МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Тема урока: «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической. - презентация

1 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Тема урока: «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику» А.Н. Колмогоров

2 В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат. Дедуктивный метод рассуждений

3 В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: Данная фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны. Дедуктивный метод рассуждений

4 Полная индукция По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассужде­ниям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

5 Пусть требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4 n 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7. Полная индукция

6 Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а дос­таточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция) Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи. Неполная индукция

7 ,, Знаменитый математик XVII в. П.Ферма проверив, что числа простые, сделал по индукции предположение, что для всех n=1,2,3,… числа вида простые.

8 В XVIII веке Л.Эйлер нашел, что при n=5 составное число

9 P(x)=x 2 +x+41 Найдём: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71 – простые. Найдем: P(0)=41, P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53 - простые Гипотеза: значение трёхчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Гипотеза ошибочна, так как P(41)= =41* 43. Ошибки в индуктивных рассуждениях

10 Задача 1 Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда. 1,3,5,7,9,11,13… Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

11 1=1=1 2 ; 1+3=4=2 2 ; 1+3+5=9=3 2 ; =16=4 2 ; =25=5 2. После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод: (2n-1)=n 2, то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2.

12 Принцип математической индукции Утверждение P(n) справедливо для всякого натурального n, если: 1. Оно справедливо для n=1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл. 2. Из справедливости утверждения, для какого либо произвольного натурального n=k, следует его справедливость для n=k+1.

13 Алгоритм доказательства методом математической индукции 1)доказать это утверждение для n=1 2)предположить его справедливость при n=k 3)доказать, что оно верно при n=k+1

14 Задача 2 Доказать, что при n 2.

15 Задача 3 Каждый человек в мире пожал какое-то количество рук. Докажите, что число людей пожавших нечетное число рук – четно.