Построение сечений многранников - презентация

1 Изучение сечений в стереометрии с помощью компьютера Г.Белгород МОУ лицей 10

2 В школьном курсе стереометрии основными задачами на построение являются задачи на построение сечений пространственных фигур, а для этого необходимо научиться изображать эти фигуры. Введение

3 Этот метод осуществляется проектированием всех параллельных прямых. Проекционное изображение фигуры в таком случае можно получить не непосредственным проецированием этой фигуры, а выполняя построения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования. Существуют различные методы изображения пространственных фигур на плоскости, но практика показывает, что целесообразным является метод параллельного проецирования.

4 Эти законы сводятся к сохранению на проекционном чертеже таких свойств фигуры: 1. свойство фигуры быть точкой, прямой, плоскостью; 2. свойство фигуры иметь пересечение; 3. деление отрезка в данном отношении; 4. свойство прямых (плоскостей, прямой и плоскости) быть параллельными; 5. свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией; 6. отношение длин параллельных отрезков; 7. отношение площадей двух фигур.

5 a) изображение должно быть верным, то есть оно должно представлять собой фигуру, подобную произвольной параллельной проекции; b) изображение должно быть по возможности наглядным, то есть должно вызывать верные пространственные представления об изображаемой фигуре; c) изображение должно быть легко выполнимым, то есть правила построения должны быть максимально простыми; d) изображение должно быть удобоизмеримым, то есть по изображению можно, и притом не сложно, восстановить оригинал метрически точно. В зависимости от цели используются изображения следующих трех видов: иллюстративныеполныеметрически определенные Но всем этим изображениям предъявляются такие требования: Только после того можно строить их сечения.

6 Цели моей работы: исследовать построение сечений в стереометрии и применить компьютер для изображения сечений. При решении стереометрических задач требования к качеству чертежа, его наглядности значительно возрастает. В построение пространственного чертежа входит: - выбор оптимального положения изображаемого тела, - выбор ракурса и проекции, - умение минимизировать количество изображенных линий, - умение строить сечения и проекции на плоскость, - умение перевести условия задачи на графический язык.

7 все остальные фигуры Пространственные тела можно разделить на две группы: удобные для пространственного изображения и неудобные. К первой группе относятся следующие многогранники: - параллелепипед (прежде всего прямоугольный), - треугольная призма, - треугольная пирамида (тетраэдр) - четырехугольная пирамида. Ко второй группе относятся: Конечно, такое разделение носит условный характер. И одной из целей данной исследовательской работы является построение сечения в «неудобных» для изображения пространственных тел.

8 Суть задач на построение сечения заключается в построении пересечения плоскости с гранями многогранника - следов секущей плоскости на гранях многогранника. Построение сечения многогранников Таким образом, пересечение многогранника с плоскостью может быть пустым множеством, точкой (вершина многогранника), отрезком (ребро многогранника) или многоугольником (вершины которого лежат на ребрах многогранника).

9 а) строить следы прямых, лежащих в плоскости сечения, и по ним находить следы самой плоскости; б) строить третий след трехгранного угла по двум найденным следам на плоскости сечения; в) применить внутреннее проектирование. Построение следов плоскости на гранях можно вести по одному из следующих приемов: M Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

10 Задача на построение сечения 1 Постройте сечение треугольной пирамиды ABCD, так что бы плоскость сечения была перпендикулярна основанию и делила пополам стороны основания треугольной пирамиды. A B D C F O E N M K Построение: Решение: 1. Проведем среднюю линию MN основания ABC (соединим середины двух сторон основания). 2. Проведем в основании ABC медиану AE, она пройдет через середину отрезка MN, которую обозначим F. 3. Из вершины D построим высоту DO к медиане AE. 4. Из F проведем линию параллельно высоте OD до пересечения с ребром AD, обозначим точку К. Соединим точки N, М и К. Искомое сечение NMK. М

11 Задача на построение сечения 2 Построить сечение четырехугольной пирамиды QWBCE плоскостью, проходящей через сторону основания CB и точку А на одном из ее боковых ребер QW. Решение: g A B C D Q W E О 2. Продолжим сторону основания EW до пересечения с g. Точка пересечения О принадлежит секущей плоскости и 3. Проведем вспомогательную прямую через точку А и точку пересечения О. Эта прямая пересечет ребро EQ в точке D. 4. Соединим точки A, B, C и D. Искомое сечение ABCD. 1. Продолжим сторону CB – это будет g - след секущей плоскости. плоскости проходящей через боковую грань пирамиды, где лежит ребро QW.

12 Задача на построение сечения 3 Построить сечение призмы QWERUYTI, так что бы плоскость сечения проходила через прямую a в плоскости нижнего основания призмы и точку A на одном из боковых ребер WT. Построение:Решение: D В а С А Q W E R T Y U I 1. Продолжим стороны основания призмы до пересечения с прямой а, они все лежат в одной плоскости (плоскость основания призмы). Точки пересечения продолжения сторон основания с прямой а принадлежат и прямой а и плоскостям, проходящим через боковые грани призмы. 2. Проведем прямые через точку А и точки пресечения продолжения сторон основания с прямой а, эти прямые пересекут боковые грани в точках В и С. 3. Через точки В и С проведем прямые, которые пройдут через точки пересечения продолжения соответствующих сторон основания и прямой а, пересечение этих прямых должно лежать на ребре RU, получим точку D. Искомое сечение АBDC.

13 Задача на построение сечения 4 Изобразите сечение параллелепипеда ABCDHGSF, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах. Построение: M P K Q A B C D S F G H Z X Решение: Получившаяся фигура MPKZX и есть искомое сечение. 1. Для построения данного сечения соединим имеющиеся точки прямыми МР и РК. 2. Продолжим ребро FS до пересечения с прямой PK, получим точку W. 3. Так же построим точку Q пересечением прямой PM и продолжением ребра FH. 4. Через точки W и Q проведем прямую, которая пересечет ребра HG и GS в точках X и Z. W

14 Задача на построение сечения 5 Изобразите сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, К, Р на его ребрах. M P K A B C S G H D Z X F W E Y Построение: Решение: 1. Сначала соединим точки М и Р. 2. Построим прямую, которой принадлежит точка К и которая проходит параллельно прямой МР, где Х - точка пересечения данной прямой с ребром АВ. 4. Продолжим DC до пересечения с XK в точке W. 3. Продолжим AD до пересечения с XK, получим вспомогательную точку Y. 5. Затем проведем прямую, проходящую через точку Р и W, которая пересечет ребро SС в точке Z, и прямую через точки M и Y, которая пересечет ребро HA в точке F. 6. Соединим точки X и F, а также точки Z и K. Данная фигура MPZKXF и является искомым сечением.

15 Задача на построение сечения 6 Построить сечение призмы ABCDFEGHKL плоскостью, проходящей через три произвольные точки X, Y и Z на поверхности (не на ребрах) призмы. Построение: L A B C DF H K G x E Y Z М N Решение: 1. Проведем прямые ZY и ZX, которые лежат в плоскости сечения. 2. На плоскости нижнего основания построим проекции прямых ZY и ZX, пересечение прямых со своими проекциями обозначим М и N. 3. Проведем прямую MN, являющуюся пересечением плоскости нижнего основания и секущей плоскости. 4. Построим продолжение ребра LK до пересечения с прямой MN, из точки пересечения проведем прямую через точку Z, которая пересечет ребра призмы в точках 1 и 2. Получим сторону сечения 12. Также найдем стороны сечения 23, 34 и 45. Получили искомое сечение

16 Задача на построение сечения 7 Сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку M ребра AS параллельно грани SCD. Построение: S C A D B E M P К Решение: 1. Соединим вершины А и С. Плоскость ASC проходит через точку М и ребро SC. В этой плоскости через точку М проведем прямую МР, параллельно ребру SC. Эта прямая лежит в секущей плоскости. 2. След секущей плоскости на плоскости основания проходит через точку Р параллельно CD. Обозначим К пересечение следа секущей плоскости с продолжением ребра АЕ. 3. Проведем прямую через точки М и К, которая пересечет ребро SЕ в точке Обозначим 2 пересечение прямой РК и ребра ED. Соединим 1 и 2. Обозначим 3 пересечение РК и ребра AB. Соединим 3 и точку М. Искомое сечение М123.

17 Нахождение площади сечения Задача на нахождение площади сечения Вычислить площадь сечения правильной пятиугольной пирамиды SABCDE плоскостью, которая проходит через вершины основания А и С и середины боковых ребер SE и SD. Построение: D E N M L B C A K 3 п 10 S Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE, сечение- AMNC, q - длина стороны основания пирамиды, b – длина бокового ребра. Найти: Sсеч - площадь сечения Решение: Пусть M и N – середина ребер ES и DS; легко видеть, что AMNC – трапеция, MN параллельно ED, а ED параллельно AC. Очевидно также, что MN=1/2q, где q – длина стороны основания пирамиды. Используя формулу для квадрата медианы треугольника (на основании теоремы о сумме квадратов диагоналей параллелограмма), получаем:

18 Построение: D E N M L B C A K 3 п 10 S Дано: Правильная пятиугольная пирамида - SABCDE, сечение- AMNC, q - длина стороны основания пирамиды, b – длина бокового ребра. Найти: Sсеч - площадь сечения Решение: Нахождение площади сечения Задача на нахождение площади сечения CN²= CN = KC= =q sin, АВК= AC 2 3π3π 10 3π 10 KL - отрезок соединяющий середину трапеции ACNM KL = CN² - (KC - q / 4) 2 = -( q ( 5+1)/4 - q/4) 2 = b 2 + 2q 2 4 b 2 + 2q = - =, при sin = b 2 + 2q q b 2 + 3q Таким образом, искомая площадь S сеч =1/2(MN+AC)KL=(2+ 5) 4b 2 + 3q 2 3π3π 10

19 Исследовательская задача построения сечения в многограннике Рассматривая тему сечения в стереометрии, я выяснила, какие бывают задачи на построение и вычисления площади сечения в многоугольниках. Проводя исследовательскую работу, я заинтересовалась, как будет выглядеть сечение в более сложной фигуре, например, в додекаэдре, и решила построить данное сечения сама.

20 1 5 Задача: Построить сечение в додекаэдре. Построение: 1. Построим додекаэдр. На его гранях отметим три точки 1,2,3. 2. Через точки 1,2, которые находятся на ребрах одной грани, проведем прямую а и продолжим ребро той же грани до пересечения с прямой а. Точку пересечения обозначим Х. 2 3 Получили искомое сечение X a 3. Через точки 2,3 проведем прямую b так, чтобы она пересекла продолжение другого ребра той же грани, где находятся ребра с точками 2 и 3. Получим точку Z. b Z 4. Построив прямую, проходящую через точки Z и X, получим точки пересечения с ребрами додекаэдра 4,5. 5. Соединим точки 4 и 3, 5 и 1.