Разные подходы при решении квадратных уравнений Подготовил ученик 9 б класса Гимназии 1 Цымарник Пётр Руководитель Смилевец М.П. 2014 год. - презентация

1 Разные подходы при решении квадратных уравнений Подготовил ученик 9 б класса Гимназии 1 Цымарник Пётр Руководитель Смилевец М.П год

2 Содержание Цели и задачи проекта Цели и задачи проекта Способы решения квадратных уравнений Способы решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата Решение квадратных уравнений через разложение левой части на множители Решение квадратных уравнений через разложение левой части на множители Решение квадратных уравнений способом «переброски» Решение квадратных уравнений способом «переброски» Решение квадратных уравнений графическим способом Решение квадратных уравнений графическим способом Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Самые удобные способы решения квадратных уравнений Самые удобные способы решения квадратных уравнений Заключение Заключение Решение квадратных уравнений на компьютере Решение квадратных уравнений на компьютере Материалы проекта Материалы проекта Наш сайт Наш сайт Итоги Итоги Квадратным называют алгебраическое уравнение второй степени, т.е. уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a, b, c - действительные числа, причем a 0

3 Цели и задачи проекта Выявить и обсудить малоизвестные способы решения квадратных уравнений Найти самые удобные способы решения квадратных уравнений Помочь всем желающим пополнить, систематизировать, углубить свои знания по решению квадратных уравнений Создать программу для решения квадратных уравнений Развить навыки исследовательской работы

4 Способы решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений через дискриминант Решение квадратных уравнений через дискриминант Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета По формулам сокращенного умножения По формулам сокращенного умножения Графический способ решения квадратных уравнений Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений по формулам Решение квадратных уравнений по формулам (a+b+c=0 => x1=1,x2=с/a и т.п.) Метод выделения полного квадрата Через разложение левой части на множители Способом «переброски» Графический способ решения квадратных уравнений Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Решение квадратных уравнений с помощью номограммы изученные в школе будут рассматриваться

5 Решение квадратных уравнений методом выделения полного квадрата х²+16 х-192=0 Преобразуем левую часть уравнения: х²+16 х-192=(х²+2*х*8+8 2 ) =(x+8) =(x+8) получим: (x+8) =0 (x+8) 2 =256 По свойству арифметического квадратного корня: x+8=256, x+8=16, X=8, x+8=-256; x+8=-16; X=-24. Ответ: {-24;8} Выделим полный квадрат a 2 + 2ab + b 2

6 Решение квадратных уравнений через разложение левой части на множители х²+16 х-192=0 Решение Решение Преобразуем левую часть уравнения: х²+16 х-192=х²+24 х-8x-192=x(x+24)-8(x+24)=(x-8)(x+24) Получим: (x-8)(x+24)=0 Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то: X+24=0, X=-24, X-8=0; X=8. Ответ: {-24;8} Разложим на множители

7 Решение квадратных уравнений способом «переброски» Рассмотрим квадратное уравнение: ах 2 + bх + с = 0 Умножим обе части на a, получим: (ах) 2 + b(as) + ас = 0 Пусть ах = у, тогда получим уравнение: у 2 + by + ас = 0 Решаем уравнение с помощью теоремы Виета, получаем y 1 и y 2. Далее находим корни исходного уравнения: X 1 =y 1 /a X 2 =y 2 /a

8 Примеры 2 х²+5 х-7=02 х²+5 х-7=0 |*2(2 х)²+5(2 х)-14=0 Пусть 2x=y y²+5y-14=0 y 1 =-7 Y 2 =2 X 1 =-3,5; X 2 =1. X 1 =-7/2 X 2 =2/2 X 1 =Y 1 /a X 2 =Y 2 /a

9 Решение квадратных уравнений графическим способом (способ 1) Решить: x 2 +2x-3=0 Решение Обозначим y=х х – 3 График-парабола, ветви направлены График-парабола, ветви направлены вверх. Найдем вершину параболы: вверх. Найдем вершину параболы: X 0 =-b/2a=-2/2=-1 Y 0 =(-1) 2 +2(-1) – 3=-4 Точка A(-1;-4) – вершина параболы Построим график функции: X Y Решение квадратных уравнений графическим способом (способ 2) Решить: x 2 +2x-3=0 Решение x 2 =-2x+3 Обозначим y=x 2 и y=-2x+3. Построим графики функций в одной системе координат: Y=-2x+3 График-прямая Y=x 2 График-парабола, ветви направлены вверх. Вершина в точке О(0;0) X01 Y31 X-2012 Y41014

10 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки Корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром S(-b/2a;(a+c)/(2a)), проходящей через точку А(0;1) и ось Ox. Таким образом, решение уравнения сводится к построению на координатной плоскости окружности с центром S и радиусом SA и определению абсцисс точек пересечения окружности с осью Ox.

11 Примеры х х - 3 = 0 Определим координаты точки центра окружности по формулам: X=-b/2a=-(-2)/(2*1)=1 Y=(a+c)/2a=(1-3)/(2*1)=-1 Проведем окружность с центром в точке S(1;-1) радиуса SA, где А (0; 1): Ответ:{-1;3} X 2 +4x+4=0 Определим координаты точки центра окружности по формулам: X=-b/2a=-4/(2*1)=-2 Y=(a+c)/2a=(1 +4)/(2*1)=2,5 Проведем окружность с центром в точке S(-2;2,5) радиуса SA, где А (0; 1): Ответ: -2

12 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы Номограмма - это набор из трёх параметризованных кривых на плоскости Номограмма графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывания линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул. X, a=1 x 2 +bx+c=0, a=1 X 2 -6x+5=0

13 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы 3x 2 - 9x + 6 = 0 3x 2 - 9x + 6 = 0|:3 x 2 -3x+2=0 X 1 =2; X 2 =1 Ответ:{1;2} x x + 66 = 0 Пусть x=5t, тогда получим: 25t t+66=0|:25 t 2 -5t+2,64=0 t 1 =0,6; t 2 =4,4 Тогда X 1 =5*0,6=3 и X 2 =5*4,4=22 Ответ:{3;22} Если коэффициенты b и c выходят за пределы шкалы (или если оба положительны), то выполняют подстановку x= k*t и решают полученное уравнение. Затем по формуле X=k*t находят корни искомого уравнения

14 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы x 2 + 4x + 3 = 0 Обозначим x=-t, получим: (-t) 2 -4t+3=0 t 2 -4t+3=0 t 2 -4t+3=0 t 1 =1 t 2 =3 Тогда x 1 =-t 1 =-1 x 2 =-t 2 =-3 Ответ:{-3;-1} x 2 +5x -6 = 0 X 1 =1 По теореме Виета: X 2 =-5-1=-6 Ответ:{-6;1} Если уравнение имеет корни разных знаков, то, найдя по номограмме положительный корень, отрицательный находят по формуле X 2 =-b-X 1

15 участники параметры Самые удобные способы решения квадратных уравнений

16 Заключение Мы рассмотрели 6 способов решения квадратных уравнений и 4 были подробно изучены в школьном курсе. Самые удобные из них: Через разложение левой части на множители Через разложение левой части на множители Способ переброски Способ переброски Через выделение полного квадрата С помощью номограммы Через дискриминант Умение решать квадратные уравнения пригодиться не только подавляющее число задач о в школе и на экзамене, но и в жизни: подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, промышленность, связь и т. д.). (транспорт, промышленность, связь и т. д.).

17 Решение квадратных уравнений на компьютере Программа для решения квадратных уравнений