Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Управління освіти і науки Донецької обласної державної адміністрації Донецьке вище професійне машинобудівне. - презентация

1 Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Управління освіти і науки Донецької обласної державної адміністрації Донецьке вище професійне машинобудівне училище Методична комісія природничо-математичних дисциплін та інформаційних технологій

2 Керівник проекту Кулікова Віра Василівна Творча група учнів Пєтріков Артем Вячелавович, Гайдук Костянтин Миколайович, Єфремов Денис Олександрович, Котовщиков Сергій Миколайович, Янюк Наталія Володимирівна

3 ЗАГАЛЬНІ ПРАВИЛА ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ Потрібно знайти значення якої-небудь геометричної або фізичної величини A (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. д.), пов'язаної з відрізком [а, b] зміни змінній x. Передбачається, що при розбитті відрізання [а, b] крапкою з (а, b) на частини [а, з] і [з, b] значення величини A, відповідне всьому відрізку [а, b] дорівнює сумі її значень, відповідних [а, с] і [с, b]. Для знаходження цієї величини А можна керуватися одній з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала). Перша схема базується на визначенні визначеного інтеграла. Точками x = а, x1, …, xn = b розбити відрізок [а, b] n частин. Відповідно до цього, величина A, що цікавить нас, розіб'ється на n елементарних доданків Δ A(I = 1, …, n): A = ΔA + ΔA+ … + ΔA2.

4 Представити кожен елементарний доданок у вигляді произве­дения деякої функції (визначуваного з умови завдання), вычислен­ной в довільній точці відповідного відрізання на його довжину: Δ A Δ f(ci )ΔXi При знаходженні наближеного значення ДЛ; допустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна приблизно вважати за постійну і так далі Набудемо наближеного значення величини А у вигляді інтегральної суми: A f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX = f(c) ΔX Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, тобто A = f(c) ΔX = f(x)dx. Вказаний метод сум, як видно, заснований на представленні интегра­ ла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

5 Друга схема є видозміненою схемою I і називається Метод диференціала або метод відкидання бескінечно малих вищих порядків 1) на відрізку [а, b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [а, x]. На цьому відрізку величина A стає функцією x: А А, тобто вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція А, де x тобто [а, b] - один з параметрів величини А; 2) знаходимо головну частину приросту ΔA при зміні x на малу величину Δx = dх, тобто знаходимо диференціал dA функції A = А(x):dA - f(x) dx, де f(x), визначувана з умови завдання, функція змінної x ; 3) вважаючи, що dА ΔA при Δx 0, знаходимо шукану величину шляхом інтеграції dA в межах від а до b: A(b) = A = f(x)dx.

6 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ГЕОМЕТРІЇ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ПЛОСКОЇ ФІГУРИ У ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТАХ) Припустимо функція f(х) безперервна на сегменті [а;b]. Якщо f(х )0 на [а; b] те площа S криволінійної трапеції, обмеженої лініями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, дорівнює інтегралу Якщо ж f(x) 0 на [а; b] то f(х) 0 на [а; b]. Тому площа S відповідної криволінійної трапеції виразиться формулою або Якщо, нарешті, крива y=f(х) перетинає вісь Ох, то сегмент [а;b] треба розбити на частини, в межах яких f(х) не міняє знаку, і до кожної такій частині застосувати ту з формул, яка їй відповідає.

7 Приклад. Знайти площу плоскої фігури, обмеженою параболою у = x 2, прямими х=1, х = 3 і віссю Ох. Розвязання: Користуючись формулою знаходимо шукану площу

8 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В МЕХАНІЦІ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ РОБОТИ ЗМІННОЇ СИЛИ) Матеріальна точка М переміщається уздовж осі Ох під дією змінної сили F = F(х), направленою паралельно цій осі. Робота, проведена силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (а

9 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В БІОЛОГІЇ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЕЛЬНОСТІ ПОПУЛЯЦІЇ) Число особин в популяції (чисельність популяції) міняється з часом. Якщо умови су­ществования популяції сприятливі, то народжуваність перевищує смертність і загальне число особин в популяції росте з часом. Назвемо швидкістю росту популяції приріст числа особин в едини­цу часі. Позначимо цю швидкість v = v(t). У старих, уста­новившихся популяціях, що давно мешкають в даній місцевості, швидкість росту v (t) мала і поволі прагне до нуля. Але якщо популяція молода, її взаємини з іншими місцевими по­пуляциями ще не встановилися або існують зовнішні причини, що змінюють ці взаємини, наприклад свідоме вмеша­тельство людини, то v (t) може значно коливатися, умень­шаясь або збільшуючись. Якщо відома швидкість росту популяції v(t), то ми можемо знайти приріст чисельності популяції за проміжок часу від tо до Т. Насправді, з визначення v(t) виходить, що ця функ­ция є похідною від чисельності популяції N (t) у момент t, і, отже, чисельність популяції N (t) є первісною для v (t). Тому

10 Відомо, що в умовах необмежених ресурсів живлення швидкість росту багатьох популяцій экспоненциальна, тобто Популяція в цьому випадку як би не старіє. Такі умови можна створити, наприклад, для мікроорганізмів, пересаджуючи культуру, що час від часу розвивається, в нові ємності з живильним середовищем. В цьому випадку отримаємо: За подібною формулою підраховують, зокрема, чисельність культивованих цвілевих грибків, що виділяють Пеніцилін.

11 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ НАДЛИШКУ ВИРОБНИКА) Надлишок виробника являє собою різницю між тією грошовою сумою, за якої він був би готовий продати Q* одиниць товару, і тією сумою, що він реально одержує при продажі цієї кількості товару. Графічно він може бути представлений площею фігури, обмеженої кривої пропозиції, віссю цін і прямій, паралельній осі абсцис, що проходить через точку ринкової рівноваги Очевидно, що

12 Приклад. Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд p = 4q3 + 2, а рівновага на ринку даного товару досягається при обсязі продажів Q* = 3. Визначите додаткову вигоду виробника при продажі такої кількості продукції. Розвязання: Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни P* = f(q*) = f(3) = 4* = 110. Підставимо отримане значення у формулу

13 Перелік використаних джерел: 1. 1.Баврин И.И. Высшая математика – М.: Просвещение, – Бермантт А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - М.: Наука, с Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании 4. 4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, с Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, – 288 c Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в экономики – M.: Финансы и статистика, – 560c Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 – 684c Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М., Инфра-М, 1998.