Треугольник Паскаля.. Определение: Треугольник Паскаля арифметический треугольник, образованный биноминальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля. - презентация

1 Треугольник Паскаля.

2 Определение: Треугольник Паскаля арифметический треугольник, образованный биноминальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

3 История треугольника. Первое упоминание треугольной последовательности биномиальных коэффициентов под названием meru-prastaara встречается в комментарии индийского математика X века Халаюдхи к трудам другого математика, Пингалы. Треугольник исследуется также Омаром Хайямом около 1100 года, поэтому в Иране эту схему называют треугольником Хайяма. В 1303 году была выпущена книга «Яшмовое зеркало четырёх элементов» китайского математика Чжу Шицзе, в которой был изображен треугольник Паскаля на одной из иллюстраций; считается, что изобрёл его другой китайский математик, Ян Хуэй (поэтому китайцы называют его треугольником Яна Хуэя). На титульном листе учебника арифметики, написанном в 1529 году Петром Апианом, астрономом из Ингольтштадского университета, также изображён треугольник Паскаля. А в 1653 году (в других источниках в 1655 году) вышла книга Блеза Паскаля «Трактат об арифметическом треугольнике».

4 Свойства треугольника Паскаля. Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Продолжать треугольник можно бесконечно. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Имеет применение в теории вероятностей обладает занимательными свойствами.

5 Свойства треугольника Паскаля. Числа треугольника симметричны(равны) относительно вертикальной оси. первое и последнее числа равны 1. второе и предпоследнее числа равны n. третье число равно треугольному числу, что также равно сумме номеров предшествующих строк. четвёртое число является тетраэдрическим. Сумма чисел восходящей диагонали, начинающейся с первого элемента (n-1)-й строки, есть n-е число Фибоначчи. Если вычесть из центрального числа в строке с чётным номером соседнее число из той же строки, то получится число Каталана. Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна 2n. Простые делители чисел треугольника Паскаля образуют симметричные самоподобные структуры. Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные в белый, то образуется треугольник Серпинского. Все числа в n-й строке, кроме единиц, делятся на число n, если и только если n является простым числом. Если в строке с нечётным номером сложить все числа с порядковыми номерами вида 3n, 3n+1, 3n+2, то первые две суммы будут равны, а третья на 1 меньше. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо-вниз, либо влево-вниз.

6 Треугольники Паскаля и Яна Хуэя.

7 Знаменитый американский учёный Мартин Гарднер сказал: «треугольник Паскаля так прост, что выписать его может и десятилетний ребёнок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике».

8 Вопросы. 1. В какой стране появилось первое упоминание о треугольнике? 2. Можно ли продолжать треугольник бесконечно? 3. В каком году Паскаль издал книгу о треугольнике? 4. Кто по мнению китайцев изобрёл треугольник?