ВЫПОЛНИЛ: 10 В Филиппов Александр РУКОВОДИТЕЛЬ: Мерзляков А.Ф. Дата: 23.02.04 (2003-2004 г.) ДАЛЕЕ. - презентация

1

2 ВЫПОЛНИЛ: 10В Филиппов Александр РУКОВОДИТЕЛЬ: Мерзляков А.Ф. Дата: ( г.) ДАЛЕЕ

3 Вы смотрите учебно- демонстрационный материал по геометрии. Вам предлагается ознакомиться с теоремами синусов, косинусов и решениями треугольников. Данный материал не дает полной информации на данную тему, он рассчитан на аудиторию уже знакомую с данным разделом геометрии! Также здесь вы найдете примеры задач и их решения на данную тему. Все управляющие кнопки подписаны и интерфейс программы не вызовет у вас затруднений! УДАЧИ! СОДЕРЖАНИЕ НАЗАД

4 Теорема косинусов Теорема синусов Соотношение между углами треугольника и противолежащими сторонами Решения треугольников Нажатием мышки выберите нужную тему. НАЗАД

5 Теорема 1. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. A B C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos α ! ! ДАЛЕЕ

6 Следствие A B C A B C D Угол - острый Угол - тупой CD – высота AD – проекция стороны AC на сторону AB. CD – высота AD – проекция стороны AC на продолжение стороны AB. cos = AD/AC cos (180 - ) = AD / AC = –cos AD = AC cos AD= – AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB ADBC ² = AB ² + AC ² + 2AB AD cos (180 - ) = –cos D Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+»надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый. ДАЛЕЕ

7 Дано: Найти: Решение: AC = 5 м BC - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = 6 ² + 5 ² ,6 BC ² = BC ² = 25 BC = 5 Ответ: 5 м. BC = 25 Решение задач - пример ? AB = 6 м cos = 0,6 ДАЛЕЕ

8 BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos Дано: Найти: Решение: AC = 5 м cos - ? A B C Ответ: 0,2. cos = (AB ² + AC ² - BC ²) / 2AB AC cos = (6 ² + 5 ² - 7 ²) / cos = ( ) / 60 cos = 0, Решение задач - пример 2. AB = 6 м BC = 7 м ДАЛЕЕ

9 Дано: Найти: Решение: BC = 4 м AD - ? BD - ? AB C BC ² = AB ² + AC ² - 2AB AC cos BC ² = AB ² + AC ² – 2AB AD Ответ: AD = 3,75 м; BD = 2,25 м. D AD = (AB ² + AC ² – BC ² ) / 2AB AD = (6 ² + 5 ² – 4 ² ) / 2 6 AD = ( – 16 ) / 12 AD = 3,75 BD = AB - AD BD = 6 – 3,75 = 2, Решение задач - пример 3. AC = 5 м AB = 6 м Содержание

10 Теорема 2. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. AB C !! AB C a/sin = b/sin β = c/sin γ a b c a b c β β γ γ ДАЛЕЕ

11 Дано: Найти: Решение: ABC AB - ? Ответ: b sin γ / sin ( + γ) A B C b γ b / sin β = AB / sin γ AB = b sin γ / sin β AB = b sin γ / sin (180 – ( + γ)) AB = b sin γ / sin ( + γ) Решение задач - пример 1. AC = b, γ точка B недоступна ДАЛЕЕ

12 Дано: Найти: Решение: = 45° b - ? A B C a b c Ответ: 3 6 / 2 a/sin =b/sin β b= a sin β/ sin b = 3 sin 60 ° / sin 45 ° β b = 3 ( 3 / 2) / (1 / 2 ) b = 3 6 / 2 Решение задач - пример 2. β = 60° a = 3 м Содержание

13 b ! Теорема 3. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. AB C AB C a a b β β Если > β, то a > b ! ДАЛЕЕ

14 C Решение задач - пример 1. Дано:Решение: ABC - равнобедренный A = C > 60° A B Значит, A + C > 120° B = 180° - ( A + C) <60° Следовательно в ABC B – наименьший. Тогда, согласно соотношению между углами треугольника и его сторонами,AC – наименьшая сторона. Ответ: AC

15 Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: AC = 18 см Ответ: A - острый. Каким является А – острым, прямым или тупым? A B C Так как AB > AC, то C > B То есть С > 50° Тогда B + C > 100° A = 180° - ( B + C) < 80° A - острый 50° AB = 20 см B = 50° ? Содержание

16 c = 20 (sin 45° / sin 75°) 20 (0,7 / 0,966) 14,6 Решение задач - пример 1. Дано: Найти: Решение: a = 20 см Ответ: 45°; 17,9 см; 14,6 см. γ - ? b - ? c - ? γ = 180° - (β + ) γ = 180° - (75° + 60°) = 45° b = a (sin β / sin γ) с a b β γ b = 20 (sin 60° / sin 75°) 20 (0,866 / 0,966) 17,9 c = a (sin γ / sin ) a / sin = b / sin β = c / sin γ = 75 ° β = 60° ДАЛЕЕ

17 γ Решение задач - пример 2. Дано: Найти: Решение: Ответ: 28 см; 39°; 11°. cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 11° a = 7 м a b β c - ? β - ? c - ? β =180° - ( + γ) = 180° - (11° + 130°) 39° c = a ² + b ² - 2 a b cos γ c = – (- 0,643) 28 b = 23 м γ = 130° ДАЛЕЕ

18 Решение задач - пример 3. Дано: Найти: Решение: a = 7 см Ответ: 54°; 13°; 113°. - ? β - ? γ - ? cos = (b ² + c ² - a ²) / 2 b c cos = ( – 49) / ,981 54° γ 180° - ( + β) = 180° - (54° + 13°) = 113° cos β = (a ² + c ² - b ²) / 2 a c cos β = ( – 4) / ,973 β 13° γ a b β c b = 2 см c = 8 см ДАЛЕЕ

19 Решение задач - пример 4. Дано: Найти: Решение: a = 12 см Ответ: 8,69 см; 21°; 39°. c - ? β - ? γ - ? a / sin = b / sin β = c / sin γ sin β = (b / a) sin β 1 21° и β 2 159°, так как - тупой, а в треугольнике может быть только один тупой угол, то β 21°. γ 180° - ( + β) = 180° - (120° + 21°) = 39° γ a b β c sin β = (5 / 12) 0,866 0,361 c = 12 (sin 39° / sin 120°) 12 (0,629 / 0,866) 8,69 c = a (sin γ / sin ) b = 5 см = 120 ° СодержаниеНА ВЫХОД!

20 ОБ АВТОРЕ: Имя: Филиппов Александр Место учебы: лицей 4 Класс: 10 В Адрес: пр. Парковый 3/1 – 258 Тел: выход