Сычева Г.В.(учитель математики ). Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята. - презентация

1 Сычева Г.В.(учитель математики )

2 Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3BN; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F. Найдите: A M B N C k b 3k b F

3 Задача 1. A M B N C k b 3k b Решение. 1) По условию задачи МА = АС, NC = 3BN. 2)Пусть МА = АС = b, BN = k, NC = 3k. Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая Ответ: 2:3. Найдите: F

4 Задача 2. Пусть AD – медиана треугольника АВС. На отрезке AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников. А P K D C B 3m m

5 Задача 2. А P K D C B 3m m a a Решение. 1)Пусть BD = DC = a, KD = m; тогда AK =3m. 2)Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС. Необходимо найти отношение Так как треугольники АВР и РВС имеют равные высоты, проведенные из вершины В. 3)По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей PB Ответ: 3:2.

6 Задача 3. В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4. А 1,В 1 и С 1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС, АС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА 1, СС 1. Найдите АР:РА 1. А С В С1С1 А1А1 В1В1 Р 8 5 4

7 Задача 3. Найдите АР:РА 1. А С В С1С1 А1А1 В1В1 Р Решение. 1) Пусть С 1 В = x 2) ВА 1 =ВС 1 =х, А 1 С = СВ 1 = 5-х, АВ 1 = АС 1 = 8-х. 3) АС=4 8-x+5-x=4, В треугольнике АВА 1 прямая С 1 С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая Ответ: 70:9. xx 8-x 5-x Длины касательных, проведенных из одной точки к данной окружности равны.

8 Основные выводы: 2. При составлении равенства надо переходить от вершины к вершине через точку пересечения секущей линии с этой стороной или ее продолжением; заканчивать необходимо в той же вершине, с которой начали. 1. Для решения задач необходимо научиться находить на рисунке треугольник, удовлетворяющий теореме Менелая.

9 Значимость данной работы: А) теоремы Чевы и Менелая позволяют легко и изящно решать целый класс задач; Б) наша работа может быть использована для проведение практических занятий с учащимися выпускных классов и при подготовке к Единому Государственному Экзамену.

10