Применение производной и интеграла при решении задач по физике. - презентация

1 Применение производной и интеграла при решении задач по физике

2 Производная функции Если существует предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при условии, то функция называется дифференцируемой в точке x, а этот предел называется значением производной функции в точке x и обозначается или :

3 Физический смысл производной Если – закон прямолинейного движения, то выражает скорость движения в момент времени t, то есть Производная функции в точке x выражает скорость изменения функции в этой точке, то есть скорость протекания процесса, описываемого зависимостью Вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, то есть ускорение

4 Интеграл функции Функцию, заданную на некотором промежутке, называют первообразной функции, заданной на том же промежутке, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство. Выражение, где – произвольная постоянная, называют общим видом первообразных функции, а также неопределенным интегралом от функции, и обозначают:

5 Физический смысл интеграла Работа переменной силы F, величина которой есть непрерывная функция, действующей на отрезке, равна определенному интегралу от величины силы, взятому по отрезку.

6 Задача 1 Вычислить минимальную работу внешней силы, необходимую для перемещения тела массой m с поверхности Земли в точку космического пространства, удаленную от центра Земли на расстояние R. Вычислить минимальную работу внешней силы, необходимую для перемещения тела массой m с поверхности Земли в точку космического пространства, удаленную от центра Земли на расстояние R.

7 Решение. На тело массы m со стороны Земли действует сила всемирного тяготения F т, зависящая от расстояния r между телом и центром Земли: F т =GM 3 m/r 2, где M 3 – масса Земли, G – гравитационная постоянная. Для удаления тела с поверхности Земли требуется приложить к нему внешнюю силу F в, направленную в противоположную сторону, причем величина этой силы F в F т. Минимальная работа будет совершена в предельном случае F в (r) = F т (r). Искомую работу вычисляем по формуле: b A= F (x) dx A= F (x) dx R R a R A min = F в (r) dr = F т (r) dr = GM 3 m dr/r 2 = R 3 R 3 R 3 R = - GM 3 m/r = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). R 3

8 Таким образом, A min = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). (*) A min = GM 3 m(1/R 3 – 1/R). (*) Из формулы (*) находим, что для удаления тела с поверхности Земли в бесконечно удаленную точку космического пространства (R) требуется совершить конечную работу A min = GM 3 m/R 3 A min = GM 3 m/R 3 В приведенных расчетах мы для простоты не принимали во внимание силы притяжения, действующие на тело массы m со стороны других космических объектов, в первую очередь Солнца

9 Задача 1. Частица, несущая электрический заряд e, движется в однородном электрическом поле переменной напряженностью E=Asin(kt), где A и k – постоянные коэффициенты. Уравнение движения частицы имеет вид Частица, несущая электрический заряд e, движется в однородном электрическом поле переменной напряженностью E=Asin(kt), где A и k – постоянные коэффициенты. Уравнение движения частицы имеет вид x=eA(t-sin(kt)/k)/mk, x=eA(t-sin(kt)/k)/mk, где m – постоянная величина. где m – постоянная величина. Определить величину скорости точки, ее начальное значение, а также наибольшее и наименьшее значение скорости. Определить величину скорости точки, ее начальное значение, а также наибольшее и наименьшее значение скорости.

10 Р е ш е н и е. Для нахождения модуля скорости вычисляем производную от x по времени Р е ш е н и е. Для нахождения модуля скорости вычисляем производную от x по времени v=|dx/dt|=eA(1-cos(kt)/mk (*) v=|dx/dt|=eA(1-cos(kt)/mk (*) Подставляя в уравнение (*) начальное значение времени t=0, получим, что Подставляя в уравнение (*) начальное значение времени t=0, получим, что v 0 =0 v 0 =0 Для определения экстремальных значений модуля скорости находим первую производную от величины скорости по времени и, приравнивая ее значение к нулю, определяем моменты времени, когда скорость достигает наибольших и наименьших значений: Для определения экстремальных значений модуля скорости находим первую производную от величины скорости по времени и, приравнивая ее значение к нулю, определяем моменты времени, когда скорость достигает наибольших и наименьших значений: dv/dt=eAsin(kt 1 )=0 dv/dt=eAsin(kt 1 )=0 Следовательно, kt 1 =0, п, 2 п, 3 п, 4 п, …, откуда Следовательно, kt 1 =0, п, 2 п, 3 п, 4 п, …, откуда t 1 =пn/k, t 1 =пn/k, где n=0, 1, 2, 3,... где n=0, 1, 2, 3,... Подставляя найденное значение kt 1 в уравнение (*), находим при n=0 Подставляя найденное значение kt 1 в уравнение (*), находим при n=0 v=eA(1-cos0)/mk=0; (**) v=eA(1-cos0)/mk=0; (**) при n=1 при n=1 v=eA(1-cosп)/mk=2eA/mk. (***) v=eA(1-cosп)/mk=2eA/mk. (***) При последующих значениях n значение скорости (**) и (***) будут периодически повторяться. При последующих значениях n значение скорости (**) и (***) будут периодически повторяться.

11 Задача 2. Задача о радиоактивном распаде. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон распада радия, если известно, что в начальный момент t=0 имелось m 0 г радия. Задача о радиоактивном распаде. Скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличной массе. Найти закон распада радия, если известно, что в начальный момент t=0 имелось m 0 г радия.

12 Решение. Пусть в момент времени t масса радия составляет x г. Тогда скорость Решение. Пусть в момент времени t масса радия составляет x г. Тогда скорость распада радия равна d(m 0 – x)/dt = -dx/dt d(m 0 – x)/dt = -dx/dt По условию задачи -dx/dt = kx, -dx/dt = kx,откуда dx/dt = -kx (1) dx/dt = -kx (1) где k – коэффициент пропорциональности. Равенство (1) – пример так называемого линейного однородного дифференциального Равенство (1) – пример так называемого линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка. Желая найти x из уравнения (1), представим (1) сначала в виде х/x = -k, а затем в виде Желая найти x из уравнения (1), представим (1) сначала в виде х/x = -k, а затем в виде (lnx) = -k. Отсюда следует, что lnx = -kt + lnC, где C – положительная постоянная. Поэтому x = Ce -kt x = Ce -kt Для определения С используем начальное условие: x = m0 при t=0. Имеем С=m 0, и, значит, искомый закон радиоактивного распада запишется так: x = m 0 e -kt. x = m 0 e -kt. Коэффициент k определяется экспериментально. Например, для радия k=0, Промежуток времени T, за который распадается половина первоначальной массы радиоактивного вещества, Называют периодом полураспада этого вещества. Подставляя в (2) x= m0/2, получим уравнение для определения периода полураспада T для радия: m 0 /2 = m 0 e -kT m 0 /2 = m 0 e -kTоткуда -kt = -ln2 -kt = -ln2 и, наконец, T = ln2/k = ln2/0, = 1550 лет T = ln2/k = ln2/0, = 1550 лет

13 Задача 3. Задача о законе естественного роста. Законестественного роста – это закон, при котором скорость роста вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества x в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент при t=0 количество вещества было x 0. Задача о законе естественного роста. Законестественного роста – это закон, при котором скорость роста вещества прямо пропорциональна его количеству. Найдем формулу для определения изменения количества вещества x в зависимости от времени t, считая, что в начальный момент при t=0 количество вещества было x 0.

14 Решение. Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл Решение. Используя, как и в предыдущей задаче, физический смысл производной, можно записать закон естественного роста следующим образом: dx/dt = kx, (*) dx/dt = kx, (*) где k – коэффициент пропорциональности. Уравнение (*) описывает многие процессы размножения.размножения. Решение уравнения (*), удовлетворяющее начальному условию x=x 0 при t = 0, имеет вид: x = x 0 e kt (**) x = x 0 e kt (**) Формула (**) является формулой, выражающей закон естественного роста. По этому закону, например, происходит размножение числа нейтронов в ядерных реакциях, размножение числа бактерий, рост кристаллов, населения и т.п.