(365-300 до. н. э.) Прежде всего Евклид является для нас автором "Начал", по которым учились математики всего мира. Прежде всего Евклид является для. - презентация

1

2

3 ( до. н. э.)

4 Прежде всего Евклид является для нас автором "Начал", по которым учились математики всего мира. Прежде всего Евклид является для нас автором "Начал", по которым учились математики всего мира. Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике. Эта удивительная книга пережила более двух тысячелетии, но до сих пор не утратила своего значения не только в истории науки, но и самой математике. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей. Созданная там система евклидовой геометрии и теперь изучается во всех школах мира и лежит в основе почти всей практической деятельности людей.

5 Содержание "Начал" далеко не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная бaзa для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения "Начал", как на нечто окончательно установленное. Содержание "Начал" далеко не исчерпывается элементарной геометрией - это основы всей античной математики. Здесь подводится итог более чем 300-летнему ее развитию и вместе с тем создается прочная бaзa для дальнейших исследований. Последующие математики ссылались на предложения "Начал", как на нечто окончательно установленное.

6 В "Началах" Евклид дает строгое и логическое изложение всего геометрического материала, известного до него и дополненного им сами. В "Началах" Евклид дает строгое и логическое изложение всего геометрического материала, известного до него и дополненного им сами. "Начала" представляют большой труд, состоящий из 13 книг. Первые четыре книги содержат планиметрию, в них излагаются свойства плоских фигур, многоугольников и круга; "Начала" представляют большой труд, состоящий из 13 книг. Первые четыре книги содержат планиметрию, в них излагаются свойства плоских фигур, многоугольников и круга; Пятая содержит теорию пропорций; Пятая содержит теорию пропорций; Шестая посвящена вопросам подобия фигур. Шестая посвящена вопросам подобия фигур. Основные вопросы арифметики нашли свое место в седьмой, восьмой и девятой книгах; Основные вопросы арифметики нашли свое место в седьмой, восьмой и девятой книгах; Десятая содержит выяснение понятий о соизмеримых и несоизмеримых количествах; Десятая содержит выяснение понятий о соизмеримых и несоизмеримых количествах; В одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой книгах изложены основные теоремы стереометрии. В одиннадцатой, двенадцатой и тринадцатой книгах изложены основные теоремы стереометрии.

7 Фрагмент старейшего папируса с диаграммами из "Элементы геометрии" Евклида Papyrus found among the remarkable rubbish piles of Oxyrhynchus in by the renowned expedition of B. P. Grenfell and A. S. Hunt. It is now located at the University Pennsylvania of

8 (1048 – 1131)

9 Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: к алгебре, к алгебре, к теории параллельных, к теории параллельных, к теории отношений и учению о числе. к теории отношений и учению о числе.

10 На богатом историческом материале исследователи доказали заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики и физики.

11 С 1074 года Хайям возглавлял крупнейшую астрономическую обсерваторию. В середине 90-х г.г. XI века совершил паломничество в Мекку. Последние годы жизни Хайям провел в Нишапуре. С 1074 года Хайям возглавлял крупнейшую астрономическую обсерваторию. В середине 90-х г.г. XI века совершил паломничество в Мекку. Последние годы жизни Хайям провел в Нишапуре.

12 Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на пять разделов: Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на пять разделов: 1) введение, 1) введение, 2) решение уравнений 1-й и 2- й степени, 2) решение уравнений 1-й и 2- й степени, 3) решение уравнений 3-й степени, 3) решение уравнений 3-й степени, 4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной. 4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной.

13 Омар Хайям вошел в историю всемирной культуры не только как блестящий ученый- энциклопедист, но и как прекрасный поэт. Его стихи были переведены на все языки мира. Омар Хайям вошел в историю всемирной культуры не только как блестящий ученый- энциклопедист, но и как прекрасный поэт. Его стихи были переведены на все языки мира.

14 Вот одно из стихотворений Омара: Вот одно из стихотворений Омара: Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно надо немало. Чтоб мудро жизнь прожить, знать надобно надо немало. Два важных правила запомни для начала. Два важных правила запомни для начала. Ты лучше голодай, чем попало есть, Ты лучше голодай, чем попало есть, И лучше будь один, чем вместе с кем попало. И лучше будь один, чем вместе с кем попало.

15 Франсуа Виет французский математик ( ) ( )

16 Франсуа Виет родился во Франции в 1540 году. Став юристом продолжал заниматься математикой, астрономией и космологией. Франсуа Виет родился во Франции в 1540 году. Став юристом продолжал заниматься математикой, астрономией и космологией. В 1571 году начал публиковать Математический Канон с Приложением на Тригонометриию В 1571 году начал публиковать Математический Канон с Приложением на Тригонометриию

17 Теорема Виета По праву достойна в стихах быть воспета По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи, постоянства такого: Что лучше, скажи, постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уже готова: Умножишь ты корни – и дробь уже готова: В числителе «с», в знаменателе «а», В числителе «с», в знаменателе «а», А сумма корней тоже дроби равна. А сумма корней тоже дроби равна. Хоть с минусом дробь эта., что за беда- Хоть с минусом дробь эта., что за беда- В числителе «в», в знаменателе «а». В числителе «в», в знаменателе «а». X + px + q=0 x1+x2=-p;x1*x2=q;

18 ( родился ок. 580 г. и умер ок. 500 г. до н.э.)

19 Теорема Пифагора Если дан нам треугольник И при том с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путем К результату мы придем. И. Дырченко И. Дырченко

20 –Родился на острове Самос около 580 г. до н.э. Его отцом был некий Мнесарх из Самоса, человек благородного происхождения и образования. Спасаясь от тирании Поликрата, Пифагор ок. 530 до н.э. покинул Самос.

21 По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте. По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. Он более 10 лет жил в Вавилоне, изучая древнюю культуру и достижения науки разных стран. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. Он более 10 лет жил в Вавилоне, изучая древнюю культуру и достижения науки разных стран.

22 АС ² + ВС ² = АВ ² В С А Он доказал известную теорему Пифагора Если дан нам треугольник И при том с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней найдем- И таким простым путем К результату мы придем.

23 Теорема Пифагора Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии: Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

24 Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка или, как рассказывают другие, 100 быков, послужило поводом для юмора в рассказах и стихах. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву быка или, как рассказывают другие, 100 быков, послужило поводом для юмора в рассказах и стихах. Однако, это противоречит сведениям о моральных религиозных воззрениях Пифагора. Он запрещал убивать животных, а тем более ими кормиться. Однако, это противоречит сведениям о моральных религиозных воззрениях Пифагора. Он запрещал убивать животных, а тем более ими кормиться. В связи с этим можно считать более правдоподобным, что он принёс в жертву быка, сделанного из теста. В связи с этим можно считать более правдоподобным, что он принёс в жертву быка, сделанного из теста.

25 Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Однако в настоящее время установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Верёвочным треугольником со сторонами 3, 4 и 5 единиц пользовались ещё в Древнем Египте для построения прямых углов на местности. Верёвочным треугольником со сторонами 3, 4 и 5 единиц пользовались ещё в Древнем Египте для построения прямых углов на местности. Поэтому треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называют ещё иногда египетским. Поэтому треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называют ещё иногда египетским.

26 Теорема Пифагора Первая научная модель мира, предложенная Пифагором - все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений - а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. Первая научная модель мира, предложенная Пифагором - все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений - а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. «Числа правят миром через свойства геометрических фигур». «Числа правят миром через свойства геометрических фигур». Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии: Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. и В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. и частный случай теоремы Пифагора - теорема косинусов. частный случай теоремы Пифагора - теорема косинусов.

27 Вернувшись на родину, Пифагор организовал пифагорейский орден и школу философов и математиков. Туда принимались с большими церемониями после долгих испытаний В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось самому Пифагору. В школе была очень серьёзная дисциплина. Главным безоговорочным аргументом в научных спорах были слова «сам сказал». После этого дискуссии прекращались.

28 Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма или пифагорейская звезда. При встрече они рисовали её на песке, тем самым приветствуя друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья.

29 Он был четыре раза подряд олимпийским чемпионом. В пятисотых годах до нашей эры Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После смерти его ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так, что правду о Пифагоре установить невозможно.

30 Пребудет вечной истина, как скоро Её познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, её почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь, закрыв глаза, дрожать От страха, что вселил в них Пифагор.

31 Архимед из Сиракуз (287 г. до н.э. – 212 г. до н.э.)

32 Закон Архимеда Жил в Сиракузах мудрец Архимед. Был другом царя Гиерона. Какой для царя самый важный предмет? Вы все догадались корона! Захотелось Гиерону сделать новую корону. Золото отмерил строго. Взял не мало и не много- Сколько нужно-в самый раз. Ювелиру дал заказ. Через месяц Гиерону ювелир принес корону И царю узнать охота: честно ль сделана работа? - - Вот корона, Архимед, Золотая или нет? - - И задумался ученый: - - Как узнать состав короны? - - И однажды, в ванне моясь, Погрузился он по пояс - - На пол вылилась вода: догадался он тогда, - - И помчался к Гиерону не обут и не одет… - - -Эврика! Раскрыл секрет Пусть весы сюда несут и с водой большой сосуд… - - На весы кладем корону и теперь такой же ровно - - Ищем слиток золотой. - - Мы теперь корону нашу опускаем в эту чашу. - - Гиерон! Смотри сюда- - - В чаше поднялась вода Ставлю черточку по краю, - - А корону вынимаю. - - В воду золото опустим. - - В воду золото допустим… - - Поднялась опять вода. - - Метку ставлю я. Куда? - -Эврика! Раскрыл секрет 1 - Пусть весы сюда несут и с водой большой сосуд… - На весы кладем корону и теперь такой же ровно - Ищем слиток золотой. - Мы теперь корону нашу опускаем в эту чашу. - Гиерон! Смотри сюда- - В чаше поднялась вода 1 - Ставлю черточку по краю, - А корону вынимаю. - В воду золото опустим. - В воду золото допустим… - Поднялась опять вода. - Метку ставлю я. Куда 7 Ну, конечно же, по краю. -Ничего не понимаю. Лишь две черточки я вижу. Эта-выше, Эта – ниже. - Но какой же вывод главный? - Равный вес. Объем – не равный! - Понимаешь, Гиерон, я сейчас открыл закон. - Тот закон совсем простой: - Тело вытеснит… - -Постой! Говоришь объем неравный? - Матер мой мошенник явный! - За фальшивую корону от ответит по закону! - А ты за разгадку получишь дары.

33 Архимед-вершина научной мысли древнего мира. Древнегреческий математик, механик, военный инженер.Последующие ученые - Герон Александрийский (1-11 вв. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) - мало что прибавили к наследию Архимеда. Архимед-вершина научной мысли древнего мира. Древнегреческий математик, механик, военный инженер.Последующие ученые - Герон Александрийский (1-11 вв. до н. э.), Папп Александрийский (III в. н. э.) - мало что прибавили к наследию Архимеда.

34 Архимед родился в 287 году до нашей эры в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь.. Учился Архимед в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали самую большую в мире библиотеку. После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и унаследовал должность своего отца. Архимед родился в 287 году до нашей эры в греческом городе Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь.. Учился Архимед в Александрии, где правители Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также основали самую большую в мире библиотеку. После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и унаследовал должность своего отца.

35 Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что оно одинаково для любого круга. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении "Параболы квадратуры" Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде "Об измерении круга" Архимед впервые вычислил число "пи" - отношение длины окружности к диаметру - и доказал, что оно одинаково для любого круга.

36 Математический метод Архимеда, связанный с математическими работами пифагорейцев и с завершившей их работой Эвклида, а также с открытиями современников Архимеда, подводил к познанию материального пространства, к познанию теоретической формы предметов, находящихся в этом пространстве, формы совершенной, геометрической формы, к которой предметы более или менее приближаются и законы которой необходимо знать, чтобы воздействовать на материальный мир. Математический метод Архимеда, связанный с математическими работами пифагорейцев и с завершившей их работой Эвклида, а также с открытиями современников Архимеда, подводил к познанию материального пространства, к познанию теоретической формы предметов, находящихся в этом пространстве, формы совершенной, геометрической формы, к которой предметы более или менее приближаются и законы которой необходимо знать, чтобы воздействовать на материальный мир.

37 Архимед изучал силы, которые двигают предметы или приводят в равновесие, изобретая новую отрасль математики, в которой материальные тела, приведенные к их геометрической форме, сохраняют в то же время свою тяжесть. Эта геометрия веса и есть рациональная механика, это статика, а также гидростатика, первый закон которой открыл Архимед (закон, носящий его имя), согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости. Архимед изучал силы, которые двигают предметы или приводят в равновесие, изобретая новую отрасль математики, в которой материальные тела, приведенные к их геометрической форме, сохраняют в то же время свою тяжесть. Эта геометрия веса и есть рациональная механика, это статика, а также гидростатика, первый закон которой открыл Архимед (закон, носящий его имя), согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует сила, равная весу вытесненной им жидкости.

38 Знаменитое "Эврика!" было произнесено не в связи с открытием закона Архимеда, но по поводу закона удельного веса металлов - открытия, которое также принадлежит сиракузскому ученому. Согласно преданию, однажды к Архимеду обратился правитель Сиракуз. Он приказал проверить, соответствует ли вес золотой короны весу отпущенного на нее золота. Для этого Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Затем поочередно положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем слитка. Знаменитое "Эврика!" было произнесено не в связи с открытием закона Архимеда, но по поводу закона удельного веса металлов - открытия, которое также принадлежит сиракузскому ученому. Согласно преданию, однажды к Архимеду обратился правитель Сиракуз. Он приказал проверить, соответствует ли вес золотой короны весу отпущенного на нее золота. Для этого Архимед сделал два слитка: один из золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Затем поочередно положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем превышает объем слитка.

39 Архимед проверяет и создает теорию пяти механизмов, известных в его время и именуемых "простые механизмы". Это - рычаг ("Дайте мне точку опоры, - говорил Архимед, - и я сдвину Землю"), клин, блок, бесконечный винт и лебедка.. Изобретение бесконечного винта привело его к изобретению болта, сконструированного из винта и гайки.

40 В 212 году до нашей эры при обороне Сиракуз от римлян во время второй Пунической войны Архимед сконструировал несколько боевых машин, которые позволили горожанам отражать атаки превосходящих в силе римлян в течение почти трех лет. Одной из них стала система зеркал, с помощью которой египтяне смогли сжечь флот римлян. Архимед погиб во время осады Сиракуз: его убил римский воин в тот момент, когда ученый был поглощен поисками решения поставленной перед собой проблемы. В 212 году до нашей эры при обороне Сиракуз от римлян во время второй Пунической войны Архимед сконструировал несколько боевых машин, которые позволили горожанам отражать атаки превосходящих в силе римлян в течение почти трех лет. Одной из них стала система зеркал, с помощью которой египтяне смогли сжечь флот римлян. Архимед погиб во время осады Сиракуз: его убил римский воин в тот момент, когда ученый был поглощен поисками решения поставленной перед собой проблемы. Завоевав Сиракузы, римляне так и не стали обладателями трудов Архимеда. Только через много веков они были обнаружены европейскими учеными. Завоевав Сиракузы, римляне так и не стали обладателями трудов Архимеда. Только через много веков они были обнаружены европейскими учеными. Плутарх пишет, что Архимед умер в глубокой старости. На его могиле была установлена плита с изображением шара и цилиндра. Плутарх пишет, что Архимед умер в глубокой старости. На его могиле была установлена плита с изображением шара и цилиндра.

41 Нет, не всегда смешон и узок Нет, не всегда смешон и узок Мудрец, глухой к делам земли: Мудрец, глухой к делам земли: Уже на рейдах в Сиракузах Уже на рейдах в Сиракузах Стояли римлян корабли. Стояли римлян корабли. Над математиком курчавым Над математиком курчавым Солдат занес короткий нож, Солдат занес короткий нож, А он на отмели песчаной А он на отмели песчаной Окружность вписывал в чертеж, Окружность вписывал в чертеж, Ах, если б смерть – лихую гостью- Ах, если б смерть – лихую гостью- Мне так же встретить повезло, Мне так же встретить повезло, Как Архимед, чертивший тростью Как Архимед, чертивший тростью В минуту гибели – число! В минуту гибели – число! (Д.Кедрин) (Д.Кедрин)

42 ЛОБАЧЕВСКИЙ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ (1792–1856)

43 Высокий лоб, нахмуренные брови. Высокий лоб, нахмуренные брови. В холодной бронзе – отраженный луч… В холодной бронзе – отраженный луч… Но, даже неподвижный и суровый, Но, даже неподвижный и суровый, Он, как живой, -спокоен и могуч… Он, как живой, -спокоен и могуч… Пусть новых линий не начертят руки, Пусть новых линий не начертят руки, Он здесь стоит, взнесенный высоко, Он здесь стоит, взнесенный высоко, Как утверждение бессмертья своего, Как утверждение бессмертья своего, Как вечный символ торжества науки. Как вечный символ торжества науки.

44 Русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Большой вклад внес в математический анализ и алгебру. Он разработал метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней. Русский математик, создатель неевклидовой геометрии. Большой вклад внес в математический анализ и алгебру. Он разработал метод приближенного решения алгебраических уравнений высших степеней. Главным достижением Лобачевского является доказательство того, что существует более чем одна «истинная» геометрия. Главным достижением Лобачевского является доказательство того, что существует более чем одна «истинная» геометрия. Среди опубликованных работ ученого – О началах геометрии (1829–1830), Воображаемая геометрия (1835), Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836), Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835–1838), Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840). Среди опубликованных работ ученого – О началах геометрии (1829–1830), Воображаемая геометрия (1835), Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам (1836), Новые начала геометрии с полной теорией параллельных (1835–1838), Геометрические исследования по теории параллельных линий (1840).

45 Его сравнивают с Колумбом, открывшим миру новый континент, или с Коперником, перевернувшем представление людей о строении Вселенной. Известный советский геометр В. Ф. Каган по этому поводу заметил, что легче было бы остановить Солнце и сдвинуть Землю, чем признать, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямых.. Его сравнивают с Колумбом, открывшим миру новый континент, или с Коперником, перевернувшем представление людей о строении Вселенной. Известный советский геометр В. Ф. Каган по этому поводу заметил, что легче было бы остановить Солнце и сдвинуть Землю, чем признать, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямых..

46 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Г.И. Глейзер. История математики в школе, М: «Просвещение», 1982 г. Г.И. Глейзер. История математики в школе, М: «Просвещение», 1982 г. И. Исупова. Всё обо всём Т.8, М: «Слово», 1997 г. И. Исупова. Всё обо всём Т.8, М: «Слово», 1997 г. Л.С..Атанасян и др.. Геометрия 7-9 класс, М: «Просвещение», 2003 г. Л.С..Атанасян и др.. Геометрия 7-9 класс, М: «Просвещение», 2003 г. К. Гридин. Ст. «Искать ответы никогда не поздно», «Загадки Земли» г. К. Гридин. Ст. «Искать ответы никогда не поздно», «Загадки Земли» г. Энциклопедия школьника.2006 год. Мир книг. Энциклопедия школьника.2006 год. Мир книг. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. Гос.изд.физ-мат.лит.М,1961. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. Гос.изд.физ-мат.лит.М,1961. Интернет. Интернет.

47