Окружность девяти точек. Прямая Эйлера. Окружность девяти точек Прямая Эйлера © 2010 Nickolas science. - презентация

1 Окружность девяти точек. Прямая Эйлера. Окружность девяти точек Прямая Эйлера © 2010 Nickolas science

2 Окружность девяти точек Теорема: В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине E и радиусом 0,5R Назад

3 Доказательство A C BH3H3 H1H1 H2H2 B1B1 A1A1 C1C1 H B2B2 C2C2 A2A2 ABC-произвольный треугольник AH 1 ; AH 2 ; AH 3 -высоты A 1 ;B 1 ;C 1 -середины сторон E A 2, B 2, C 2 середины отрезков AH, BH, CH Назад

4 Доказательство A C BH3H3 H1H1 H2H2 B1B1 A1A1 C1C1 H B2B2 C2C2 A2A2 E 1)B 1 C 1 и B 2 C 2 - средние линии треугольников ABC и HBC => B 1 C 1 ||B 2 C 2 ; B 1 C 1 = B 2 C 2 =0.5BC 2) B 1 C 1 B 2 C 2 и C 1 A 1 C 2 A 2 являются прямоугольниками 3) C 1 C 2 – общая диагональ 4) =>B 1 B 2 =C 1 C 2 =A 1 A 2 => A 1 ;A 2 ;B 1 ;B 2 ;C 1 ;C 2 лежат на одной окружности; С 1 С 2 -диаметр 5) т.к. угол CH 3 C 1 – прямой, то H 3 - лежит на окружности; аналогично H 1 ;H 2 лежат на окружности. Назад

5 Прямая Эйлера Прямая, содержащая центроид G, ортоцентр H и центр O описанной около треугольника окружности, называется прямой Эйлера треугольника, причем GH = 2OG. Назад

6 Доказательство A C BH1H1 B1B1 A1A1 C1C1 H ABC-произвольный треугольник CH 1 ; AH 2 высоты; H-ортоцентр A 1 ;B 1 ;C 1 -середины сторон H2H2 O G B 1 B; C 1 C- медианы; G-центроид C 1 O; A 1 O – серединные перпендикуляры. Прямая, содержащая центроид G, ортоцентр H и центр O описанной около треугольника окружности, называется прямой Эйлера треугольника, причем GH = 2OG. HO-прямая Эйлера Назад

7 Гомотетия Гомоте́тия (от др.-греч. μός «одинаковый» и θετος «расположенный») один из видов преобразования подобия. Гомотетией c центром O и коэффициентом k ( ) называют преобразование плоскости (или пространства), переводящее точку X в точку X', обладающую тем свойством, что. Назад

8 Доказательство A C BH1H1 B1B1 A1A1 C1C1 H H2H2 O G 1) По свойству медиан треугольник ABC гомотетичен треугольнику A 1 B 1 C 1 k=-1/2 2) т.к. H и O точки пересечения высот, то HGO прямая 3) т.к. k=-1/2, то GH = 2OG. Ч.т.д. Назад

9 Благодарим за внимание!