Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра функционально анализа ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Мукосей Ольга Ивановна. - презентация

1 Белорусский государственный университет Механико-математический факультет Кафедра функционально анализа ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА Мукосей Ольга Ивановна

2 Руководитель: кандидат физ - мат. наук, доцент кафедры функционального анализа Мазель Майя Хаимовна

3 Содержание 1.ААктуальность. 2.ППоставленные цели и задачи. 3.ССодержание методического пособия. 4.ППримеры.

4 Актуальность существует необходимость обновить ранее используемые лабораторные работы, увеличить количество задач по каждой теме, предложить дополнительные задачи.

5 Цель подготовка материала для нового издания методического пособия по лабораторным и практическим занятиям по курсу функционального анализа и интегральных уравнений, часть 1.

6 Задача состояла не просто в подборе любых задач, а таких, которые хорошо решаются и имеют не огромные вычисления.

7 Содержание методического пособия Рабата состоит из трех частей

8 Часть 1 Излагается необходимая теория, которая носит справочный характер, т.е определения, теоремы и следствия из них прописаны без доказательств. Вся теория разбита на главы, а главы на параграфы. Каждый параграф относится к одной из лабораторных. К какой именно, видно из названий параграфов. Это облегчает поиск необходимой теории для каждой лабораторной в отдельности.

9 Часть 2 Приведены задачи к 6 лабораторным и 3 практическим занятиям по темам « ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ».

10 В начале каждой лабораторной и практической работы приведены вопросы к математическому диктанту. Это теория, которой необходимо владеть для решения заданий, а также для успешного освоения курса в целом.

11 В конце каждой лабораторной есть дополнительные задания, в которых надо что-то доказать, привести пример, контр пример либо решить. Эти задачи разноуровневые: от легких до повышенной сложности. Они предназначены для интересующихся курсом студентов, а также могут использоваться в качестве дополнительных задач на экзамене.

12 Часть 3 В каждой лабораторной из каждого задания выбраны по одной наиболее сложной задаче и приведены их решения.

13 Примеры 1. Доказать, что множество является борелевским. Решение. Рассмотрим множество

14 Множество является замкнутым в, следовательно, оно борелевское. Так как борелевская - алгебра на прямой замкнута относительно счетного объединения, то множество В также борелевское. Так как, то оно тоже борелевское.

15 Примеры 2. Пусть, где При каких значениях параметра эта формула задает меру, - аддитивную меру? Если мера не является -аддитивной, то указать полуинтервал А и его разбиение такое, что.

16 Решение. Так как функция F ограничена на множестве Х,то m является отображением S в. Аксиома аддитивности в определении меры выполняется. Возьмем произвольный полуинтервал, тогда,. Для выполнения второй аксиомы в определении меры необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство, если, т.е., чтобы функция F была монотонно возрастающей. Функция F монотонно возрастает, если. Итак, функция F порождает меру при.

17 По теореме о -аддитивности меры Лебега- Стилтьеса: F порождает -аддитивную меру тогда и только тогда, когда функция F является непрерывной слева в каждой точке. Это условие выполняется только при.Пусть и. Рассмотрим последовательность,. Представим полуинтервал, где.

18 Тогда, ;. Вычислим сумму ряда по определению:,. Итак, мы получили, что, если.

19 Спасибо за внимание!