Теорема Пифагора Швец Владислав, 10 «а» класс.. Cодержание 1 Общее понятие 1 Общее понятие 1 Общее понятие 1 Общее понятие 2 Формулировки 2 Формулировки. - презентация

1 Теорема Пифагора Швец Владислав, 10 «а» класс.

2 Cодержание 1 Общее понятие 1 Общее понятие 1 Общее понятие 1 Общее понятие 2 Формулировки 2 Формулировки 2 Формулировки 2 Формулировки 3.1 Доказательства 3.1 Доказательства 3.1 Доказательства 3.1 Доказательства 3.2 Через подобные треугольники 3.2 Через подобные треугольники 3.2 Через подобные треугольники 3.2 Через подобные треугольники 3.3 Доказательства методом площадей 3.3 Доказательства методом площадей Доказательство через равно дополняемость Доказательство через равно дополняемость Доказательство через равно дополняемость Доказательство через равно дополняемость Доказательства через равносоставленность Доказательства через равносоставленность Доказательства через равносоставленность Доказательства через равносоставленность Доказательство Евклида Доказательство Евклида Доказательство Евклида Доказательство Евклида Доказательство Леонардо да Винчи Доказательство Леонардо да Винчи Доказательство Леонардо да Винчи Доказательство Леонардо да Винчи 3.4 Доказательство методом бесконечно малых 3.4 Доказательство методом бесконечно малых 3.4 Доказательство методом бесконечно малых 3.4 Доказательство методом бесконечно малых 4 История 4 История 4 История 4 История

3 Теорема Пифагора одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. < Cодержание < Cодержание

4 Формулировки Геометрическая формулировка. Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b: Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника. Обратная теорема Пифагора. Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что a2 + b2 = c2, существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. < Cодержание < Cодержание

5 Доказательства На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений). Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например с помощью дифференциальных уравнений). < Cодержание < Cодержание

6 Доказательство через подобные треугольники Наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры. Наиболее простое из доказательств, строящихся напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры. Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения < Cодержание < Cодержание получаем Что эквивалентно Сложив, получаем или

7 Доказательство через равно дополняемость Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол 180°. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол 180°. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и внутреннего квадрата. < Cодержание < Cодержание Что и требовалось доказать.

8 Доказательства через равносоставленность. Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах. Пример одного из таких доказательств указан на чертеже справа, где квадрат, построенный на гипотенузе, перестановкой преобразуется в два квадрата, построенных на катетах. < Cодержание < Cодержание

9 Доказательство Евклида < Cодержание < Cодержание Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Идея доказательства Евклида состоит в следующем: попробуем доказать, что половина площади квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, а тогда и площади большого и двух малых квадратов равны. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Рассмотрим чертеж слева. На нём мы построили квадраты на сторонах прямоугольного треугольника и провели из вершины прямого угла С луч s перпендикулярно гипотенузе AB, он рассекает квадрат ABIK, построенный на гипотенузе, на два прямоугольника BHJI и HAKJ соответственно. Оказывается, что площади данных прямоугольников в точности равны площадям квадратов, построенных на соответствующих катетах. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Попытаемся доказать, что площадь квадрата DECA равна площади прямоугольника AHJK Для этого воспользуемся вспомогательным наблюдением: Площадь треугольника с той же высотой и основанием, что и данный прямоугольник, равна половине площади заданного прямоугольника. Это следствие определения площади треугольника как половины произведения основания на высоту. Из этого наблюдения вытекает, что площадь треугольника ACK равна площади треугольника AHK (не изображённого на рисунке), которая, в свою очередь, равна половине площади прямоугольника AHJK. Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно AB=AK,AD=AC равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата 90°). Докажем теперь, что площадь треугольника ACK также равна половине площади квадрата DECA. Единственное, что необходимо для этого сделать, это доказать равенство треугольников ACK и BDA (так как площадь треугольника BDA равна половине площади квадрата по указанному выше свойству). Равенство это очевидно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Именно AB=AK,AD=AC равенство углов CAK и BAD легко доказать методом движения: повернём треугольник CAK на 90° против часовой стрелки, тогда очевидно, что соответствующие стороны двух рассматриваемых треугольников совпадут (ввиду того, что угол при вершине квадрата 90°). Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Рассуждение о равенстве площадей квадрата BCFG и прямоугольника BHJI совершенно аналогично. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше. Тем самым мы доказали, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, слагается из площадей квадратов, построенных на катетах. Идея данного доказательства дополнительно проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.

10 Доказательство Леонардо да Винчи < Cодержание < Cодержание Главные элементы доказательства симметрия и движение. Главные элементы доказательства симметрия и движение. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю. Рассмотрим чертёж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению). Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и GDAB. Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей квадратов, построенных на катетах, и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади квадрата, построенного на гипотенузе, плюс площадь исходного треугольника. Последний шаг в доказательстве предоставляется читателю.

11 Доказательство методом бесконечно малых < Cодержание < Cодержание Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века. Следующее доказательство при помощи дифференциальных уравнений часто приписывают известному английскому математику Харди, жившему в первой половине XX века. Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников): Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и наблюдая изменение стороны a, мы можем записать следующее соотношение для бесконечно малых приращений сторон с и a (используя подобие треугольников): Пользуясь методом разделения переменных, находим Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем Таким образом, мы приходим к желаемому ответу Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми вкладами от приращения разных катетов. Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения (в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим

12 История < Cодержание < Cодержание Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математику Пифагору, хотя сохранились убедительные свидетельства того, что теорема была известна задолго до него. Традиционно авторство теоремы приписывают греческому философу и математику Пифагору, хотя сохранились убедительные свидетельства того, что теорема была известна задолго до него. Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов: Открытие и понимание теоремы протекало в несколько этапов: Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов. Алгебраическое наблюдение существования Пифагоровых троек (прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами), то есть численная проверка того, что квадрат длины гипотенузы оказывается равным сумме квадратов длин катетов. Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки. Более глубокое понимание теоремы, связанное с понятием площади, и основанные на этом доказательства, например, доказательства путём перестановки. Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида. Доказательства, основанные на Евклидовой геометрии, в частности, доказательство методом подобия треугольников, а также доказательство Евклида. Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор ( гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф (Heath), полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы. В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению. Согласно комментариям Прокла к трудам Евклида, Пифагор ( гг. до н. э.), использовал алгебраические методы для конструкции Пифагоровых троек. Комментарии Прокла датируются 410 и 485 годами до н. э. соответственно. Примечательно, что известный английский историк математики Хиф (Heath), полагает, что не существует убедительных доказательств в пользу Пифагора на протяжении 5 столетий после его жизни на предмет авторства теоремы. В то же время, такие известные авторы, как Плутарх и Цицерон, приписывают авторство теоремы именно Пифагору, в соответствии с этими источниками можно сделать вывод о том, что авторство Пифагора было широко известно и не подвергалось сомнению. – Чу-пей 500–200 до нашей эры. Слева надпись: сумма квадратов длин высоты и основания есть квадрат длины гипотенузы.