Из истории числа ПИ Рассказывают, что однажды в Афинах разразилась чума, никак не желавшая покидать город. Тогда решено было обратиться за советом к оракулу. - презентация

1

2

3 Из истории числа ПИ Рассказывают, что однажды в Афинах разразилась чума, никак не желавшая покидать город. Тогда решено было обратиться за советом к оракулу на острове Делос. Оттуда был получен следующий ответ: "Удвойте алтарь в храме Аполлона!" "Удвойте алтарь в храме Аполлона!"

4 Поскольку алтарь имел форму куба, афиняне немедленно соорудили другой алтарь, ребра которого были в два раза больше прежних. Однако чума не унималась. Недоуменные афиняне потребовали у жрецов объяснения. "Вы увеличили объем алтаря в восемь раз, тогда как было сказано в два раза", – ловко парировали жрецы.

5 Так родилась знаменитая делосская задача о соизмеримости стороны и диагонали квадрата, а вместе с ней и до сих пор волнующие воображение исследователей проблемы современной теории чисел.

6 Число "Пи" выражает отношение длины окружности к своему диаметру. В этом качестве оно известно человеку с древнейших времен.

7 В то время основные геометрические построения выполнялись при помощи циркуля и линейки и сводились к нахождению точек пересечения линий и окружностей.

8 Сродни делосской задаче оказалась и проблема квадратуры круга, требующая построения при помощи циркуля и линейки квадрата, площадью равного площади заданного круга, и появилось число "Пи", связывающее радиус окружности с ее длиной (или площадью круга).

9 В Древнем Египте площадь круга диаметром d определяли как (d - d/9)2.. Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число "Пи" считали равным дроби (16/9)2, или 256/81, т.е. = В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавшей в Индии и возникшей в VI веке до н.э.) имеется указание, из которого следует что число "Пи" в то время принимали равным, что дает дробь

10 Действительно, поскольку все построения выполнялись с помощью циркуля и линейки, все их попытки сводились к выражению отношения длины окружности к диаметру (т.е. числа "Пи") рациональным числом, и поэтому заранее были обречены на провал.

11 Так Архимед, в III в до н.э. обосновал в своей работе "Измерение круга" три положения: Постулаты Архимеда Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14. Отношение любой окружности к ее диаметру меньше чем 3 1/7 и больше 3 10/71

12 Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Таким образом, с одной стороны Архимед определил, что = , а с другой, он фактически создал понятие приближенного вычисления, и определил алгоритм приближенного вычисления числа "Пи". Впоследствии, практически все ученые древнего мира использовали аналогичный алгоритм в своих уточнениях числа "Пи" Так в Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу "Пи" - 355/113.

13 В V веке н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение "Пи" = В первой половине XV в. н. э. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число "Пи" с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*228 углов.

14 Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашел число "Пи" только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Ф.Виет первым заметил, что число "Пи" можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять с какой угодно точностью. Однако только через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойден. Европа

15 Первым ввел обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом английский математик У.Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "периферия", что в переводе означает "окружность". Введенное У.Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Л.Эйлера, который воспользовался введенным символом впервые в 1736 году

16 Поиски точного выражения числа ПИ продолжались и после работ Ф.Виета. В начале XVII в. голландский математик из Кельна Лудольф ван Цейлен Кейлен) нашел 32 правильных знака. С тех пор (1615 г.) значение числа "Пи" с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. В конце XVIII в А.М. Лежандр на основе работ И.Г. Ламберта доказал, что число "Пи" иррационально. Затем (в 1882 году) немецкий математик Ф. Линдеман нашел строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения.

17 В практических расчетах этого времени часто применялось приближенное значение. После доказательства трансцендентности числа "Пи" стало ясно, что его нельзя выразить подобными формулами. К концу. XIX в., после 20 лет работы, англичанин Вильям Шенкс нашел 707 знаков числа. Однако в 1945 году обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие вычисления оказались неверными.

18 16 век Лишь в конце этого века было установлено, что между рациональными и иррациональными числами имеется существенная разница: рациональные числа выражаются бесконечной периодической дробью, тогда как в записи иррациональных чисел нет периодичности цифр. Попутно заметим, что под "нормальными" числами современные математики понимают такие, в десятичной записи которых вероятность появления каждой из 10 значащих цифр равна 1/10, и ни одна последовательность цифр не должна превалировать над любой другой. Правда, в те давние времена математики так глубоко не копали.

19 17 век Декарт представил математикам новый инструмент исследования – аналитическую геометрию. Теперь было установлено, что всякое построение при помощи циркуля и линейки сводится либо к решению конечной последовательности уравнений первой и второй степени с рациональными коэффициентами, либо к решению конечного числа уравнений второй степени, где первое уравнение имеет рациональные коэффициенты, а последующие могут иметь и иррациональные, полученные из предыдущих уравнений. Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений определенной степени, были названы алгебраическими и составили первый класс иррациональных чисел.

20 18 век Еще более удобную формулу для вычисления получил Дж. Малчин. Пользуясь этой формулой, он вычислил "Пи" (в 1706 г.) с точностью до 100 верных знаков 18 век 1767 год. Дальнейшее исследование числа "Пи" продолжалось разными путями. Ламберт впервые показал, что "Пи" является иррациональным числом.

21 19 век 1844 год. Лиувилль установил, что существуют иррациональные числа, не являющиеся решением алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Эти числа получили название трансцендентные. Новая форма увлекла многих математиков. 19 век 1873 год. Шарль Эрмит дает новое доказательство иррациональности числа "Пи" и доказывает трансцендентность числа е. А 26 ноября 1882 года профессор Линдеман, наконец, публично доказывает долгожданную трансцендентность числа "Пи" и ставит крест на проблеме квадратуры круга.

22 Заметим, что к тому времени не было доказано, является ли число "Пи" рациональным или иррациональным. На первом настаивали "квадра туристы", им возражали скептики. Бесплодная дискуссия продолжалась до прихода Леонарда Эйлера, который ввел для обозначения числа "Пи" греческую букву.

23 В частности, привлечение большого числа волонтеров к программе распределенных вычислений позволило проверить известную гипотезу Римана (1859 год) о том, что все нетривиальные нули дзета-функции Эйлера находятся на прямой x=1/2. И хотя гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута, на сегодняшний день методом распределенных вычислений при помощи 5 тысяч компьютеров удалось разыскать более 300 млн. нулей. Таким образом, с помощью современных компьютеров удается проводить эксперименты и совершать фундаментальные открытия.

24 В 1996 году, в Национальном научно-исследовательском вычислительном Центре в Беркли, Бэйли с коллегами использовал компьютеры для вычисления таких фундаментальных математических констант, как log2 и некоторые другие. В ходе многомесячных вычислений ученые пришли к удивительному открытию формулы, позволяющей вычислить любой знак числа "Пи" без получения информации о старших разрядах, – достижение, считавшееся ранее невозможным.

25 Директор Центра эмпирической и экспериментальной математики Университета Саймона Фрейсера в Британской Колумбии Борвейн скромно заявляет: "В настоящее время у нас нет возможности проверить нормальность даже одной константы. Но, возможно, формула, найденная компьютерной программой, позволит решить эту задачу". Вместе с Ричардом Крэнделлом из Колледжа Рида Борвейн показал, что найденный алгоритм позволяет перевести задачу о нормальности математических констант в другие, более изученные области математики.

26 Теория числа "Пи" Число "Пи" - это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность. d-диаметр

27 Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, автор не известен; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

28 Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие: Кто и шутя, и скоро пожелаетъ "Пи" узнать число - уже знаетъ. Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число "Пи" с точностью до одиннадцати знаков?

29 Великая Пирамида, последнее оставшееся чудо из древнего списка семи чудес света, является фантастическим шедевром инженерного искусства не только благодаря своим гигантским размерам. Основание Пирамиды покоящееся на гранитной поверхности с отклонением от горизонтали не более двух см., представляет собой почти идеальный квадрат(максимальное отклонение 3 минуты 33 секунды)со сторонами около 230 метров ( северная 230.1, западная и восточная 230.2, южная 230.3).

30 В результате, например, отношение длины основания пирамиды к ее высоте, разделенное пополам, дает знаменитое число "Пи" (отношение длины окружности к ее диаметру) с точностью до шестого знака! Об этом числе говорится и в древнеегипетском папирусе Ринда (хранящемся в Британском музее в Лондоне). Возможно, оно намеренно зашифровано в размерах Пирамиды Хеопса, причем с более точным значением, чем его знал великий Архимед, живший позже на 2000 лет!

31 В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "Пи" - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что оно одинаково для любого круга. Мы до сих пор пользуемся придуманной Архимедом системой наименования целых чисел.

32 Способы вычисления Простейшее измерение Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа, т.е. =l /2R..Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.

33 Про число p 3, Гордый Рим трубил победу Над твердыней Сиракуз; Но трудами Архимеда Много больше я горжусь. Надо нынче нам заняться, Оказать старинке честь, Чтобы нам не ошибаться, Чтоб окружность верно счесть, Надо только постараться И запомнить все как есть Три четырнадцать пятнадцать девяносто два и шесть! Рекорд запоминания числа p

34 Мировой рекорд, установленный в прошлом столетии в Германии знаков. Российский рекорд значений числа p 1 декабря 2003 года в Челябинске установил Александр Беляев. За полтора часа с небольшими перерывами на школьной доске Александр написал 2500 цифр числа p. До этого рекордным в России считалось перечислить 2000 знаков, что удалось сделать в 1999 году в Екатеринбурге. По словам Александра Беляева - руководителя центра развития образной памяти, такой эксперимент со своей памятью может провести любой из нас. Важно лишь знать специальные техники запоминания и периодически тренироваться.

35 Поэзия числа p Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом p. В школе на нелюбимой многими геометрии мы уяснили, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, мы будем удивлены еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа p и поисков алгоритмов для этого процесса. p... Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

36 p= 3,