1 с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение» Обобщение тем «Признаки подобия треугольников. Применение подобия к доказательству. - презентация

1 1 с использованием компьютерных технологий на тему: «Золотое сечение» Обобщение тем «Признаки подобия трехугольников. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач.» 8 класс, геометрия Подготовила и провела учитель математики Одышева О. В. МОУ «Лямбирская средняя общеобразовательная школа 2» ОТКРЫТЫЙ

2 2 Эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора, а другое – деление отрехзка в среднем и крайнем одногении…Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень.» И. Кеплер Цель урока: повторить, обобщить и расширить знания учащихся, связанные с понятием подобия фигур; ввести и рассмотрехть на примерах понятие «золотое сечение». Задачи урока. Образовательные: совершенствование умений определять подобные трехугольники по данным рисунка; обучение практическим навыкам применения свойств подобия фигур к решению задач на построение; ознакомление учащихся с методом построения «золотого сечения» отрехзка с помощью циркуля и линейки; обучение умению применять данный метод при регении задач на построение; обучение учащихся умению доказывать правильность своих выводов и суждений при регении задач. Развивающие: формирование умений слушать, наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рас – суждения по аналогии; содействие развитию логического мышления и внимания учащихся, их творческих способностей через различные виды деятельности; развитие интеллектуальных способностей учащихся с помощью решения задач повышенной сложности; развитие математической речи учащихся, речевого этикета; развитие способности эмоционально-образнего восприятия учащимися математических понятий посредством примеров из мировой художественной культуры(скульптура, архитектура, живопись, литература) и из окружающего мира(природа, животные, человек); показ связи математики с другими предметами: история, литература, биология, мировая художественная культура и т.д.

3 3 Воспитательные: формирование интереса к предмету математики; воспитание нравственнего одношения к роли математики в окружающей действительности, формирование целостнего восприятия общей картины мира; формирование у учащихся навыков совместной деятельности; развитие взаимопомощи и взаимоподдержки среди учащихся в процессе совместной работы; воспитание чувства долга и ответственности, сопереживания за класс; воспитание уважения к культуре разных народов мира; формирование чувства национальной гордости. План урока: I. Вступительное слово учителя: сообщение темы и целей урока. II. Повторение изученнего материала: 2.1 Работа у доски по карточкам ; 2.2 Разминка; 2.3 Устная работа на повторение. III. Применение свойств подобия. Решение задач. IV. Сообщение нового материала: 4.1 Геометрическое определение «золотого сечения»; 4.2 Построение «золотого сечения». V. Применение «золотого сечения»: 5.1 «Золотое сечение» в геометрии; 5.2 «Пентагон» и «пентаграмма»; 5.3 Геометрическое решение Евклида; 5.4 «Золотое сечение» в скульптуре; 5.5 «Золотое сечение» в живописи; 5.6 «Золотое сечение» в архитектуре; 5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека; 5.8 «Золотое сечение» в природе; 5.9 «Золотое сечение» в литературе; 5.10 Тайны Египетских Пирамид; 5.11 Феномен Древнего Египта; 5.12 Алгебраические свойства «золотого сечения». VI. Домашнее задание. VII. Итог урока. Заключение. VIII. Литература, другие источники информации.

4 4 Оборудование: 1.чертёжные принадлежности (циркуль, угольники); 2. мультимедийная презентация (дискета прилагается); 3. тесты с дифференцированными заданиями на применение признаков подобия трехугольников(составлены учителем). Ход урока: I. Вступительное слово учителя. (данная часть урока проводится учителем и нацелена на создание в классе благоприятнего микроклимата и настрой на работу) С давних пор человек стрехмится окружать себя красивыми вещами. На определённом этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекраснего? Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэзии…Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой поэмы? Оказывается, можно, если будут найдены единые критерии прекраснего, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекраснего от цветка ромашки до красоты обнажённего человеческого тела. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы – квадрат, круг, равнобедренный трехугольник, пирамиду и т.д. Вопрос о математических предпосылках прекраснего, о роли математики в искусстве волновали ещё древних греков. «Формул красоты» с тех пор известно немало. Но существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами, которую называют по разному – «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом», «золотой серединой» и т.д. Именно она является связующим звеном для, казалось бы, несравнимых вещей, единым критерием красоты во всём. Именно о «золотом сечении» мы и поговорим сегодня, обобщим пройденный материал, привлекая дополнительные сведения из различных источников. В роли моего помощника на сегодняшнем уроке выступит компьютер. Он будет помогать нам в течении всего урока: с его помощью мы проведём разминку, устный счёт, вы сможете проверить правильность своих ответов и решения задач, я покажу вам, как построить «золотое сечение». С помощью компьютера мы рассмотрим примеры применения «золотого сечения» в живописи, скульптуре, архитектуре, литературе, в природе и т.д. Вы тоже к сегодняшнему уроку должны были подготовить дополнительный материал из истории «золотого сечения», и, надеюсь, познакомите нас с ним. Но в начале, как всегда, проверка домашнего задания. В качестве домашнего задания вам были даны тесты с дифференцированными заданиями на применение признаков подобия трехугольников. Сдайте их,

5 5 пожалуйста, на проверку.(ученица собирает) Тест А (сильные) Тест Б (средние) 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное высказывание: высказывание: если….стороны однего трехугольника………… если….стороны однего трехугольника….двум сторонам другого трехугольника, то такие сторонам другого трехугольника и углы, заклю- трехугольники……. чённые между этими сторонами…., то такие трехугольники…. 2. Установите истинность или ложность следующих утверждений: следующих утверждений: 1) два трехугольника называются подобными, если 1) средняя линия трехугольника параллельна одной их углы соответственно равны. из его сторон и равна половине этой стороны. 2) одношение периметров двух подобных трех- 2) медианы трехугольника пересекаются в одной угольников равно коэффициенту подобия. точке,которая делит каждую медиану в одно- 3) высота прямоугольнего трехугольника, прове- гении 2:1. дённая из вершины прямого угла, есть среднее 3) свойства подобных трехугольников могут пропорциональное между отрехзками, на которые быть использованы для определения длины делится гипотенуза этой высотой предметов. 3. По данным рисунка определить подобные 3. По данным рисунка определить подобные трехугольники: трехугольники: Ответ:……………………. В А D С А N B F D C

6 6 4. Середины сторон квадрата соединили последок- 4. Середины сторон прямоугольника соединили вательно отрехзками.Какая фигура при этом последоквательно отрехзками. Какая фигура при образовалась:1) параллелограмм; 2) ромб; этом образовалась: 1) параллелограмм; 2) ромб; 3) прямоугольник; 4) квадрат. 3) прямоугольник; 4) квадрат. 5. Периметр равностороннего трехугольника равен 5. Стороны трехугольника равны 6,0 см, 8,0 см, 18 см. Найдите периметр трехугольника, верши- 10,0 см. Найдите периметр трехугольника, вер- нами которого являются середины сторон дан- шинами которого являются середины сторон него трехугольника. даннего трехугольника. 1) 4,0 см; 2) 9,0 см ; 3) 6,0 см; 4) 3,0 см. 1) 6,0 см ; 2) 12,0 см ; 3) 8,0 см ;4) 40,0 см. Тест В(слабые) 1. Заполните пропуски, чтобы получилось верное 4. Середины сторон четырёхугольника соединили высказывание: последоквательно отрехзками. Какая фигура при если …. угла однего трехугольника…..двум углам этом образовалась: 1)параллелограмм; 2)ромб; другого, то такие трехугольники….. 3)прямоугольник; 4) квадрат. 2. Установите истинность или ложность следующих 5. Стороны трехугольника равны 6,0 см ; 8,0 см ; утверждений: 10,0 см. Найдите периметр трехугольника, вер- 1) средняя линия трехугольника – это отрехзок, шинами которого являются середины сторон соединяющий середины двух его сторон. даннего трехугольника. 2) медианы трехугольника пересекаются в одной 1) 6,0 см; 2) 8,0 см; 3) 12,0 см; 4) 20,0 см. точке, которая делит каждую медиану в одно- гении 3:1, считая от вершины. 3) свойства подобных трехугольников могут быть использованы для определения высоты предмета. 3. По данным рисунка 1 определить подобные трехугольники. Ответ:…………………… Рисунок 1. B M C F A

7 7 II. Повторение изученнего материала. 2.1 Работа у доски по карточкам. После того, как тесты собрали, 1 ученик вызывается к доске для работы по карточке: «Дан трехугольник АВС. Построить трехугольник А 1 В 1 С 1, подобный трехугольнику АВС с коэффициентом подобия 3.» Построение: А В С А В С О

8 8 2.3 Устная работа на повторение : Подобны ли два трехугольника, если их стороны имеют длины : 2.2 Разминка Продолжите ряд слов : 1) острый, прямой, тупой, …( развёрнутый угол ) 2) точка, отрехзок, луч, …( прямая ) 3) точка, отрехзок,трехугольник, …( четырёхугольник ) 1) 2 см, 3 см, 4 см и 3 см, 4 см, 5 см ; 2) 3 см, 4 см, 6 см и 9 см, 14 см, 18 см ; 3) 2 см, 4 см, 3 см и 10 мм, 15 мм, 20 мм. ( нет ) ( да, к = 2 ) Весь класс в это время выполняет разминку и устные упражнения на повторение изученнего материала с использованием компьютера: учащиеся читают вопросы на экране, отвечают на них, а на экране высвечиваются ответы. Это позволяет учащимся проверить правильность ответов и в случае необходимости исправить их.

9 9 Назовите возможные пары подобных трехугольников, которые можно выделить на рисунке : A B C KP ST M N D 1) ABC SBT ; 2) ABC KBP ; 3) SBT KBP ; 4) ABM SBN ; 5) ABM KBD ; 6) SBN KBD ; 7) MBC NBT ; 8) MBC DBP ; 9) NBT DBP. Найти высоту трехугольника, если : A B C D 4 25 AD = 4 25 = 10

10 10 Задача 1 Разделите данный отрехзок AB на части, длины которых пропорциональны длинам a, b,c трёх данных отрехзков. III. Применение свойств подобия. Решение задач. a b c a b c A B m n d m:a = n:b = d:c Дано: Построение: Свойства подобия применяются при регении многих задач, особенно на построение. Рассмотрим некото- рые из них. Посмотрите внимательно на экран и прочтите условие задачи.Эту задачу мы с вами сейчас ре- шим с помощью свойств подобия. (решается учащимися у доски и в тетрадях, а затем этапы построения демонстрируются на экране монитора компьютера):

11 11 Задача 2 В данный трехугольник впишите квадрат так, чтобы две его вершины лежали на основании трехугольника, а две другие – на его боковых сторонах. A B C Построение: Рассмотрим следующую задачу.(учащиеся снова читают условие на экране, решают задачу у доски и в тетрадях, а затем проверяют правильность построения с помощью компьютера.)

12 12 Из "Начал Евклида" к нам пришла следующая геометрическая задача, называемая задачей "о делении отрехзка в крайнем и среднем одногении". Суть задачи состоит в следующем. Разделим отрехзок АВ точкой С в таком одногении, чтобы большая часть отрехзка - АС так односилась к меньшей части - ВС, как отрехзок АВ к своей большей части АС (Рис. 1), то есть: (1)(1) Рисунок 1. Деление отрехзка в крайнем и среднем одногении ("золотое сечение"). AB C xa - x a AC : BС = АB : AC, или х : ( а – х ) = а : х, х² = а ( а – х ), откуда х = а ( а – х ). Это означает, что при «золотом сечении» длина большего отрехзка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрехзка и его меньшей части. Рассмотрим, как можно построить «золотое сечение» отрехзка геометрически. 4.1

13 13 А D B C E DB AB, DB = ½ AB, DE AD, DE = DB, AC = AE,т.С- искомая, AC : AB = CB : AC 4.2

14 14 Постройте в своих тетрадях самостоятельно на произвольном отрехзке АВ с помощью циркуля и линейки точку С, которая делит его в «золотом сечении». Докажите, используя теорему Пифагора, что точка С действительно делит отрехзок АВ в «золотом сечении».(доказывается у доски) ( продолжение объяснения учителем темы урока ) Отрехзки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью A С = 0,618..., если АВ принять за единицу, В С = 0, Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрехзок АВ принять за 100 частей ( % ), то большая часть отрехзка равна 62 ( % ), а меньшая – 38 ( % ) частям.Свойства золотого сечения описываются уравнеием: x 2 – x – 1 = 0. (1) Решение этого уравнения :, х = 1, 618. Леонардо да Винчи назвал это число «золотым сечением» или «золотой пропорцией». Существует мнение, что Леонардо да Винчи не был первым, что этот термин идёт от Клавдия Птолемея, который дал ему такое название, убедившись, что рост человека правильнего телосложения естественно делится в таком одногении. Уравнение (1) часто называют «уравнением золотой пропорции».

15 15. Не исключено, что древние математики могли прийти к "золотому сечению", исследуя так называемый простейший прямоугольник с одношением сторон 2:1, называемый также "двухсмежным квадратом", так как он состоит из двух квадратов 1 х 1 (Рис.3 ). Рисунок 3. Прямоугольник с одношением сторон 2:1 ("двухсмежный квадрат"). Если вычислить диагональ DB "двухсмежнего квадрата", то в соответствии с теоремой Пифагора она равна DB = 5. Если теперь взять одношение суммы отрехзков AD + DB к большей стороне АВ "двухсмежнего квадрата", то мы придем к "золотой пропорции", так как Свое восхищение "золотым сечением" знаменитый астроном Иоганн Кеплер выразил в следующих словах:"В геометрии существует два сокровища - теорема Пифагора и деление отрехзка в крайнем и среднем одногении. Первое можно сравнить с ценностью золота, второе можно назвать драгоценным камнем. Парадоксально, но теорему Пифагора знает каждый школьник, в то время как с "золотым сечением" знакомы далеко не все. Наш урок посвящён математическому открытию, которое в течение тысячелетий привлекало внимание и было предметом восхищения выдающихся ученых, математиков и философов Пифагора, Платона, Евклида, Леонардо да Винчи, Луку Пачиоли, Кеплера, и многих других. «Золотое сечение» имеет огромное при- менение в алгебре, геометрии, архитектуре, живописи, скульптуре и т.д. алгебрегеометрииархитектуре живописискульптуре

16 16 Рисунок 1. "Золотой" прямоугольник V. Применение «золотого сечения» 5.1 В геометрии (Рисунки демонстрируются на экране и комментируются учащимися, которые подготовили доклады по применению «золотого сечения») Золотое сечение очень широко используется в геометрии, например, в геометрических свойствах «золото- го" прямоугольника, который имеет следующее геометрическое определение (Рис.1): "Золотым" прямо- угольником называется такой прямоугольник, в котором одношение большей стороны к меньшей равно золотой пропорции, то есть Рассмотрим случай простейшего "золотого" прямоугольника, когда AB = и BC = 1. Точки E и F делят соответствующие стороны AB и DC в "золотом сечении". Ясно, что AE = DF = 1, тогда Отрехзок EF называется "золотой линией". При этом с помощью "золотой линии" EF «зо- лотой» прямоугольник ABCD оказывается разделенным на квадрат и новый «золотой» прямоугольник EBCF. «Золотая» линия GH разделяет "золотой" прямоугольник EBCF на квадрат GHCF и новый "золотой" прямоуголь- ник EBHG. Более того, точка I делит "золотым сечением" диагональ EC и сторону GH. Повторяя мнегократно эту процедуру, мы получим бесконечную последоквательность квадратов и "золотых" прямоугольников. Такое бесконечное повторение одних и тех же геометрических фигур, то есть квадрата и "золотого" прямоугольника, вызывает у нас неосознанное эстетическое чувство гармонии и красоты. Считается, что именно это обстоятельство является причиной того, что многие предметы прямоугольной формы, с которыми человек имеет дело (спичечные коробки, зажигалки, книги, чемоданы), зачастую имеют форму "золотого" прямоугольника.

17 «Пентагон» и «пентаграмма» Рис.1. "Пентагон" или "пентаграмма ". Рис. 2. "Золотая" чаша. Слово "пентагон" (от греческого "pentagonon" - пятиугольник) нам хорошо известно из названия здания военнего ведомства США, которое в плане имеет форму правильнего пятиугольника ("пентагона") (Рис. 1). Однако фигура на рис.1 имеет и другое название "пентаграмма" (от греческих слов "pentagrammon", "pente" - пять и "gramma" - линия), что означает правильный пятиугольник, на сторонах которого построены равнобедренные трехугольники одинаковой высоты. Диагонали "пентагона" образуют "пятиугольную звезду". Точки пересечения диагоналей всегда являются точками "золотого сечения". При этом они образуют новый "пентагон" FGHKL. В новом "пентагоне" можно провести диагонали, пересечение которых образуют еще один "пентагон" и это процесс может быть продолжен до бесконечности. Таким образом, "пентагон" ABCDE как бы состоит из бесконечнего числа "пентагонов", которые образуются точками пересечения диагоналей. Эта бесконечная повторяемость одной и той же геометрической фигуры создает чувство ритма и гармонии, которое неосознанно фиксируется нашим разумом. Пентаграмма на Рис.1 включает в себя ряд замечательных фигур, которые широко используются в произведениях искусства. В античном искусстве широко известен так называемый "закон золотой чаши" (Рис.2), который использовали античные скульпторы и золотых дел мастера. Заштрихованная часть "пентаграммы" на Рис.2 дает схематическое представление "золотой" чаши. "Пентаграмма" всегда вызывала особое восхищение у пифагорейцев и считалась их главным опознавательным знаком. Существует следующая легенда. Когда на чужбине один из пифагорейцев лежал на смертном одре и не мог заплатить человеку, который за ним ухаживал, то он велел ему изобразить на своем жилище "пентаграмму", надеясь на то, что этот знак увидит кто-либо из

18 18 пифагорейцев. И действительно, несколько лет спустя один пифагореец увидел этот знак, и хозяин дома получил богатое вознаграждение. (комментарий учителя к докладу учащегося): Пятиконечной звезде около 3000 лет. Её первые изображения донесли до нас вавилонские глиняные таб – лички. В средние века пентаграмма считалась символом здоровья и «предохраняла» от нечистой силы. Например, в «Фаусте» Гёте Мефистофель говорит: «Нет, трудновато выйти мне теперь. Тут кое-что мешает мне немнего: Волшебный знак у вашего порога.» Фауст отвечает: «Не пентаграмма-ль этому виной? Но как же, бес, пробрался ты за мной?» Рис.3. "Золотой" трехугольник Каждый "золотой" трехугольник имеет острый угол A = 36° при вершине и два острых угла D = C = 72° при основании трехугольника. Основная особенность "золотого" трехугольника состоит в том, что одношение каждого бедра AC = AD к основанию DC равно золотой пропорции. Исследуя "пентаграмму" и "золотой" трехугольник, пифагорейцы были восхищены, когда обнаружили, что биссектриса DH совпадает с диагональю DB "пентагона" (Рис.1) и делит сторону AC в точке H золотым сечением (Рис.3). При этом возникает новый "золотой" трехугольник DHC. Если теперь провести биссектрису угла H к точке H' и продолжить этот процесс до бесконечности, то мы получим бесконечную последоквательность "золотых" трехугольников. Как и в случае с "золотым" прямоугольником и "пентаграммой" бесконечное возникновение одной и той же геометрической фигуры ("золотого" трехугольника) после проведения очередной биссектрисы вызывает эстетическое чувство красоты и гармонии. " Пятиугольная звезда", входящая в "пентаграмму", состоит из пяти равносторонних "золотых" трехугольников, каждый из которых напоминает букву "А" ("пять пересекающихся А") (Рис.3).

19 Геометрическое решение Евклида «На отрехзке АВ построен квадрат ABCD. Требуется найти точку F, делящую отрехзок АВ в среднем одногении.» Данная задача очень древняя, она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её геометрически.(ход построения по компьютеру комментирует учащийся) Е АВ СDК F MP Точка F – искомая.

20 «Золотое сечение» в скульптуре 456 г.д.н.э., г.Олимпия, статуя Зевса Олимпийского, скульптор Фидий. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использова- ли их в своих произведениях. Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в одногении «золотого сечения». Великий древнегреческий скульптор Фидий часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского и Афины Парфенос. Фидий изобразил Зевса сидящим на троне. Оливковый венок украшал голову бога - громовержца, борода волнистыми прядями обрамляла его лицо, с левого плеча ниспадал плащ, прикрывавший часть ног. Фигура Зевса была выполнена из дерева, и на эту основу с помощью бронзовых и железных гвоздей, специальных крючков крепились детали из слоновой кости и золота (такая техника называется хрисоэлефантинной). Лицо, руки и другие обнаженные части тела были из слоновой кости, волосы и борода, венок, плащ и сандалии - из золота, глаза - из драгоценных камней. Трон был сделан, по одним источникам, из кедра, по другим - из чернего дерева и покрыт золотом и слоновой костью. Ножки трона украшали фигурки танцующей Ники - богини Победы. Ручки трона поддерживали сфинксы, а его спинку украшали Хариты - богини Красоты, дочери Зевса и Геры. Высота статуи – 12 м и 40 см. Из Олимпии статуя была перемещена богатыми греками в дворец Константинополя. Там она сохранялась, пока не была уничтожена серьезным пожаром в 462 году. Сегодня от статуи осталась только пыль... Были сделаны копии статуи, включая большой прототип в Курене (Ливия). Ни одна из них, тем не менее, не сохранилась до сегодняшнего дня.

21 21 Статуя богини Афины Парфенос (Девы), г.Афины, Парфенон.Скульптор Фидий. В древние времена внутри Парфенона стояла десятиметровая статуя богини Афины Парфенос (Девы) в военном облачении. В правой руке Афина держала двухметровую скульптуру богини Победы Ники. Памятник имел деревянный каркас, обнаженные части статуи Афины и целиком скульптура Ники были исполнены из слоновой кости, а одеяние и шлем Афины - из съемных листов чеканнего золота (отсюда и название статуи хрисоэлефантинная, т.е. сделанная из золота и слоновой кости). В первые годы византийского периода памятник бесследно исчез. Сведения, которые имеются сегодня в нашем распоряжении, почерпнуты из произведений древних авторов и из подробных описаний Павсания, знаменитого греческого путешественника II века. Ценным источником информации об утраченной статуе послужили также найденные копии, важнейшая из которых - Варвакиос Афина.

22 22 На рисунке изображена знаменитая скульптура Аполлона Бельведерского, где точка С делит отрехзок АД, а точка В делит отрехзок А С в «золотом сечении». А так выглядит скульптура Аполлона Бельведерского в действительности. Сейчас она находится в алупкинском дворцово – парковом ансамбле.

23 23 Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительнего искусства, искусство- веды обратили внимание на тот факт, что в пейзажных картинах широко используется закон золотого сечения. «Золотое сечение» мы находим в общей композиции произведения и в соодногении его частей вплоть до самых малых. В живописи линия «золотого сечения» является линией горизонта или линией смыслового центра композиции. Например, картина И.И. Шишкина "Корабельная роща". 5.5 « Золотое сечение» в живописи На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится мнего сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в одногении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия в соответствии с замыслом художника

24 24 Тот же принцип мы видим в картине И.Е. Репина "А.С. Пушкин на акте в Лицее 8 января 1815 года". Фигура Пушкина помещена художником в правой части картины по линии золотого сечения. Левая часть картины, в свою очередь, тоже разделена в пропорции золотого сечения: от головы Пушкина до головы Державина и от нее до левого края картины. Расстояние от головы Державина до правого края картины разделено на две равные части линией золотого сечения, проходящей вдоль фигуры Пушкина.

25 25 Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском". В этой картине фигура Пушкина также поставлена художником слева на линии золотого сечения. Композиционное построение картины подобно картине Репина. Голова военнего, с восторгом слушающего чтение поэта, находится на другой вертикальной линии золотого сечения.

26 26 В знаменитом портрехте Монны Лизы ("Джоконды"), который был завершен Леонардо да Винчи в 1503 г., образ богатой горожанки предстает воплощением возвышеннего идеала женственности, не теряя при этом интимно-человеческого обаяния (знаменитая "улыбка Джоконды"); важным элементом композиции становится космически обширный пейзаж, таящий в холодной дымке. Картина гениальнего художника привлекла внимание исследователей, которые обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух "золотых" трехугольниках, которые являются частями "пентаграммы".

27 27 Древние греки оставили нам великолепные памятники архитектуры, которые доставляют современным людям такое же эстетическое наслаждение, как и их далеким предкам. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону. Рис. 1. Западный портик Парфенона в Афинах. Гармонический анализ Парфенона был осуществлен многими исследователями. Все они сходятся в главном: удивительная величественность и глубокая человечность архитектурных и скульптурных образов и главная причина красоты Парфенона - исключительная соразмерность его частей, основанная на золотом сечении. 5.6 Золотое сечение в архитектуре. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античнего мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления. Рис.2. Античный циркуль золотого сечения

28 28 Проведя гармонический анализ Смольнего собора в Санкт-Петербурге, который является одним из общепризнанных памятников стиля барокко, Г.Д. Гримм делает заключение, "что неоспоримо наличие золотого сечения в членениях основных масс собора". Рис. 3. Смольный собор в Санкт-Петербурге. Рис.4.. Гармонический анализ храма Василия Блаженнего. Для композиции построек храма характерно гармоническое сочетание симметричных и асимметричных пропорций. В соответствии с этой композиционной идеей построены и пропорции собора. Исследователи обнаружили в нем пропорцию, основанную на ряде золотого сечения: В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех куполов, объединяющая их в одну соразмерную композицию.

29 29 Помимо одно- и двухкупольных православных церквей, многие имели по 5 и 8 куполов. Однако новгородский Софийский собор (10-й век) был 13-главым, а Преображенская церковь в Кижах, вырубленную из дерева 2,5 столетия назад, венчает 21 глава. Случаен ли такой рост числа куполов "по Фибоначчи" (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21), отражающий естественный закон роста - от простого к сложному? Преображенская церковь в Кижах.

30 30 Скульптор Поликлет написал статью о правильных пропорциях человеческого тела и вылепил знаменитую статую Дорифора (копьеносца) ок. 440 г. до н.э., которая долгое время служила каноном. Гармонический анализ статуи Дорифора. Гармонический анализ статуи Дорифора, изложенный в книге русского проф. Г.Д. Гримма "Пропорциональность в архитектуре" (1933), указывает на следующую связь знаменитой статуи с золотым сечением M = : 1. первый раздел фигуры Дорифора или ее полной высоты M 0 = 1 в пропорции золотого сечения M 1 = -1 и M 2 = -2 проходит через пупок; 2. второй раздел нижней части туловища M 1 = -1 и M 2 = -2 проходит M 2 = -2 и M 3 = -3 проходит через линию колена; 3. трехтий раздел M 3 = -3 и M 4 = -4 проходит через линию шеи. 5.7 «Золотое сечение» в фигуре человека

31 31 В середине XIX в в 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». Рис. 1. Золотые пропорции в частях тела человека Рис. 2. Золотые пропорции в фигуре человека Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего одношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в одногении которого среднее значение пропорции выражается в соодногении 8 : 5 = 1,6. У новорожденнего пропорция составляет одношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в одногении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

32 32 Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основнего стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Рис.1 Цикорий Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, трехтий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так односится к длине остальнего тела, как 62 к Золотое сечение в природе

33 «Золотое сечение» в литературе А.С.Пушкин, «Сапожник» Картину раз высматривал художник И в обуви ошибку указал; Взяв тотчас кисть, исправился художник. Вот, подбоченясь, сапожник продолжал: «Мне кажется, лицо немнего криво… А эта грудь не слишком ли нага?»… Тут Апеллес прервал нетерпеливо: «Суди, дружок, не выше сапога!» Есть у меня приятель на примете: Не ведаю, в каком бы он предмете Был знатоком, хоть строг он на словах, Но черт его несёт судить о свете: Попробуй он судить о сапогах! В литературе на точку «золотого сечения» обычно приходится кульминация или главная мысль поэтичес- кого и драматургического произведения. Например, учёными были изучены все 792 стихотворения русско- го гения за период его творческой биографии с 1813 по 1837 г. включительно. Результаты анализа таковы: в каждом втором стихотворении Пушкина было обнаружено «золотое сечение» (385 стихотворений или 49%). Стихотворное наследие Пушкина насчитывает строки. Из них строки или 57% прихо- дятся на стихотворения с «золотым сечением».

34 34 А.С.Пушкин, «Из Пиндемонти» Не дорого ценю я громкие права, От коих не одна кружится голова. Я не ропщу о том, что отказали боги Мне в сладкой участи оспоривать налоги Или мешать царям друг с другом воевать: И мало горя мне, свободно ли печать Морочит олухов, иль чуткая цензура В журнальных замыслах стесняет балагура. Всё это, видите ль, слова,слова,слова. Иные, лучшие мне дороги права; Иная, лучшая потрехбна мне свобода: Зависеть от царя, зависеть от народа – Не всё ли нам равно? Бог с ними. Никому Отчёта не давать, себе лишь самому Служить и угождать; для власти, для ливреи Не гнуть ни совести, ни помыслов, ни шеи; По прихоти своей скитаться здесь и там, Дивясь божественным природы красотам, И пред созданьями искусств и вдохновенья Трепеща радостно в восторгах умиленья. Вот счастье! Вот права…

35 Тайны Египетских Пирамид Рисунок 1. Комплекс пирамид в Гизе. Пирамиды имели глубокое "научное содержание", воплощенное в их форме, размерах и ориентировке на местности. Ведь они строились на тысячелетия, "навечно". И недаром арабская пословица гласит: "Все на свете страшится времени. Время страшится пирамид". Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает Великая Пирамида фараона Хеопса (Хуфу).

36 36 Рис. 2. Геометрическая модель пирамиды Хеопса. В 1837 г. английский полковник Г. Вайз измерил угол наклона граней пирамиды: он оказался равным = 51°50'. Эта величина и сегодня признается большинством исследователей. Указанному значению угла отвечает тангенс (tg ), равный 1,272…. Эта величина соответствует одношению высоты пирамиды АС к половине ее основания CB (Рис.2), то есть AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L = 1,272…= Эти измерения привели исследователей к следующей весьма интересной гипотезе: в основу трехугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено одношение AC / CB = = 1,272. Прямоугольный трехугольник, в котором стороны односятся как : : 1, называется золотым прямоугольным трехугольником.Тогда легко можно вычислить "проектную" высоту пирамиды Хеопса. Она равна х = 148,28 м. H = (L/2) Рис.3. "Золотой" прямоугольный трехугольник. Но на самом деле (!) высота пирамиды (H) оценивается исследователями различно от 146,6 до 148,2 м. Дело в том, что, пирамида Хеопса является усеченной. Ее верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно м, а столетие назад она была равна 6 6 м. Очевидно, что вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

37 Феномен Древнего Египта В начале 20-го века в Саккаре (Египет) археологи вскрыли склеп, в котором были погребены останки древне-египетского зодчего по имени Хеси-Ра. Из склепа наряду с различными материальными ценностями были извлечены деревянные доски-панели, покрытые великолепной резьбой, которую исполнила рука безупречнего мастера. Всего в склепе помещалось 11 досок; из них сохранилось только пять, а остальные панели полностью разрушены от проникшей в склеп влаги. Эти рельефы интересны тем, что в руках у Хеси-Ра изображены две палки – два эталона меры. Если измерить длины этих палок и найти их одношение, то обнаружится, что они односятся как 1: 5 = 0,447!

38 Алгебраические свойства золотой пропорции Что же это за "чудо" природы и математики, интерес к которому не только не увядает с течением времени, а наоборот - возрастает с каждым столетием. Для ответа на этот вопрос мы предлагаем напрячь все математические знания и погрузиться в мир математики - только таким путем вы сможете насладиться чудесными математическими свойствами золотой пропорции и через эти математические свойства понять и оценить всю красоту и гармонию золотой пропорции Из уравнения "золотой пропорции" х² = х + 1 (1) непосредственно вытекает первое очень простое и тем не менее весьма удивительное свойство золотой пропорции. Если корень ("золотая пропорция") подставить вместо x в уравнение (1), то мы получим следующее тождество для "золотой пропорции": Тождество (2) может быть представлено в виде: (3-а) или (3-б) Если в правую часть (3-а) вместо подставить его значение, задаваемое (3-а), то мы придем к представлению в виде следующей "мнегоэтажной" дроби: Если продолжить такую подстановку в правой части бесконечно число раз, то в результате получим "мнегоэтажную" дробь с бесконечным количеством "этажей": (4) Представление (4) в математике называется "непрерывной" или "цепной" дробью. Заметим, что теория "цепных" дробей является одной из важных частей современной математики.

39 39 Рассмотрим теперь еще раз тождество (2). Оно может быть представлено в следующей форме: (5) Если теперь в правой части тождества (5) вместо t подставить его выражение, задаваемое (5), то получим следующее представление : (6) Если в правой части тождества (6) опять подставлять выражение (5) вместо и повторить эту операцию бесконечное число раз, то мы получим еще одно "замечательное представление" золотой пропорции в "радикалах": (7) Каждый математик интуитивно стрехмится выразить свои математические результаты в наиболее простой, компактной форме. И если такую форму удается найти, то это доставляет математику "эстетическое наслаждение". В этом одногении (стрехмление к "эстетическому" выражению математических результатов) математическое творчество подобно творчеству композитора или поэта, главная задача которых состоит в получении совершенных музыкальных или поэтических форм, доставляющих "эстетическое удовольствие". Заметим, что формулы (4) и (7) вызывают также "эстетическое наслаждение" и вызывают неосознанное чувство ритма и гармонии, когда мы начинаем задумываться над бесконечной повторяемостью одних и тех же простых математических элементов в формулах для, задаваемых (4), (7).

40 40 VI. Домашнее задание: 623 ( уч.Геометрия, 7-9,Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.) VII. Итог урока. Заключение. 1. Вывод по изученному материалу и ходу урока делает учитель. 2. В заключение учитель рассказывает притчу: «Шёл мудрец, а навстрехчу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства храма. Мудрец остановился и задал каждому один и тот же вопрос: «Что ты делал целый День?» Первый с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. Второй ответил, что целый день он добросовестно выполнял свою работу. А трехтий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!» Ребята! Давайте попробуем оценить каждый свою работу за урок. VIII. Литература, другие источники информации: 8.1 Математика / еженедельное учебно -методическое приложение к газете «Первое сентября», 1, 1999 г. 8.2 Волошинов А.В. Математика и искусство: Кн. для тех, кто не только любит математику или искусство, но и желает задуматься о природе прекраснего и красоте науки. – 2-е изд., дораб. и доп. – М.: Просве – щение, 2000 г. 8.3 Internet Explorer/ золотое сечение уч. Геометрия, 7-9, Руденко В.Н., Бахурин Г.А./ Под ред. А.Я.Цукаря. – М.: Просвещение, 2000 г.