Основные понятия теории вероятностей. Базовые понятия теории вероятности Событие Событие Событие Опыт Опыт Опыт Переменная величина Переменная величина. - презентация

1 Основные понятия теории вероятностей

2 Базовые понятия теории вероятности Событие Событие Событие Опыт Опыт Опыт Переменная величина Переменная величина Переменная величина Переменная величина

3 Понятие опыт Определение. Под опытом понимается воспроизведение некоторого комплекса условий. При этом предполагается, что опыт может быть повторен сколько угодно раз. Пример 1. Экономический объект – рынок подержанных автомобилей. Опыт – продажа конкретного автомобиля. Комплекс условий: наличие автомобилей, покупателей и сделок купли продажи. Данные условия можно повторить много раз. Пример 2. Бросание игрального кубика. Опыт- бросок. Комплекс условий- наличие кубика и игроков. Пример 3. Объект- элементарная макромодель Кейнса: С=a 0 + a 1 Y + U С=a 0 + a 1 Y + U Y= C + I Y= C + I Опыт- функционирование экономики. Комплекс условий- наличие инвесторов и потребителей.

4 Понятие события Определение. Пусть имеется некоторый опыт. Событие, связанное с этим опытом, называется любой его исход. При этом событие называется случайным, если оно может появиться или не появиться в данном опыте. Обозначение: D: (описание события) Пример 1. Опыт-продажа подержанных автомобилей. Случайное событие- продажа 3-х летнего автомобиля за 0.5 цены. Это событие может появиться, а может и не появиться при повторении опыта. Пример 2. Опыт-бросание игрального кубика. События: A: (Выпадение четного числа) B: (Выпадение шестерки) B: (Выпадение шестерки)

5 Понятие вероятности появления события Мерилом возможности появления события A: в данном опыте служит вероятность появления этого события в опыте. Определение. Пусть А- случайное событие, связанное с некоторым опытом. Предположим, что опыт повторен n раз, в итоге событие А появилось в опытах n a раз. Тогда дробь n/n a называется относительной частотой появления события А в опытах, а вероятность P(A) появления события А определяется как предел этой дроби при многократном повторении опыта: (3.1)

6 Свойства вероятности события 1. Вероятность события приближенно равна относительной частоте появления события: P(A)n A /n 2. Из определения следует, что область определения P(A) – интервал (0, 1) 2. Из определения следует, что область определения P(A) – интервал (0, 1) Замечание. Иногда вероятность случайного события можно определить априори не прибегая к испытаниям. Например, опыт с игральным кубиком, вероятность появления любого числа из набора ( ) одинакова и равна 1/6.

7 Достоверное и невозможное события Определение. Пусть R событие, связанное с некоторым опытом, которое всегда появляется при его повторении, т.е P(R)1. Тогда событие R называется достоверным событием. Определение. Пусть I событие, связанное с некоторым опытом, которое никогда не появляется при его повторении, т.е P(I)0. Тогда событие I называется невозможным событием. Пример. Опыт - бросание игральной кости: выпадение любого числа из набора ( ) – событие достоверное выпадение числа 7 – событие невозможное

8 Практически достоверное событие Определение. Событие V, связанное с некоторым опытом, называется «практически достоверным», если вероятность его появления удовлетворяет условию: 0.95P(V)1 Любое случайное событие W, связанное с опытом, вероятность которого 0

9 Условная вероятность Определение. Пусть А и В два события, связанные с опытом, причем Р(А)>0. Проведено такое количество опытов N, при котором N a >0 (количество появлений события А). Пусть N ab количество опытов, в которых событие В появилось вместе с событием А. Отношение N ab /N a называют относительной частотой появления события В при условии появления события А. Условная вероятность появления события В есть: Свойства: P(A|B) N a /N ab 0 P(A|B) 1 (3.2)

10 Вероятность совместного события Разделив числитель и знаменатель (3.2) на N, получим: (3.3) где P(AB) – вероятность появления одновременно событий А и В в N опытах. где P(AB) – вероятность появления одновременно событий А и В в N опытах. Пример с кубиком. А:(четное число), В:(число 6). P(A)=1/2, P(B)=1/6. Тогда P(B|A)=(1/6)/(1/2)=1/3 Событие В совпадает с событием АB, след. P(AB)=P(B)=1/6. Отметим, Р(АВ)Р(В|А). Р(АВ) = Р(В|А) – условие независимости событий. Р(АВ) = Р(В|А) – условие независимости событий.

11 Теорема умножения вероятностей Теорема. Если события А 1, А 2,…, А n суть независимые события, то для них справедливо равенство: Р(А 1, А 2,…, А n )=Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) Р(А 1, А 2,…, А n )=Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) где: Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) – вероятности появления каждого события. где: Р(А 1 )Р(А 2 )…Р(А n ) – вероятности появления каждого события. Пример. Бросание двух кубиков. Событие А:(появление 6 на кубе 1) Событие В:(появление 6 на кубе 2) Р(А)=1/6, Р(В)=1/6 Вероятность появление двух чисел 6 одновременно: Р(АВ)=Р(А)Р(В)=(1/6)(1/6)=1/36 Р(АВ)=Р(А)Р(В)=(1/6)(1/6)=1/36

12 Понятие переменная Определение. Пусть задано множество значений А х {t 1,t 2,…t n }. Тогда величина Х называется переменной, если она может принимать любые значения из множества А х, а множество А х называется областью допустимых значений или областью определения Х. Если А х состоит из набора значений, которые можно пронумеровать (счетное множество), то Х – дискретная переменная. Если А х представляет собой отрезок или интервал на числовой оси, то такая переменная называется непрерывной.

13 Дискретная случайная переменная Определение. Дискретная переменная Х с множеством допустимых значений А х называется случайной, если все ее возможные значения появляются в некотором опыте со случайными исходами А:(x=t) и если для нее задан закон распределения вероятностей. Первое свойство объединяет все случайные переменные Второе свойство – обеспечивает индивидуальность каждой случайной переменной.

14 Закон распределения дискретной случайной переменной Определение. Законом распределения дискретной случайной величины Х называется функция P x (t), определенная на всей числовой оси, значения которой характеризуют вероятность появления в данном опыте события В:(x=t), и определяется по правилу: где: Р(х=t) вероятность события В:(x=t) где: Р(х=t) вероятность события В:(x=t) Закон распределения ДСП называют вероятностной функцией

15 Классические примеры дискретных случайных переменных Пример 1. Бросание кубика Ax={1,2,3,4,5,6} – область определения X- цифра на верхней грани (СДП) Закон распределения – Пример равновероятного закона распределения Графическое представление равновероятного закона распределения

16 Классические примеры дискретных случайных переменных Пример 2. Бросание одновременно двух кубиков X-сумма чисел на верхних гранях кубиков A x ={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} - область определения Закон распределения Х имеет вид Каждый столбец - суть вероятность появления в опытах соответствующего значения переменной Х

17 Закон распределения непрерывной случайной переменной В случае, когда Х непрерывная случайная переменная, ее закон распределения вероятностей выражается с помощью функции плотности вероятностей, который по определению есть: где: P(txt+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt) где: P(txt+Δt) – вероятность того, что случайная переменная Х примет в опыте значение, лежащее в интервале (t, t+Δt)

18 Свойства функции плотности вероятностей 1. Функция плотности вероятности неотрицательна p x (t)0 2. Вероятность попадания СВ х на отрезок [a, b] есть: 3. Функция распределения вероятностей связана с функцией плотности вероятностей выражением: 4. Справедливо равенство:

19 Примеры законов распределения непрерывных случайных переменных 1. Закон равномерного распределения Х на отрезке [a, b] ab 1/(b-a) pxpxpxpx График функции плотности вероятности – отрезок прямой параллельной оси Х внутри отрезка [a,b] и ноль вне его. Х

20 Примеры законов распределения непрерывных случайных переменных 2. Нормальный закон распределения Гаусса где a и s –параметры закона распределения. где a и s –параметры закона распределения. Именно, с помощью значений этих параметров удается персонифицировать различные случайные переменные, подчиняющиеся нормальному закону распределения.