ПИРАМИДА Типовые задачи В-11. 1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 2. Во сколько раз увеличится площадь. - презентация

1 ПИРАМИДА Типовые задачи В-11

2 1. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза? 2. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 2 раза? Формула объема пирамиды: Если высоту Н увеличить в 4 раза, то и объем увеличится в 4 раза. Ответ: 4 Если все ребра пирамиды увеличить в 2 раза, то мы получим подобную пирамиду (коэффициент подобия в данном случае равен k = 2) Площади подобных тел относятся как квадрат их коэффициента подобия k 2 = 2 2 = 4Ответ: 4

3 4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды. 3. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание прямоугольник со сторонами 3 и 4. Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = 6 – высота пирамиды В основании – прямоугольник: S = a. b = 3. 4 = 12 Ответ: 24 Формула объема пирамиды: В основании – прямоугольник: S = a. b = 3. 4 = 12 Ответ: 4

4 5. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = SH = 6 – высота пирамиды SAН = SDН = SGH = 60 0 SH – общая сторона SAН= SDН= SGH (по катету и острому углу) АН = DH = GH Из SGH: Ответ: 48

5 6. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. Основанием пирамиды будем считать грань, которая является прямоугольным треугольником S A B C Формула объема пирамиды: SA = SB = SC = 3 S – площадь основания, Н = SC = 3 – высота пирамиды Ответ: 4,5

6 7. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3. A B C D E F M Пусть MF (боковое ребро) перпендикулярно основанию, Тогда MF = Н = 3 – высота пирамиды Формула объема пирамиды: S – площадь основания, Н = 3 – высота пирамиды Рассмотрим основание: АВ СD E F S = S AFKB + S KCDE = AF. AB + CD. DE S = = 27 Подставляем данные в формулу объема пирамиды: Ответ: 27 K

7 8. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер. У данного тетраэдра грани – равные правильные треугольники Сечением тетраэдра является квадрат, т.к. стороны сечения являются средними линиями треугольников и в 2 раза меньше параллельных им сторон. S = a 2 = 0,5 2 = 0,25 Ответ: 0,25

8 9. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды АВСА 1. Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Пусть- объем пирамиды - объем параллелепипеда Тогда Очевидно, что площадь основания параллелепипеда S 2, больше в 2 раза площади основания пирамиды S 1 S 2 = 2S 1 Ответ: 1,5

9 10. Найдите объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, если объем треугольной пирамиды ABDA 1 равен 3. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина А 1 общая Тогда Отсюда получим: Ответ: 18

10 Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина B 1 общая Тогда найдем отношение объемов: Отсюда получим: Ответ: Объем параллелепипеда АBCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B 1 ABC. A В С D B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 H

11 12. Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD 1 СВ 1. Формула объема пирамиды: Формула объема параллелепипеда: Параллелепипед и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина В 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Отсюда: Ответ: 1,5 Очевидно, что пирамида AD 1 CB 1 находится внутри параллелепипеда. Надо только отрезать четыре равные треугольные пирамиды, у которых три ребра - измерения параллелепипеда (a, b, h), а другие три ребра – диагонали трех различных граней параллелепипеда: В 1 АВС; CВ 1 C 1 D 1 ; AA 1 B 1 D 1 ; D 1 ACD

12 13. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной центр куба. MABCD – правильная четырехугольная пирамида, т.к в основании лежит квадрат, а высота проецируется в центр этого квадрата А В С М А1А1 В1В1 С1С1 D D1D1 O O1O1 ОО 1 = H - высота куба ОМ = h - высота пирамиды Н = 2 h Формула объема куба: Формула объема пирамиды: Тогда найдем отношение объемов: Ответ: 2

13 14. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды. V SABC = 12, V SMCN - ? Пирамиды SABC и SMCN имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. Тогда найдем отношение объемов: Т.к. MN – средняя линя треугольника, то АВС ~ MNC, где k = 2 Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия Ответ: 4

14 15. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC. О К SABCD – правильная пирамида, в основании лежит квадрат, а высота SO = H проецируется в центр этого квадрата EABC – треугольная пирамида, в основании лежит АВС, а высота ЕК = h является средней линией BOS и равна половине SO H = 2h Тогда найдем отношение объемов: Очевидно, что площадь основания ABCD, больше в 2 раза площади основания ABC Ответ: 3

15 Тогда найдем отношение объемов: A B CD E F 16. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды. Пирамиды имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина S общая. O Очевидно, что S АВС = S AOB, т.е. площадь правильного шестиугольника в 6 раз больше площади АВС V SABCDEF = 6. V SABC = 6. 1 = 6 Ответ: 6

16 17. От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части. Ответ: 4 A B C A1A1 C1C1 B1B1 V приз = 6, V пир - ? Призма и пирамида имеют одинаковую высоту Н, т.к. их основания лежат в одной плоскости и вершина С 1 общая. Тогда найдем отношения объемов: Объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы, значит V пир = 2 Тогда объем оставшейся части: 6 – 2 = 4

17 18. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду. A B C М 1 часть 2 части К V MABC = V KABC + V MABK = 15 Высота пирамиды МАВС (Н) содержит высоту пирамиды КАВС (h) Основание этих пирамид - ОБЩЕЕ Найдем их отношение: Объем оставшейся пирамиды равен: 15 – 10 = 5 Ответ: 10 М С К