Числовая последовательность Лекция. План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Арифметическая прогрессия, геометрическая. - презентация

1 Числовая последовательность Лекция

2 План занятия Определение последовательности Способы задания последовательностей Арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Ограниченные последовательности: ограниченные сверху, снизу. Монотонные последовательности : убывающие и возрастающие. Свойства монотонности последовательностей y n = q n

3 Геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель (y n ) : 2,4,8… 1 2, 2 4, 3 8… y(n)= y n = 2 n, Арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d – разность (y n ): 2,5,8… 1 2, 2 5, 3 8… y(n)= y n = 3n-1,

4 Определение. Функцию вида у = f ( х ), называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f ( n ) = у n или ( у n ): у 1, у 2,у 3,… Примеры. 1) 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; 2) арифметические и геометрические прогрессии, 3) 5,5,5,…-постоянная или стационарная

5 Способы задания последовательностей Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1, a n+ 1 = a n +d, где d - разность геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q - знаменатель Аналитический (формулой n-го члена) у n = n 2 у n = C, где С=const у n = 2 n

6 Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е. у n М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n 2,… ограничена сверху, М=-1,0,… Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n m, m- нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n 2,… ограничена снизу m=1,, …

7 Ограниченная последовательность -это последовательность, которая - ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3

8 Монотонные последовательности Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего, т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2,… Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего, т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…- n 2,…

9 Примеры последовательностей y n =2 n 2,4,8,16,32,…- q = Возрастающая, ограниченная снизу y n =3 n -? q = ? у = q n, q>1 Вывод ? q = Убывающая, ограниченная снизу, сверху, т.е. ограниченная q = ? у = q n и 0< q <1 Вывод ?

10 Свойства монотонности и ограниченности последовательностей Свойство 1. Если q >1, то у = q n - возрастает, ограничена снизу Свойство 2. Если 0< q <1, то у = q n - убывает, ограниченная.