Механический и геометрический смысл производной Выполнили: Механошина Нина, Исаенко Юля, 10 «В» класс Проверила Мартюшова В. А. - презентация

1 Механический и геометрический смысл производной Выполнили: Механошина Нина, Исаенко Юля, 10 «В» класс Проверила Мартюшова В. А.

2 Механический смысл производной Производная имеет простой механический смысл. Пусть материальная точка движется по оси у. Путь, пройденный этой точкой за время t с учетом направления движения, записывается функцией y=f(t). Гладкость функции на механическом языке означает, что точка движется "гладко", т.е. без скачков и ударов. В этом случае в каждый момент времени t можно вычислить скорость движения v=v(t). Из механики известно, что величина скорости v(t) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции f пути в точке t. Таким образом, скорость материальной точки – это производная пути как функции времени.

3 Движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x ( t ) времени t. В течение интервала времени от t 0 до t 0 + t точка перемещается на расстояние: x ( t 0 + ) - x ( t 0 ) = x, а её средняя скорость равна: v a = x/ t; При t 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v(t 0 )материальной точки в момент времени t 0. Рассмотрим простейший случай

4 Но по определению производной мы имеем: отсюда, v ( t 0 ) = x ( t 0 ), т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: a = v ( t ).

5 Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f ( x ):

6 Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции: где угол - угол наклона секущей AB. Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то х неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

7 Уравнение касательной Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x 0, f ( x 0 ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ( x 0 ) имеет вид: y = f ( x 0 ) · x + b. Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A: f ( x 0 ) = f ( x 0 ) · x 0 + b, отсюда, b = f ( x 0 ) – f ( x 0 ) · x 0, и подставляя это выражение вместо b, мы получим уравнение касательной: y = f ( x 0 ) + f ( x 0 ) · ( x – x 0 ).

8 Физический смысл производной Неравномерное движение

9 Среднее ускорение материальной точки выражается формулой Мгновенное ускорение точки равно Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением

10 Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением В более сложных формулах можно встретить производные второго порядка и частные производные.

11 Список литературы: Информация взята из …… WIKIPEDIA.COM; Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа»; Сканави М. И. «Сборник задач для поступающих в вузы».

12 Спасибо за внимание!