«Доводиться бігти з усіх ніг лише для того, щоб залишитися на тому самому місці. Якщо хочеш потрапити в інше місце, потрібно бігти вдвічі швидше…» Льюіс. - презентация

1 «Доводиться бігти з усіх ніг лише для того, щоб залишитися на тому самому місці. Якщо хочеш потрапити в інше місце, потрібно бігти вдвічі швидше…» Льюіс Керол Казка «Аліса у країні чудес»

2 Сукупність знань, відомостей і даних

3 УРОК АЛГЕБРИ « ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА ». (11 клас Академічний рівень.)

4 1. Засвоїти поняття інтегралу 2Сформування вмінння і навички застосовувати інтеграл до обчислення площ плоских фігур. 3Формувати і розвивати вміння застосовувати інтеграл для вирішення завдань в геометрії, фізики, логічне і абстрактне мислення, математичну мову, навички організаційної роботи на уроці, робити висновки, вести евристичну бесіду. 4. Виховувати увагу, вміння організовувати свою роботу на уроці, самооцінку і самоконтроль. 5.Виховувати культуру побудови графіків функцій.

5 2х Знайти похідну : sin 2x 2 3 ln x 2 cos 2x

6 Знайти первісну: ln x sin 2x

7

8

9 Означення Фігура, обмежена графіком функції F віссю Ох і прямими х = а та х = Ь. називається криволінійною трапецією ab y y=f(x)

10 Криволінійна трапеція

11 Теорема Якщо f-неперервна і невідємна на [а, b] функція, а F-її первісна на цьому відрізку, то площа S відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [а, Ь], тобто S=F(b)-F(a)

12 у х Розглядаючи неперервну функцію у = F (х), неотрицательную на відрізку [а, в], відрізок [а, в] розбиваємо на п рівних частин точками а = х0 <х1 <х2 <... <хk-1 <хk <... <хn = в Довжина кожного відрізка дорівнює Δх. Побудуємо на кожному відрізку прямокутники. Площа кожного прямокутника дорівнює F (хк-1) Δх. Знайдемо суму цих площ. Sn = F (х0) Δх + F (х1) Δх F (хп-1) Δх. Обчислимо. Ця границя називається інтегралом функції у = F (X) від а до в і позначають. 0 а в У=f(x)

13 Числа а і в називають межами інтегрування: а-нижня межу, в - верхня межа, функцію у = f (х) - підінтегральна функція, вираз f (х) dх – підінтегральний вираз, змінну х - змінною інтегрування Таким чином

14 Визначений інтеграл – формула Ньютона-Лейбніца. Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, утвореної лініями: зверху обмеженою кривою у = f (х), і прямими у = 0, х = а, х = b.

15 Визначений інтеграл

16 Обчислення визначеного інтегралу

17 Обчисліть інтеграл

18 Знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком ДВОХ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ Існує багато випадків ми.роглянемо деякі з них

19 Площа криволінійної трапеції ab x y y = f(x) 0 AB C D x = ax = b y = 0

20 Розвязуємо разом Обчислити площу трикутника, обмеженого віссю ОХ, прямими х = 6 і у = 2х. 6 0 у х У=2х

21 Площа криволінійної трапеції abx y y = f(x) 0 AB C D x = a x = b y = 0

22 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площа криволінійної трапеції

23 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площа криволінійної трапеції

24 Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = x 2, y = x + 2. x y y = x 2 y = x A B O D C 2

25 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) A BC D с с Е Площа криволінійної трапеції

26 Приклад 2: x y = (x – 2) 2 0 ABC D 4 4 y y = 2 8 – x 4 4 Обчислити площу фігури обмеженої лініями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

27 Приклад 2: Обчислити площу фігури обмеженої лініями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

28 Обчислення площ за допомогою інтегралів. ab y x y=f(x) y = 0 x = a x = b

29 Обчислення площ за допомогою інтегралів. y x y=f(x) a bc y=g(x) + y = f (x) y = g (x) y = 0

30 Обчислення площ за допомогою інтегралів. y x y=f(x) a b y = 0 x = a x = b

31 y x y=f(x) ab y=g(x) - = y = f (x) y = g (x) Обчислення площ за допомогою інтегралів.

32 Обчисліть площі плоских фігур, обмежених лініями: 1)у=х², у=4 2)у=х³, віссю Ох і прямою х=2 3)параболою у=1-х² і віссю Ох 4)параболою у=х² і прямою у=х+1 5)графіком функції у= -х²+4 і прямою х+у=4 6)графіками функцій у= -х²+2х+8, у=х²+2х+2 7)параболою у=х²+1 і прямою 5х+3у-25=0 8)лініями у=0, у= -х²+3, х=1, х=1,5 9)кривою у=х³ і прямими у=1, х=-2 10)прямою у=х і параболою у=2-х² 11)лініями у=(х+1)² и у=4-х 12)параболою у=х²+2х-8 і віссю Ох.

33 Обчислення обємів тіл за допомогою визначеного інтеграла

34 Об'єм Об'ємом тіла називається позитивна величина, що характеризує частину простору, займану тілом, і що володіє наступними властивостями: -Рівні тіла мають рівні об'єми; -При паралельному перенесенні тіла його обсяг не змінюється; -Якщо тіло розбити на частини, які є простими тілами, то об'єм тіла дорівнює обсягу його частин; -За одиницю об'єму прийнятий об'єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини;

35 Обєм тіла обертання Нехай тіло утворюється при обертанні навколо осі OX криволінійної трапеції x 1 ABx 2 Будь-який переріз цього тіла площиною, перпендикулярної до осі Ox буде коло, радіус якого дорівнює відповідній ординаті точки кривої y = f (х) Площа перерізу S (х) дорівнюєπ y², тобто S (х) = πf²(x) Об'єм тіла обертання може бути обчислений за формулою

36 ЗАДАЧА Обчислити об'єм кулі, утвореної обертанням півкола навколо осі OX yX R -R R При обертанні півкола навколо OX виходить сфера, що обмежує кулю. Об'єм кулі знайдемо за формулою Об'єм кулі

37 ЗНАЙТИ ОБЄМИ ТІЛ Утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої прямими у=2х, х=0,у=5; Утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої синусоїдою і прямими х=0 и х=π/2; Утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої кривою у = х ³ й прямими х=1 и х=2;

38

39 1.Обчислення шляху по відомим законам зміни швидкості. по відомим законам зміни швидкості.

40 Задача: Задача: Тіло рухається прямолінійно з швидкістю,яка змінюється по закону v=2t+1(м/с). Знайти шлях, який пройде тіло за проміжок часу від t 1 =1c, до t 2 =3c.

41 2. Обчислення роботи змінної сили

42 Задача: Обчислити роботу, яку необхідно виконати, щоб відкачати воду з ями глибиною 4 м,яка має квадратний переріз з стороною 2м. Густина води ρ=10 3 кг/м 3.

43

44 3.Обчислення маси неоднорідного стержня. Якщо ρ(l) –густина стержня то

45 Задача: Знайти масу стержня довжиною 35см, якщо його лінійная густина змінюється по закону ρ(l)=(4l+3)(кг/м)

46 4. Обчислення елетричного заряду.

47 Задача: Знайти заряд,що проходить через поперечний переоіз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється по закону I(t)=(4t+1)(A)

48 Завдання ДПА з теми Застосування інтегралу

49 1.На якому малюнку зобржена фігура що не є криволінійною трапецією? 2. За формулою Ньютона-Лейбніца обчислюють: А. Первісну функції; Б. Площу криволінійної трапеції; В. Інтеграл; Г. Похідну. А Б В Г

50 3. Знайдіть площу заштрихованной фігури. А. 1. Б. -1. В. -5. Г Обчисліть інтеграл: А. 0. Б. -2. В. 1. Г. 2.

51 А. 2a. Б. 2cos a. В. 0. Г Обчисліть інтеграл: А.. Б.. В.. Г..

52 Перевірь себе 1Б 2Б 3Г 4Б 5В 6Б

53 1.Як обчислюється площа криволінійної трапеції? 2.Як обчислити обєм? 3.Як застосовується інтеграл в фізиці? ab y= f (x)