучалась как один из отделов астрономии. Насколько известно: способы решения треугольников (сферических) первые были письменно изложены греческим астрономом Гиппархом в середине 2 века до н.э. Наивысшими достижениями греческая тригонометрия обязана астроному Птолемею (2 век н.э.), создателю геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника. Гиппарх

7 Индия Индия В Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах. Индийские ученые пользовались различными тригонометрическими соотношениями, в том числе и теми, которые используются в современной науке.

8 Индия Индия Индийцы также знали: Формулы для кратких углов sin na, cos na, где n=2,3,4,5. Первая таблица синусов «Сурья-сиддханте» у Ариабхаты. Она приведена через 3,45. Позднее ученые составили более подробные таблицы: например Бхаскара приводит таблицу синусов через 1. Южноиндийские математики в 16 веке добились больших успехов в области суммирования бесконечных числовых рядов. По-видимому, они занимались этими исследованиями, когда искали способы вычисления более точных значений числа П. Нилаканта словесно приводит правила разложения арктангенса в бесконечный степенной ряд. А в анонимном трактате «Каранападдхати» («Техника вычислений») даны правила разложения синуса и косинуса в бесконечные степенные ряды. Нужно сказать, что в Европе к подобным результатам подошли лишь в 17-18

9 Аравия Аравия Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые аль-Батани ( ) и Абу-ль-Вефа Мухамед-бен Мухамед ( ), который составил таблицы синусов и тангенсов через 10 с точностью до 1/604. Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара (р. 1114, год смерти неизвестен) и азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед ( ). Кроме того, Насиреддин Туси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину. Насиреддин Туси

10 Европа Европа 1) Ряды для синуса и косинуса вывел И.Ньютон в 1666 г., 2) Ряд арктангенса найден Дж.Грегори в 1671 г. и Г.В.Лейбницем в 1673 г. 3) Теорему тангенсов доказал Региомонтан (латинизированное имя немецкого астронома и математика Иоганна Мюллера ( )). Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы; Основные достижения Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника ( ) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге ( ) и Иогана Кеплера ( ), а также в работах математика Франсуа Виета ( ), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

11 Россия Россия Современные обозначения синуса и косинуса знаками sin x и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Последний пришел к выводу, что эти обозначения весьма удобны, и стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x. Далее Эйлер установил связь тригонометрических функций с показательными и дал правило для определения знаков функций в различных четвертях круга. Основные достижения

12 Тригонометрические функции Синус отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синускатета гипотенузе Синускатета гипотенузе Косинус отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус Тангенс отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс отношение противолежащего катета к прилежащему. Тангенс Котангенс отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс отношение прилежащего катета к противолежащему. Котангенс Секанс отношение гипотенузы к прилежащему катету. Секанс отношение гипотенузы к прилежащему катету. Секанс Косеканс отношение гипотенузы к противолежащему катету. Косеканс отношение гипотенузы к противолежащему катету. Косеканс

13 История понятия синуса В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Отрезок АМ (рис. 1) он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайв (выпуклость). При переводе арабских математических текстов оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

14 История понятия косинуса Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completely sinus, т. е. дополнительный синус (или иначе синус completely sinus, т. е. дополнительный синус (или иначе синус дополнительной дуги; дополнительной дуги; cos( = sin( 90( - ()). cos( = sin( 90( - ()).

15 История развития тангенса и котангенса История развития тангенса и котангенса Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль- Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль- Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными котангенсов. Однако эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким европейским ученым, и тангенсы были заново открыты лишь в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он и доказал теорему математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он и доказал теорему тангенсов. тангенсов.

16 Практическое применение тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

17 Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

18 Лазер + Тригонометрия = Red Point Measure Лазер + Тригонометрия = Red Point Measure Это приспособление прямое применение тригонометрии на практике. Приспособление подобно рулетке, помогает измерить расстояние без особых усилий и с малейшими погрешностями. Встроенная программа с помощью старой доброй тригонометрии рассчитывает расстояние между двумя точками.

19 Способ работы прибора

20

21 Почему летом теплее, чем зимой? Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты ( рис.) Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты ( рис.) Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по- разному распределяется по земной поверхности. Больше всего её приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок. Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по- разному распределяется по земной поверхности. Больше всего её приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

22 Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана. Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана. Попытаемся определить: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом? Попытаемся определить: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом?

23 На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию прямоугольного треугольника на приведенных чертежах. Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,- всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,- меняются по длине уменьшаясь вместе с углом, который образует с гипотенузой падающие на него лучи. Интересующая нас доля энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. Если задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить его на круговой диаграмме, из точки пересечения его наклонной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр и взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определённое таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом угла. На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию прямоугольного треугольника на приведенных чертежах. Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,- всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,- меняются по длине уменьшаясь вместе с углом, который образует с гипотенузой падающие на него лучи. Интересующая нас доля энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. Если задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить его на круговой диаграмме, из точки пересечения его наклонной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр и взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определённое таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось, называется синусом угла.

24 Определение высоты предмета Предположим, что нам нужно определить высоту какого- нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А1С1. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников Предположим, что нам нужно определить высоту какого- нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А1С1. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников

25 Определение расстояния до недоступной точки Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого и измеряем длины сторон А1В1 и АС1 этого треугольника. Так как треугольник АВС пропорционален треугольнику А1В1С1, то Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого и измеряем длины сторон А1В1 и АС1 этого треугольника. Так как треугольник АВС пропорционален треугольнику А1В1С1, то По известным расстояниям АС, А1С1 и А1В1 находим расстояние АВ. Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы А1С1:АС=1:1000. Например, если АС=130 м, то расстояние А1С1 возьмём равным 130 мм. В этом случае

26 Определение расстояния до недоступной точки(продолжение) Определение расстояния до недоступной точки(продолжение) поэтому, измерив расстояние А 1 В 1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах. поэтому, измерив расстояние А 1 В 1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах. ПРИМЕР. Пусть ПРИМЕР. Пусть Строим треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы Строим треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы Измеряем отрезок А 1 В 1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м. Измеряем отрезок А 1 В 1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.