Паралельність прямих і площин у просторі Смілянська загальноосвітня школи І – ІІІ ступенів 11 Смілянської міської ради Черкаської області Геометрія, 10. - презентация

1 Паралельність прямих і площин у просторі Смілянська загальноосвітня школи І – ІІІ ступенів 11 Смілянської міської ради Черкаської області Геометрія, 10 клас Профільний рівень Учитель Русецька Т.В.

2 Основні теми розділу Мимобіжні та паралельні прямі Паралельність прямої та площини Паралельність площин Паралельне проектування та його властивості Зображення фігур у стереометрії Методи побудови перерізів многогранників

3 Мета: вчити Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; ознаки паралельності прямих і площин; властивості паралельності прямих і площин. Класифікувати взаємне розміщення прямих, прямих і площин, площин у просторі. Знаходити і зображати паралельні прямі, прямі та площини на малюнках, будувати зображення фігур. Розвязувати задачі на застосування властивостей та ознак паралельності прямих і площин. Застосовувати метод слідів та проекцій для побудови перерізів многогранників.

4 Взаємне розміщення двох прямих у просторі Дві прямі Лежать в одній площині Не лежать в одній площині перетинаютьсяпаралельні мимобіжні

5 перетинаються паралельні мимобіжні

6 Пряма і площина у просторі можуть: Мати одну спільну точку Безліч спільних точок α а а α а α Пряма паралельна до площини

7 Паралельність прямої і площини Пряма і площина називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Якщо пряма а паралельна площині α, пишуть а||α. а α

8 Ознака паралельності прямої і площини Якщо пряма, яка не лежить у площині, паралельна якій-небудь прямій площини, то вона паралельна і самій площині. b a β α b || α

9 Властивість паралельності прямої і площини Якщо площина проходить через пряму, паралельну другій площині, і перетинає цю площину, то пряма їх перетину паралельна даній прямій. α β b a a || b

10 β β β β Мають одну спільну точку Перетинаються по прямій Не мають спільної точки Мають безліч спільних точок Накладання площин і β

11 Якщо дві прямі, що перетинаються і лежать в одній площині, паралельні двом прямим другої площини, то такі площини паралельні. a b a1a1 b1b1 β C C1C1 1. a b ab = C 2. a 1β b1b1β a1a1 b 1 = C 1 3. a а 1 b b 1 β => β

12 α β A B C D AB=CD Властивості паралельних площин 2. Відрізки паралельних прямих, що відтинаються паралельними площинами, рівні. AC||BD 1. Площина, яка проходить через прямі АВ і СD, перетинає паралельні площини по паралельних прямих.

13 Нехай дано довільну площину, довільну пряму l і точку А. Тоді образ точки А можна побудувати провівши через неї пряму, паралельну прямій l і яка перетинає площину. Точкою перетину прямої з площиною є точка А 1. А1А1 А l L Метод паралельного проектування

14 Оригінал Зображення K MA BC D B1B1 A1A1 D1D1 C1C1 K1K1 M1M1

15 А BC D А1А1 B1B1 C1C1 D1D1 ОригіналЗображення

16 CB DA C1C1 B1B1 D1D1 A1A1 ОригіналЗображення AB : BC = 1 : 2 A 1 B 1 : B 1 C 1 = 1 : 2 CD : AD = 1 : 2 C 1 D 1 : A 1 B 1 = 1 : 2 BK : KC = B 1 K 1 : K 1 C 1 K M K1K1 M1M1 AM : MD = A 1 M 1 : M 1 D 1

17 Тестове завдання 1. Точка М не лежить у площині прямокутника ABCD. Яке взаємне розташування прямих МА і СD ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) мимобіжні; Г) паралельні або мимобіжні. 2. Пряма а паралельна площині, пряма b належить площині. Яким може бути взаємне розміщення прямих а і b? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) мимобіжні; Г) мимобіжні або паралельні. 3.Точка М лежить поза площиною трикутника АВС. Точки К, Р, Е і D – середини відрізків МА, АВ, МС і ВС відповідно. Яке взаємне розміщення прямих КР і ЕD? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) мимобіжні або перетинаються.

18 4. Сторона АВ паралелограма ABCD належить площині, а сторона СD не належить цій площині. Яке взаємне розміщення прямої СD і площини ? А) пряма СD перетинає площину ; Б) пряма СD паралельна площині ; В) пряма СD лежить у площині. 5. Пряма а паралельна площині. Скільки площин, паралельних площині можна провести через пряму а ? А) Одну; Б) дві; И) жодної; Г) безліч. 6. Як розташовані площини і, якщо пряма а перетинає площину і паралельна площині ? А) Паралельні; Б) перетинаються; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 7. Точка М не належить жодній із паралельних площин і. Скільки всього існує площин, які проходять через точку М і паралельні площинам і ? А) Одна; Б) дві; В) жодної; Г) безліч.

19 8. Площини і паралельні. Пряма а перетинає площину. Як розташована пряма а відносно площини ? А) Паралельна площині; Б) лежить у площині; В) перетинає площину; Г) визначити неможливо. 9. Основи трапеції паралельні площині. Яке взаємне розміщення площини трапеції і площини ? А) Перетинаються; Б) паралельні; В) збігаються; Г) визначити неможливо. 10. Площини і паралельні. Площина перетинається з площиною по прямій а, а з площиною - по прямій b. Яке взаємне розміщення прямих а і b ? А) Перетинаються; Б) мимобіжні; В) паралельні; Г) визначити неможливо.

20 Відповіді до тесту 1В, 2Г, 3В, 4Б, 5А, 6Б, 7А, 8В, 9А, 10В

21 Задача. Побудувати переріз куба АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 площиною, що проходить через середини ребер АD і СD паралельно до ребра DD 1. А1А1 АD С С1С1 В1В1 В D1D1 ММ 1 || DD 1 NN 1 || DD 1 МM 1 N 1 N - шуканий переріз М М1М1 N N1N1

22 Задача. Побудувати переріз тетраедра ABCD площиною, що проходить через середину ребра АС паралельно ребрам AB і DC. MK || DC MN || AB NF || DC MKFN – шуканий переріз D B N C A M K F

23 Методи побудови перерізів Метод слідів Метод внутрішньої проекції Комбінований метод

24 Задача. Побудуйте переріз куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, що проходить через точки K, P, T. Пряма, по якій січна площина перетинає площину α, називається слідом січної площини в площині α. Точка, в якій січна площина перетинає пряму, -слід січної площини на цій прямій.

25 Якщо многогранником, переріз якого будується, є піраміда, то використовується центральне проектування на площину основи. Центром проектування є вершина піраміди, в якій сходяться всі бічні ребра. Задача. Побудуйте переріз чотирикутної піраміди SABCD площиною, яка проходить через точки M, N, K. S B D A C K N P O1O1 O2O2 E F M N1N1 M1M1 R

26 Задача. Побудуйте переріз призми ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 площиною, яка проходить через точки K, P, T.

27 Чотирикутник A 1 B 1 C 1 D 1 є зображенням квадрата. Точка М – середина АВ, AC і DM перетинаються у точці N. Побудувати зображення ортоцентра трикутника ANM.

28 B A C D M O N К B1B1 K 1 A1A1 M1M1 N1N1 D1D1 C1C1 ОригіналЗображення

29 Дано куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1. Точки L, M, M 1 – cередини ребер АВ, АД, А 1 Д 1 відповідно. Яке взаємне розміщення площин ДВ 1 Д 1 і LMM 1 ? (ДВ 1 Д 1 ) || (LMM 1 ) MZ || DB як середня лінія ABD MM 1 || DD 1 за ознакою паралельності площин L M M1M1

30 Задача для самостійного розвязування Дано прямокутниий паралелепіпед, у якого АВ=, ВС=, =. Через вершину зроблено переріз паралелепіпеда, паралельний площині. Знайдіть площу цього перерізу.