1.Автор: Двойнина Екатерина Владимировна 2.Руководитель: Лукина Екатерина Владимировна 3.Регион: Белгородская область Название учебного заведения: МОУ. - презентация

1 1.Автор: Двойнина Екатерина Владимировна 2.Руководитель: Лукина Екатерина Владимировна 3.Регион: Белгородская область Название учебного заведения: МОУ СОШ 2 с углубленным изучением отдельных предметов Адрес учебного заведения: , г. Новый Оскол, ул. Оскольская, д. 7 Телефон: 8(47) учебного заведения: 4. Контактный телефон (дом. и сотовый) автора: 8(47) Адрес автора: , г. Новый Оскол, ул. 1 Мая, д. 10. кв. 16 автора: 5.Номинация: История математики Тема работы: История числа «пи»

2 Цель исследования: подобрать и систематизировать сведения из истории математики о числе «пи» В работе вводится понятие числа «пи» и дается обзор истории исследования числа «пи» с древнейших времен до эры компьютерных технологий

3 История числа «пи»

4 Отношение диаметра к длине окружности человечество интересовало, наверное, с тех пор, как люди увидели солнце, встающее из-за горизонта. Однако это был интерес на уровне любопытства – строительство лишь зарождалось, а изобретение колеса предназначалось потомкам. С развитием цивилизации древнеегипетские, вавилонские, древнеиндийские и древнегреческие геометры основательно «взяли круг за его диаметр» - занялись вычислением таинственной константы.

5 Определение числа π математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра Обозначается буквой греческого алфавита «пи» Обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια окружность, периферия и περίμετρος периметр Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У. Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер

6 π определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d = 2r. Кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr. Другая известная формула, в которой встречается π, формула площади круга S = πr 2, или S = πd 2 /4. В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π 3,14 Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности это число

7 История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке эра цифровых компьютеров История числа π

8 Геометрический период То, что отношение длины окружности к диаметру одинаково для любой окружности, и то, что это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.: это 25 / 8 (Вавилон) и 256 / 81 (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1%. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли так (запись дана в современных символах): (d - d/9) 2 = (2R - 2R/9) 2 = ((16R)/9) 2 = (16/9) 2 R 2 Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число π считали равным дроби (16/9) 2, или 256/81, т.е. π 3,160...

9 В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π в то время принимали равным 10, что даёт дробь 3, Ведический текст «Шатапатха-брахмана» даёт как 339 / 108 3,139 Значение π = 3 использовалось и древними иудеями: библейский автор упоминает, что при строительстве храма при царе Соломоне мастер Хирам из Тира в числе других храмовых украшений «сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое,... и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Царств, гл. 7, 23).

10 В Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э. длину окружности находили по правилу, которое можно записать как C = 3d=6R, площадь круга находили по правилу S = C 2 /12 = 36R 2 /12 = 3R 2. Позже для более точных вычислений использовалось геометрическое приближение: от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось π = 3 + 1/9 = 3,11. Геометрические приближения площади круга, Древний Вавилон У древнегреческих математиков с их превалирующим интересом к геометрическим построениям и доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов.

11 Древние греки Евдокс, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Однако, здесь их ожидали необъяснимые (с их точки зрения) трудности. Действительно, поскольку все построения выполнялись с помощью циркуля и линейки, все их попытки сводились к выражению отношения длины окружности к диаметру (т.е. числа π ) рациональным числом, и поэтому заранее были обречены на провал. Евдокс Гиппократ

12 Задача, похожая на квадратуру круга, фигурировала и в Древней Индии. В книге «Шулва-сутра», излагавшей правила строительства алтарей, построение круга, равновеликого данному квадрату ABCD, производится так. Вокруг квадрата описывается окружность; пусть перпендикуляр к отрезку AB, проходящий через центр окружности O, пересекает прямую AB и окружность в точках P и Q, а точка K делит отрезок PQ в отношении PK : KQ = 1 : 2. Тогда OK – радиус круга, равновеликого данному квадрату. Если a – сторона квадрата, то длина полученного радиуса r=a(2+2)/6, описанный способ соответствует приближенному значению π В более поздние времена в Индии использовались приближения для π, равные (т. е. 3,162 – ошибка менее 1 %), 22/7 и даже 3,1416. Построение круга, приблизительно равновеликого квадрату, Древняя Индия

13 Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильные многоугольники (от 6-угольника до 96- угольника), Архимед получил оценку : /71 π 3 + 1/7, т.е. 3,1408 π 3,1428 Клавдий Птолемей, использовав правильный 720-угольник, нашел, что π 377/120, что составляет приблизительно 3,14167 (ошибка меньше 0,003 %). Архимед не только нашел приближенные значения π, но и оценил точность этих приближений. Уже найденная Архимедом верхняя оценка, равная 22/7, дает приближение π с точностью 0,04 %. Эту дробь часто называют «архимедовым числом».

14 Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм для вычисления π с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:итеративный алгоритм Позднее Лю Хуэй придумал быстрый метод вычисления π и получил приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади следующих друг за другом многоугольников формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4. геометрическую прогрессию Алгоритм Лю Хуэя вычисления π

15 Китайский мыслитель Чжан Хэн во 2 веке уточнил значение числа π, предложив два его эквивалента: 1) 92/29 3,1724…; 2) 10 3,1622 В Индии математики Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Индийский математик и астроном Брахмагупта в 7 веке предложил в качестве приближения 10. В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи продемонстрировал, что π 355 / 113, и показал, что 3, < π < 3, , используя алгоритм Лю Хуэя применительно к угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа π в течение последующих 900 лет.

16 В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Джамшид ибн Масуд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши в «Трактате об окружности» (1424 г.) поставил себе задачу выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, равной диаметров Земли, не превосходила толщины волоса. Европейские математики достигли такой точности и превзошли ее лишь в конце XVI в.: в 1597 г. голландец Андриан ван Роомен вычислил 17-й знак, для чего применил многоугольник с (2 30 ) вершинами. Рассмотрев правильные многоугольники вплоть до фигуры с ( ) вершинами, ал-Каши нашел 16 верных знаков (после запятой) числа π, а именно, приближение π = 3, (в реальности 17-й знак после запятой – 3 или 4, потому что 18-й – 8).

17 Первым крупным европейским вкладом со времён Архимеда был вклад голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n- угольника, где n = 60·2 29. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности», Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». Согласно завещанию автора трактата, число во всей тогдашней математической красе было высечено на его надгробии. Но, поскольку в то время привычная нам позиционная запись десятичных дробей еще не вполне прижилась, на надгробии было написано не 3, , а Людольф ван Цейлен А позже выяснилось, что тем, кто «пошел дальше», был именно он - Людольф ван Цейлен. В трудах математика обнаружили ещё 15 точных цифр числа. Сегодня число иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа».

18 Еще два голландца XVII в. – В. Снеллиус и Х. Гюйгенс – с помощью некоторых тонких геометрических рассуждений смогли достичь большей точности при меньшем числе сторон рассматриваемых многоугольников. Снеллиус воспроизвел результат Архимеда – три верных знака после запятой – рассматривая не более чем 6- угольники, а с помощью 96-угольника получил целых 7 верных знаков. Гюйгенс, доказав некоторые геометрические теоремы, смог вычислить 10 верных знаков с помощью 60-угольника. Виллеброрд Снелл (Снеллиус)Христиан Гюйгенс

19 Классический период До наступления II тысячелетия было известно не более 10 цифр π после запятой. Далее метод вписанных и описанных многоугольников уступил место новым методам, разработанным с помощью математического анализа – использованию бесконечных сумм, которые дают приближенные значения числа π нужной точности, если оставить в них достаточно большое, но лишь конечное число членов. В результате число верных знаков быстро возросло: вычислители подбирали формулы поудобнее и соревновались друг с другом в том, кто больше получит этих знаков.

20 В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма смог верно определить 11 цифр в записи числа с помощью теории рядов. Он смог вычислить как 3, , суммировав около 4000 членов ряда Этот результат известен как ряд Мадхавы Лейбница, или ряд Грегори Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Готфрид Вильгельм фон Лейбниц Джеймс Грегори

21 Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета, найденная Франсуа Виетом в 1593 году: Другим известным результатом стала формула Валлиса, выведенная Джоном Валлисом в 1655 году: Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня. Франсуа Виет Джон Валлис

22 можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа с большой точностью. Формула, открытая Джоном Мэчином, сделала вычисление π выполнимым. Леонард Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака. В Новое время для вычисления используются аналитические методы, основанные на тождествах. Первую эффективную формулу нашёл в 1706 году Джон Мэчин: Разложив арктангенс в ряд Тейлора Формулы такого типа в настоящее время известны как формулы Мэчина. Все известные вычисления π с начала XVIII в. и до начала 70-х годов нашего века опирались на варианты формулы Мэчина. Леонард Эйлер

23 Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе, который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом, у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. обы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π. Карл Фридрих Гаусс

24

25 Иррациональность и трансцендентность числа π Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы числа π, чего нельзя было достичь лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π 2. В 1735 году была установлена связь между простыми числами и π, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему проблему нахождения точного значения последовательностииррациональность которое составляет π 2 /6. И Лежандр, и Эйлер предполагали, что может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.трансцендентным

26 Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву π для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал: Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к Уильям Джонс

27 Эра компьютерных вычислений Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр π, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.быстрого преобразования Фурье Джон фон Нейман ENIAC

28 В начале XX века индийский математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для π, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул это ряд: который вычисляет по 14 цифр за ход. Братьями Чудновскими в 1987 году, найдена похожая на неё: Братья Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении π в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено цифр десятичного разложения.

29 В то время, как последовательность обычно повышает точность на фиксированную величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент и Юджин Саламин независимо друг от друга открыли алгоритм Брента Саламина, который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков. Алгоритм состоит из установки начальных значений и итераций: пока a n и b n не станут достаточно близки. Тогда оценка π даётся формулой При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков.

30

31 Первые 1000 знаков после запятой числа π

32 Нужно только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть. С.Бобров. Волшебный двурог Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать 8 знаков числа : 3, …

33 Спасибо за внимание!

34 Список использованных информационных ресурсов 3cf83a9980dc/ htm 3cf83a9980dc/ htm

35 МЕТОД ИТЕРАЦИЙ (метод последовательных приближений) - метод решения математических задач с помощью построения последовательности, сходящейся к искомому решению, при этом члены последовательности вычисляются повторным применением какой-либо операции (итерациями). Часто используется в различных алгоритмах численного решения задач.

36 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ, последовательность чисел, из которых каждое следующее получается из предыдущего умножением на постоянное число q, называемого знаменателем геометрической прогрессии, напр., 2, 8, 32, 128,..., q = 4

37 ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО - число, не являющееся рациональным, т. е. которое не может быть точно выраженным дробью m/n, где m и n целые числа. Действительные иррациональные числа могут быть представлены бесконечными непериодическими десятичными дробями.

38 ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО - число, не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Трансцендентными числами являются: число =3, ; десятичный логарифм любого целого числа, не изображаемого единицей с нулями; число е=2, и др.

39 Быстрое преобразование Фурье (БПФ) это быстрый алгоритм вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ). То есть алгоритм вычисления за количество действий, меньшее чем O(N 2 ), требуемых для прямого (по формуле) вычисления ДПФ. Дискретное преобразование Фурье это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале.