Динамические структуры данных (язык Паскаль) © К.Ю. Поляков, 2008-2010 1.УказателиУказатели 2.Динамические массивыДинамические массивы 3.СтруктурыСтруктуры. - презентация

1 Динамические структуры данных (язык Паскаль) © К.Ю. Поляков, Указатели Указатели 2. Динамические массивы Динамические массивы 3. Структуры Структуры 4. Списки Списки 5.Стеки, очереди, деки Стеки, очереди, деки 6. Деревья Деревья 7.Графы Графы

2 Тема 1. Указатели © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

3 3 Статические данные переменная (массив) имеет имя, по которому к ней можно обращаться размер заранее известен (задается при написании программы) память выделяется при объявлении размер нельзя увеличить во время работы программы var x, y: integer; z: real; A: array[1..10] of real; str: string; var x, y: integer; z: real; A: array[1..10] of real; str: string;

4 4 Динамические данные размер заранее неизвестен, определяется во время работы программы память выделяется во время работы программы нет имени? Проблема: как обращаться к данным, если нет имени? Решение: использовать адрес в памяти Следующая проблема: в каких переменных могут храниться адреса? как работать с адресами?

5 5 Указатели Указатель – это переменная, в которую можно записывать адрес другой переменной (или блока памяти). Объявление: Как записать адрес: var pC: ^char; // адрес символа pI: ^integer; // адрес целой переменной pR: ^real; // адрес вещ. переменной var pC: ^char; // адрес символа pI: ^integer; // адрес целой переменной pR: ^real; // адрес вещ. переменной var m: integer; // целая переменная pI: ^integer; // указатель A: array[1..2] of integer; // массив... m; // адрес переменной m A[1]; // адрес элемента массива A[1] pI:= nil; // нулевой адрес var m: integer; // целая переменная pI: ^integer; // указатель A: array[1..2] of integer; // массив... m; // адрес переменной m A[1]; // адрес элемента массива A[1] pI:= nil; // нулевой ^ nil указатель адрес ячейки

6 6 Обращение к данным через указатель program qq; var m, n: integer; pI: ^integer; begin m := 4; pI writeln('Адрес m = ', pI); // вывод адреса writeln('m = ', pI^); // вывод значения n := 4*(7 - pI^); // n = 4*(7 - 4) = 12 pI^ := 4*(n - m); // m = 4*(12 – 4) = 32 end. program qq; var m, n: integer; pI: ^integer; begin m := 4; pI writeln('Адрес m = ', pI); // вывод адреса writeln('m = ', pI^); // вывод значения n := 4*(7 - pI^); // n = 4*(7 - 4) = 12 pI^ := 4*(n - m); // m = 4*(12 – 4) = 32 end. ^ «вытащить» значение по адресу

7 7 Обращение к данным (массивы) program qq; var i: integer; A: array[1..4] of integer; pI: ^integer; begin for i:=1 to 4 do A[i] := i; pI // адрес A[1] while ( pI^ <= 4 ) // while( A[i] <= 4 ) do begin pI^ := pI^ * 2; // A[i] := A[i]*2; pI := pI + 1; // к следующему элементу end; end. program qq; var i: integer; A: array[1..4] of integer; pI: ^integer; begin for i:=1 to 4 do A[i] := i; pI // адрес A[1] while ( pI^ <= 4 ) // while( A[i] <= 4 ) do begin pI^ := pI^ * 2; // A[i] := A[i]*2; pI := pI + 1; // к следующему элементу end; end. переместиться к следующему элементу = изменить адрес на sizeof(integer) Не работает в PascalABC.NET! ! !

8 8 Что надо знать об указателях указатель – это переменная, в которой можно хранить адрес другой переменной; при объявлении указателя надо указать тип переменных, на которых он будет указывать, а перед типом поставить знак ^ ; перед именем переменной обозначает ее адрес; запись p^ обозначает значение ячейки, на которую указывает указатель p ; nil – это нулевой указатель, он никуда не указывает при изменении значения указателя на n он в самом деле сдвигается к n -ому следующему числу данного типа (для указателей на целые числа – на n*sizeof(integer) байт). Нельзя использовать указатель, который указывает неизвестно куда (будет сбой или зависание)!

9 Тема 2. Динамические массивы © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

10 10 Где нужны динамические массивы? Задача. Ввести размер массива, затем – элементы массива. Отсортировать массив и вывести на экран. Проблема: размер массива заранее неизвестен. Пути решения: 1)выделить память «с запасом»; 2)выделять память тогда, когда размер стал известен. Алгоритм: 1)ввести размер массива; 2)выделить память ; 3)ввести элементы массива; 4)отсортировать и вывести на экран; 5)удалить массив. выделить память удалить массив

11 11 Использование указателей (Delphi) program qq; type intArray = array[1..1] of integer; var A: ^intArray; i, N: integer; begin writeln('Размер массива>'); readln(N); GetMem(pointer(A), N*sizeof(integer)); for i := 1 to N do readln(A[i]);... { сортировка } for i := 1 to N do writeln(A[i]); FreeMem(pointer(A)); end. выделить память освободить память работаем так же, как с обычным массивом! какой-то массив целых чисел

12 12 Использование указателей для выделения памяти используют процедуру GetMem GetMem( указатель, размер в байтах ); указатель должен быть приведен к типу pointer – указатель без типа, просто адрес какого-то байта в памяти; с динамическим массивом можно работать так же, как и с обычным (статическим); для освобождения блока памяти нужно применить процедуру FreeMem : FreeMem ( указатель );

13 13 Ошибки при работе с памятью Запись в «чужую» область памяти: память не была выделена, а массив используется. Что делать: так не делать. Выход за границы массива: обращение к элементу массива с неправильным номером, при записи портятся данные в «чужой» памяти. Что делать: если позволяет транслятор, включать проверку выхода за границы массива. Указатель удаляется второй раз: структура памяти нарушена, может быть все, что угодно. Что делать : в удаленный указатель лучше записывать nil, ошибка выявится быстрее. Утечка памяти: ненужная память не освобождается. Что делать : убирайте «мусор» (в среде.NET есть сборщик мусора!)

14 14 Динамические массивы(Delphi) program qq; var A: array of integer; i, N: integer; begin writeln('Размер массива>'); readln(N); SetLength ( A, N ); for i := 0 to N-1 do readln(A[i]);... { сортировка } for i := 0 to N-1 do writeln(A[i]); SetLength( A, 0 ); end. выделить память освободить память какой-то массив целых чисел нумерация с НУЛЯ!

15 15 Динамические массивы (Delphi) при объявлении массива указывают только его тип, память не выделяется: var A: array of integer; для выделения памяти используют процедуру SetLength (установить длину) SetLength ( массив, размер ); номера элементов начинаются с НУЛЯ! для освобождения блока памяти нужно установить нулевую длину через процедуру SetLength : SetLength ( массив, 0 );

16 16 Динамические матрицы (Delphi) Задача. Ввести размеры матрицы и выделить для нее место в памяти во время работы программы. Проблема: размеры матрицы заранее неизвестны Решение: var A: array of array of integer; N, M: integer; begin writeln('Число строк и столбцов>'); readln(N, M); SetLength ( A, N, M );... // работаем, как с обычной матрицей SetLength( A, 0, 0 ); end. var A: array of array of integer; N, M: integer; begin writeln('Число строк и столбцов>'); readln(N, M); SetLength ( A, N, M );... // работаем, как с обычной матрицей SetLength( A, 0, 0 ); end.

17 Тема 3. Структуры (записи) © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

18 18 Структуры (в Паскале – записи) Структура (запись) – это тип данных, который может включать в себя несколько полей – элементов разных типов (в том числе и другие структуры). Свойства: автор (строка) название (строка) год издания (целое число) количество страниц (целое число) Задача: объединить эти данные в единое целое Размещение в памяти автор название год издания количество страниц 40 символов 80 символов целое

19 19 Одна запись readln(Book.author); // ввод readln(Book.title); Book.year := 1998; // присваивание if Book.pages > 200 then // сравнение writeln(Book.author, '.', Book.title); // вывод readln(Book.author); // ввод readln(Book.title); Book.year := 1998; // присваивание if Book.pages > 200 then // сравнение writeln(Book.author, '.', Book.title); // вывод Объявление (выделение памяти): var Book: record author: string[40]; // автор, строка title: string[80]; // название, строка year: integer;// год издания, целое pages: integer; // кол-во страниц, целое end; var Book: record author: string[40]; // автор, строка title: string[80]; // название, строка year: integer;// год издания, целое pages: integer; // кол-во страниц, целое end; название запись поля Обращение к полям: Для обращения к полю записи используется точка! ! !

20 20 Массив записей Объявление (выделение памяти): const N = 10; var aBooks: array[1..N] of record author: string[40]; title: string[80]; year: integer; pages: integer; end; const N = 10; var aBooks: array[1..N] of record author: string[40]; title: string[80]; year: integer; pages: integer; end; Books[1]... Books[10] authortitleyearpages

21 21 Массив записей for i:=1 to N do begin readln(aBooks[i].author); readln(aBooks[i].title);... end; for i:=1 to N do if aBooks[i].pages > 200 then writeln(aBooks[i].author, '.', aBooks[i].title); for i:=1 to N do begin readln(aBooks[i].author); readln(aBooks[i].title);... end; for i:=1 to N do if aBooks[i].pages > 200 then writeln(aBooks[i].author, '.', aBooks[i].title); Обращение к полям: aBooks[i].author – обращение к полю author записи aBooks[i] ! !

22 22 Новый тип данных – запись const N = 10; var Book: TBook; // одна запись aBooks: array[1..N] of TBook; // массив const N = 10; var Book: TBook; // одна запись aBooks: array[1..N] of TBook; // массив Объявление типа: type TBook = record author: string[40]; // автор, строка title: string[80]; // название, строка year: integer;// год издания, целое pages : integer; // кол-во страниц, целое end; type TBook = record author: string[40]; // автор, строка title: string[80]; // название, строка year: integer;// год издания, целое pages : integer; // кол-во страниц, целое end; Память не выделяется! ! ! Объявление переменных и массивов: TBook – Type Book («тип книга») – удобно!

23 23 Записи в процедурах и функциях Book.author := 'А.С. Пушкин'; ShowAuthor ( Book ); Book.year := 1800; writeln( IsOld(Book) ); Book.author := 'А.С. Пушкин'; ShowAuthor ( Book ); Book.year := 1800; writeln( IsOld(Book) ); Процедура: procedure ShowAuthor ( b: TBook ); begin writeln ( b.author ); end; procedure ShowAuthor ( b: TBook ); begin writeln ( b.author ); end; Основная программа: function IsOld( b: TBook ): boolean; begin IsOld := b.year < 1900; end; function IsOld( b: TBook ): boolean; begin IsOld := b.year < 1900; end; Функция:

24 24 Файлы записей Объявление указателя на файл: var F: file of TBook; Assign(F, 'books.dat'); { связать с указателем } Rewrite(F); { открыть файл для запись } writeln(F, Book); { запись } for i:=1 to 5 do writeln(aBook[i]); { запись } Close(F); { закрыть файл } Assign(F, 'books.dat'); { связать с указателем } Rewrite(F); { открыть файл для запись } writeln(F, Book); { запись } for i:=1 to 5 do writeln(aBook[i]); { запись } Close(F); { закрыть файл } Запись в файл:

25 25 Чтение из файла Известное число записей: Assign(F, 'books.dat'); { связать с указателем } Reset(F); { открыть для чтения } Read(F, Book); { чтение } for i:=1 to 5 do Read(F, aBook[i]); { чтение } Close(F); { закрыть файл } Assign(F, 'books.dat'); { связать с указателем } Reset(F); { открыть для чтения } Read(F, Book); { чтение } for i:=1 to 5 do Read(F, aBook[i]); { чтение } Close(F); { закрыть файл } «Пока не кончатся»: count := 0; while not eof(F) do begin count := count + 1; { счетчик } Read(F, aBook[count]); { чтение } end; count := 0; while not eof(F) do begin count := count + 1; { счетчик } Read(F, aBook[count]); { чтение } end; В чем может быть проблема! ? ? пока не дошли до конца файла F EOF = end of file пока не дошли до конца файла F EOF = end of file

26 26 Пример программы Задача: в файле books.dat записаны данные о книгах в виде массива структур типа TBook (не более 100). Установить для всех 2008 год издания и записать обратно в тот же файл. type Tbook … ; const MAX = 100; var aBooks: array[1..MAX] of TBook; i, N: integer; F: file of TBook; begin { прочитать записи из файла, N - количество } for i:=1 to N do aBooks[i].year := 2008; { сохранить в файле } end. type Tbook … ; const MAX = 100; var aBooks: array[1..MAX] of TBook; i, N: integer; F: file of TBook; begin { прочитать записи из файла, N - количество } for i:=1 to N do aBooks[i].year := 2008; { сохранить в файле } end. type TBook … ; полное описание структуры

27 27 Пример программы Чтение «пока не кончатся»: Assign(f, 'books.dat'); Reset(f); N := 0; while not eof(F) and (N < MAX) do begin N := N + 1; read(F, aBooks[N]); end; Сlose(f); Assign(f, 'books.dat'); Reset(f); N := 0; while not eof(F) and (N < MAX) do begin N := N + 1; read(F, aBooks[N]); end; Сlose(f); Assign(f, 'books.dat'); { можно без этого } Rewrite(f); for i:=1 to N do write(F, aBooks[i]); Close(f); Assign(f, 'books.dat'); { можно без этого } Rewrite(f); for i:=1 to N do write(F, aBooks[i]); Close(f); Сохранение: чтобы не выйти за пределы массива

28 28 Выделение памяти под запись var pB: ^TBook; begin New(pB); pB^.author := 'А.С. Пушкин'; pB^.title := 'Полтава'; pB^.year := 1990; pB^.pages := 129; Dispose(pB); end. var pB: ^TBook; begin New(pB); pB^.author := 'А.С. Пушкин'; pB^.title := 'Полтава'; pB^.year := 1990; pB^.pages := 129; Dispose(pB); end. Для обращения к полю записи по адресу используется знак ^ ! ! New(pB); выделить память под запись, записать адрес в pB pB^ Dispose(pB); освободить память pB: ^TBook; переменная- указатель на TBook

29 29 Сортировка массива записей Ключ (ключевое поле) – это поле записи (или комбинация полей), по которому выполняется сортировка. const N = 100; var aBooks: array[1..N] of TBook; i, j, N: integer; temp: TBook; { для обмена } begin { заполнить массив aBooks } { отсортировать = переставить } for i:=1 to N do writeln(aBooks[i].title, aBooks[i].year:5); end. const N = 100; var aBooks: array[1..N] of TBook; i, j, N: integer; temp: TBook; { для обмена } begin { заполнить массив aBooks } { отсортировать = переставить } for i:=1 to N do writeln(aBooks[i].title, aBooks[i].year:5); end.

30 30 Сортировка массива записей for i:=1 to N-1 do for j:=N-1 downto i do if aBooks[j].year > aBooks[j+1].year then begin temp := aBooks[j]; aBooks[j] := aBooks[j+1]; aBooks[j+1] := temp; end; for i:=1 to N-1 do for j:=N-1 downto i do if aBooks[j].year > aBooks[j+1].year then begin temp := aBooks[j]; aBooks[j] := aBooks[j+1]; aBooks[j+1] := temp; end; Какой ключ сортировки? ? ? Какой метод сортировки? ? ? Что плохо? ? ?

31 31 Сортировка массива записей Проблема: как избежать копирования записи при сортировке? Решение: использовать вспомогательный массив указателей, при сортировке переставлять указатели p[1]p[2]p[3]p[4]p[5] p[1]p[3]p[2]p[4] До сортировки: После сортировки: Вывод результата: for i:=1 to N do writeln(p[i]^.title, p[i]^.year:5); for i:=1 to N do writeln(p[i]^.title, p[i]^.year:5); p[i]^ 51324

32 32 Реализация в программе type PBook = ^TBook; { новый тип данных } var p: array[1..N] of PBook; begin { заполнение массива записей} for i:=1 to N do p[i] for i:=1 to N do writeln(p[i]^.title, p[i]^.year:5); end. type PBook = ^TBook; { новый тип данных } var p: array[1..N] of PBook; begin { заполнение массива записей} for i:=1 to N do p[i] for i:=1 to N do writeln(p[i]^.title, p[i]^.year:5); end. for i:=1 to N-1 do for j:=N-1 downto i do if p[j]^.year > p[j+1]^.year then begin temp := p[j]; p[j] := p[j+1]; p[j+1] := temp; end; вспомогательные указатели меняем только указатели, записи остаются на местах начальная расстановка

33 Тема 4. Списки © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

34 34 Динамические структуры данных Строение: набор узлов, объединенных с помощью ссылок. Как устроен узел: данные ссылки на другие узлы Типы структур: спискидеревьяграфы nil односвязный двунаправленный (двусвязный) циклические списки (кольца) nil

35 35 Когда нужны списки? Задача (алфавитно-частотный словарь). В файле записан текст. Нужно записать в другой файл в столбик все слова, встречающиеся в тексте, в алфавитном порядке, и количество повторений для каждого слова. Проблемы: 1)количество слов заранее неизвестно (статический массив); 2)количество слов определяется только в конце работы (динамический массив). Решение – список. Алгоритм: 1)создать список; 2)если слова в файле закончились, то стоп. 3)прочитать слово и искать его в списке; 4)если слово найдено – увеличить счетчик повторений, иначе добавить слово в список; 5)перейти к шагу 2.

36 36 Что такое список: 1)пустая структура – это список; 2)список – это начальный узел (голова) и связанный с ним список. Списки: новые типы данных type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record { структура узла } word: string[40]; { слово } count: integer; { счетчик повторений } next: PNode; { ссылка на следующий } end; type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record { структура узла } word: string[40]; { слово } count: integer; { счетчик повторений } next: PNode; { ссылка на следующий } end; Новые типы данных: Адрес начала списка: var Head: PNode;... Head := nil; var Head: PNode;... Head := nil; Рекурсивное определение! ! ! nil Для доступа к списку достаточно знать адрес его головы! ! !

37 37 Что нужно уметь делать со списком? 1. Создать новый узел. 2. Добавить узел: а) в начало списка; б) в конец списка; в) после заданного узла; г) до заданного узла. 3. Искать нужный узел в списке. 4. Удалить узел.

38 38 Создание узла function CreateNode(NewWord: string): PNode; var NewNode: PNode; begin New(NewNode); NewNode^.word := NewWord; NewNode^.count := 1; NewNode^.next := nil; Result := NewNode; end; function CreateNode(NewWord: string): PNode; var NewNode: PNode; begin New(NewNode); NewNode^.word := NewWord; NewNode^.count := 1; NewNode^.next := nil; Result := NewNode; end; Функция CreateNode (создать узел): вход: новое слово, прочитанное из файла; выход: адрес нового узла, созданного в памяти. возвращает адрес созданного узла новое слово Если память выделить не удалось? ? ?

39 39 Добавление узла в начало списка NewNode Head nil 1) Установить ссылку нового узла на голову списка: NewNode^.next := Head; NewNode Head nil 2) Установить новый узел как голову списка: Head := NewNode; procedure AddFirst ( var Head: PNode; NewNode: PNode ); begin NewNode^.next := Head; Head := NewNode; end; procedure AddFirst ( var Head: PNode; NewNode: PNode ); begin NewNode^.next := Head; Head := NewNode; end; var адрес головы меняется

40 40 Добавление узла после заданного 1) Установить ссылку нового узла на узел, следующий за p : NewNode^.next = p^.next; 2) Установить ссылку узла p на новый узел: p^.next = NewNode; NewNode p p nil NewNode p p nil procedure AddAfter ( p, NewNode: PNode ); begin NewNode^.next := p^.next; p^.next := NewNode; end; procedure AddAfter ( p, NewNode: PNode ); begin NewNode^.next := p^.next; p^.next := NewNode; end;

41 41 Задача: сделать что-нибудь хорошее с каждым элементом списка. Алгоритм: 1)установить вспомогательный указатель q на голову списка; 2)если указатель q равен nil (дошли до конца списка), то стоп; 3)выполнить действие над узлом с адресом q ; 4)перейти к следующему узлу, q^.next. Проход по списку var q: PNode;... q := Head; // начали с головы while q <> nil do begin // пока не дошли до конца... // делаем что-то хорошее с q q := q^.next; // переходим к следующему end; var q: PNode;... q := Head; // начали с головы while q <> nil do begin // пока не дошли до конца... // делаем что-то хорошее с q q := q^.next; // переходим к следующему end; Head nil q q

42 42 Добавление узла в конец списка Задача: добавить новый узел в конец списка. Алгоритм: 1)найти последний узел q, такой что q^.next равен nil ; 2)добавить узел после узла с адресом q (процедура AddAfter ). Особый случай: добавление в пустой список. procedure AddLast ( var Head: PNode; NewNode: PNode ); var q: PNode; begin if Head = nil then AddFirst ( Head, NewNode ) else begin q := Head; while q^.next <> nil do q := q^.next; AddAfter ( q, NewNode ); end; procedure AddLast ( var Head: PNode; NewNode: PNode ); var q: PNode; begin if Head = nil then AddFirst ( Head, NewNode ) else begin q := Head; while q^.next <> nil do q := q^.next; AddAfter ( q, NewNode ); end; особый случай – добавление в пустой список ищем последний узел добавить узел после узла q

43 43 Проблема: нужно знать адрес предыдущего узла, а идти назад нельзя! Решение: найти предыдущий узел q (проход с начала списка). Добавление узла перед заданным NewNode p p nil procedure AddBefore(var Head: PNode; p, NewNode: PNode); var q: PNode; begin q := Head; if p = Head then AddFirst ( Head, NewNode ) else begin while (q <> nil) and (q^.next <> p) do q := q^.next; if q <> nil then AddAfter ( q, NewNode ); end; procedure AddBefore(var Head: PNode; p, NewNode: PNode); var q: PNode; begin q := Head; if p = Head then AddFirst ( Head, NewNode ) else begin while (q <> nil) and (q^.next <> p) do q := q^.next; if q <> nil then AddAfter ( q, NewNode ); end; в начало списка ищем узел, следующий за которым – узел p добавить узел после узла q Что плохо? ? ?

44 44 Добавление узла перед заданным (II) Задача: вставить узел перед заданным без поиска предыдущего. Алгоритм: 1)поменять местами данные нового узла и узла p ; 2)установить ссылку узла p на NewNode. procedure AddBefore2 ( p, NewNode: PNode ); var temp: Node; begin temp := p^; p^ := NewNode^; NewNode^ := temp; p^.next := NewNode; end; procedure AddBefore2 ( p, NewNode: PNode ); var temp: Node; begin temp := p^; p^ := NewNode^; NewNode^ := temp; p^.next := NewNode; end; NewNode p p nil Так нельзя, если p = nil или адреса узлов где-то еще запоминаются! ! ! NewNode p p nil

45 45 Поиск слова в списке Задача: найти в списке заданное слово или определить, что его нет. Функция Find : вход: слово (символьная строка); выход: адрес узла, содержащего это слово или nil. Алгоритм: проход по списку. function Find(Head: PNode; NewWord: string): PNode; var q: PNode; begin q := Head; while (q <> nil) and (NewWord <> q^.word) do q := q^.next; Result := q; end; function Find(Head: PNode; NewWord: string): PNode; var q: PNode; begin q := Head; while (q <> nil) and (NewWord <> q^.word) do q := q^.next; Result := q; end; ищем это слово результат – адрес узла или nil (нет такого) while (q <> nil) and (NewWord <> q^.word) do q := q^.next; пока не дошли до конца списка и слово не равно заданному

46 46 Куда вставить новое слово? Задача: найти узел, перед которым нужно вставить, заданное слово, так чтобы в списке сохранился алфавитный порядок слов. Функция FindPlace : вход: слово (символьная строка); выход: адрес узла, перед которым нужно вставить это слово или nil, если слово нужно вставить в конец списка. function FindPlace(Head: PNode; NewWord: string): PNode; var q: PNode; begin q := Head; while (q <> nil) and (NewWord > q^.word) do q := q^.next; Result := q; end; function FindPlace(Head: PNode; NewWord: string): PNode; var q: PNode; begin q := Head; while (q <> nil) and (NewWord > q^.word) do q := q^.next; Result := q; end; > слово NewWord стоит по алфавиту перед q^.word

47 47 Удаление узла procedure DeleteNode ( var Head: PNode; p: PNode ); var q: PNode; begin if Head = p then Head := p^.next else begin q := Head; while (q <> nil) and (q^.next <> p) do q := q^.next; if q <> nil then q^.next := p^.next; end; Dispose(p); end; procedure DeleteNode ( var Head: PNode; p: PNode ); var q: PNode; begin if Head = p then Head := p^.next else begin q := Head; while (q <> nil) and (q^.next <> p) do q := q^.next; if q <> nil then q^.next := p^.next; end; Dispose(p); end; while (q <> nil) and (q^.next <> p) do q := q^.next; if Head = p then Head := p^.next q q Head p p nil Проблема: нужно знать адрес предыдущего узла q. особый случай: удаляем первый узел ищем узел, такой что q^.next = p Dispose(p); освобождение памяти

48 48 Алфавитно-частотный словарь Алгоритм: 1)открыть файл на чтение; 2)прочитать очередное слово (как?) 3)если файл закончился, то перейти к шагу 7; 4)если слово найдено, увеличить счетчик (поле count ); 5)если слова нет в списке, то создать новый узел, заполнить поля ( CreateNode ); найти узел, перед которым нужно вставить слово ( FindPlace ); добавить узел ( AddBefore ); 6)перейти к шагу 2; 7)закрыть файл 8)вывести список слов, используя проход по списку. var F: Text;... Assign(F, 'input.dat'); Reset ( F ); var F: Text;... Assign(F, 'input.dat'); Reset ( F ); Close ( F );

49 49 Как прочитать одно слово из файла? function GetWord ( F: Text ) : string; var c: char; begin Result := ''; { пустая строка } c := ' '; { пробел – чтобы войти в цикл } { пропускаем спецсимволы и пробелы } while not eof(f) and (c <= ' ') do read(F, c); { читаем слово } while not eof(f) and (c > ' ') do begin Result := Result + c; read(F, c); end; function GetWord ( F: Text ) : string; var c: char; begin Result := ''; { пустая строка } c := ' '; { пробел – чтобы войти в цикл } { пропускаем спецсимволы и пробелы } while not eof(f) and (c <= ' ') do read(F, c); { читаем слово } while not eof(f) and (c > ' ') do begin Result := Result + c; read(F, c); end; Алгоритм: 1)пропускаем все спецсимволы и пробелы (с кодами <= 32) 2)читаем все символы до первого пробела или спецсимвола М ожно поменять местами строчки в цикле? ? ?

50 50 Полная программа type PNode = ^Node; Node = record... end; { новые типы данных } var Head: PNode; { адрес головы списка } NewNode, q: PNode; { вспомогательные указатели } w: string; { слово из файла } F: text; { файловая переменная } count: integer; { счетчик разных слов } { процедуры и функции } begin Head := nil; Assign ( F, 'input.txt' ); Reset ( F ); { читаем слова из файла, строим список } Close ( F ); { выводим список в другой файл } end. type PNode = ^Node; Node = record... end; { новые типы данных } var Head: PNode; { адрес головы списка } NewNode, q: PNode; { вспомогательные указатели } w: string; { слово из файла } F: text; { файловая переменная } count: integer; { счетчик разных слов } { процедуры и функции } begin Head := nil; Assign ( F, 'input.txt' ); Reset ( F ); { читаем слова из файла, строим список } Close ( F ); { выводим список в другой файл } end.

51 51 Полная программа (II) { читаем слова из файла, строим список } while True do begin { бесконечный цикл } w := GetWord ( F ); { читаем слово } if w = '' then break; { слова закончились, выход } q := Find ( Head, w ); { ищем слово в списке } if q <> nil then { нашли, увеличить счетчик } q^.count := q^.count + 1 else begin { не нашли, добавить в список } NewNode := CreateNode ( w ); q := FindPlace ( Head, w ); AddBefore ( Head, q, NewNode ); end; { читаем слова из файла, строим список } while True do begin { бесконечный цикл } w := GetWord ( F ); { читаем слово } if w = '' then break; { слова закончились, выход } q := Find ( Head, w ); { ищем слово в списке } if q <> nil then { нашли, увеличить счетчик } q^.count := q^.count + 1 else begin { не нашли, добавить в список } NewNode := CreateNode ( w ); q := FindPlace ( Head, w ); AddBefore ( Head, q, NewNode ); end;

52 52 Полная программа (III) { выводим список в другой файл } q := Head; { проход с начала списка } count := 0; { обнулили счетчик слов } Assign(F, 'output.txt'); Rewrite(F); while q <> nil do begin { пока не конец списка } count := count + 1; { еще одно слово } writeln ( F, q^.word, ': ', q^.count ); q := q^.next; { перейти к следующему } end; writeln ( F, 'Найдено ', count, ' разных слов.' ); Close(F); { выводим список в другой файл } q := Head; { проход с начала списка } count := 0; { обнулили счетчик слов } Assign(F, 'output.txt'); Rewrite(F); while q <> nil do begin { пока не конец списка } count := count + 1; { еще одно слово } writeln ( F, q^.word, ': ', q^.count ); q := q^.next; { перейти к следующему } end; writeln ( F, 'Найдено ', count, ' разных слов.' ); Close(F);

53 type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record { структура узла } word: string[40]; { слово } count: integer; { счетчик повторений } next: PNode; { ссылка на следующий } prev: PNode; { ссылка на предыдущий } end; type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record { структура узла } word: string[40]; { слово } count: integer; { счетчик повторений } next: PNode; { ссылка на следующий } prev: PNode; { ссылка на предыдущий } end; 53 Двусвязные списки Структура узла: Адреса «головы» и «хвоста»: var Head, Tail: PNode;... Head := nil; Tail := nil; var Head, Tail: PNode;... Head := nil; Tail := nil; nextprev previous можно двигаться в обе стороны нужно работать с двумя указателями вместо одного nil Head Tail

54 54 Задания «4»: «Собрать» из этих функций программу для построения алфавитно-частотного словаря. В конце файла вывести общее количество разных слов (количество элементов списка). «5»: То же самое, но использовать двусвязные списки. «6»: То же самое, что и на «5», но вывести список слов в порядке убывания частоты, то есть, сначала те слова, которые встречаются чаще всего.

55 Тема 5. Стеки, очереди, деки © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

56 56 Стек Стек – это линейная структура данных, в которой добавление и удаление элементов возможно только с одного конца (вершины стека). Stack = кипа, куча, стопка (англ.) LIFO = Last In – First Out «Кто последним вошел, тот первым вышел». Операции со стеком: 1)добавить элемент на вершину (Push = втолкнуть); 2)снять элемент с вершины (Pop = вылететь со звуком).

57 57 Пример задачи Задача: вводится символьная строка, в которой записано выражение со скобками трех типов: [], {} и (). Определить, верно ли расставлены скобки (не обращая внимания на остальные символы). Примеры: [()]{} ][ [({)]} Упрощенная задача: то же самое, но с одним видом скобок. Решение: счетчик вложенности скобок. Последовательность правильная, если в конце счетчик равен нулю и при проходе не разу не становился отрицательным. Можно ли решить исходную задачу так же, но с тремя счетчиками? ? ? [ ( { ) ] } (: [: {: [ ( { ) ] }[ ( { ) ] } [ ( { ) ] }[ ( { ) ] } ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ) ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) (

58 58 Решение задачи со скобками Алгоритм: 1)в начале стек пуст; 2)в цикле просматриваем все символы строки по порядку; 3)если очередной символ – открывающая скобка, заносим ее на вершину стека; 4)если символ – закрывающая скобка, проверяем вершину стека: там должна быть соответствующая открывающая скобка (если это не так, то ошибка); 5)если в конце стек не пуст, выражение неправильное. [ ( ( ) ) ] { } [[ ( [ ( ( [ ( ( [ ( [{{

59 59 Реализация стека (массив) Структура-стек: const MAXSIZE = 100; type Stack = record { стек на 100 символов } data: array[1..MAXSIZE] of char; size: integer; { число элементов } end; const MAXSIZE = 100; type Stack = record { стек на 100 символов } data: array[1..MAXSIZE] of char; size: integer; { число элементов } end; Добавление элемента: procedure Push( var S: Stack; x: char); begin if S.size = MAXSIZE then Exit; S.size := S.size + 1; S.data[S.size] := x; end; procedure Push( var S: Stack; x: char); begin if S.size = MAXSIZE then Exit; S.size := S.size + 1; S.data[S.size] := x; end; ошибка: переполнение стека добавить элемент Что плохо? ? ?

60 60 Реализация стека (массив) function Pop ( var S:Stack ): char; begin if S.size = 0 then begin Result := char(255); Exit; end; Result := S.data[S.size]; S.size := S.size - 1; end; function Pop ( var S:Stack ): char; begin if S.size = 0 then begin Result := char(255); Exit; end; Result := S.data[S.size]; S.size := S.size - 1; end; Снятие элемента с вершины: Пустой или нет? function isEmpty ( S: Stack ): Boolean; begin Result := (S.size = 0); end; function isEmpty ( S: Stack ): Boolean; begin Result := (S.size = 0); end; ошибка: стек пуст

61 61 Программа var br1, br2, expr: string; i, k: integer; upper: char; { то, что сняли со стека } error: Boolean; { признак ошибки } S: Stack; begin br1 := '([{'; br2 := ')]}'; S.size := 0; error := False; writeln('Введите выражение со скобками'); readln(expr);... { здесь будет основной цикл обработки } if not error and isEmpty(S) then writeln('Выражение правильное.') else writeln('Выражение неправильное.') end. var br1, br2, expr: string; i, k: integer; upper: char; { то, что сняли со стека } error: Boolean; { признак ошибки } S: Stack; begin br1 := '([{'; br2 := ')]}'; S.size := 0; error := False; writeln('Введите выражение со скобками'); readln(expr);... { здесь будет основной цикл обработки } if not error and isEmpty(S) then writeln('Выражение правильное.') else writeln('Выражение неправильное.') end. открывающие скобки закрывающие скобки

62 62 Обработка строки (основной цикл) for i:=1 to length(expr) do begin for k:=1 to 3 do begin if expr[i] = br1[k] then begin { откр. скобка } Push(S, expr[i]); { втолкнуть в стек} break; end; if expr[i] = br2[k] then begin { закр. скобка } upper := Pop(S); { снять символ со стека } error := upper <> br1[k]; break; end; if error then break; end; for i:=1 to length(expr) do begin for k:=1 to 3 do begin if expr[i] = br1[k] then begin { откр. скобка } Push(S, expr[i]); { втолкнуть в стек} break; end; if expr[i] = br2[k] then begin { закр. скобка } upper := Pop(S); { снять символ со стека } error := upper <> br1[k]; break; end; if error then break; end; цикл по всем символам строки expr цикл по всем видам скобок ошибка: стек пуст или не та скобка была ошибка: дальше нет смысла проверять

63 63 Реализация стека (список) Добавление элемента: Структура узла: type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record data: char; { данные } next: PNode; { указатель на след. элемент } end; type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record data: char; { данные } next: PNode; { указатель на след. элемент } end; procedure Push( var Head: PNode; x: char); var NewNode: PNode; begin New(NewNode); { выделить память } NewNode^.data := x; { записать символ } NewNode^.next := Head; { сделать первым узлом } Head := NewNode; end; procedure Push( var Head: PNode; x: char); var NewNode: PNode; begin New(NewNode); { выделить память } NewNode^.data := x; { записать символ } NewNode^.next := Head; { сделать первым узлом } Head := NewNode; end;

64 64 Реализация стека (список) Снятие элемента с вершины: function Pop ( var Head: PNode ): char; var q: PNode; begin if Head = nil then begin { стек пуст } Result := char(255); { неиспользуемый символ } Exit; end; Result := Head^.data; { взять верхний символ } q := Head; { запомнить вершину } Head := Head^.next; { удалить вершину из стека } Dispose(q); { удалить из памяти } end; function Pop ( var Head: PNode ): char; var q: PNode; begin if Head = nil then begin { стек пуст } Result := char(255); { неиспользуемый символ } Exit; end; Result := Head^.data; { взять верхний символ } q := Head; { запомнить вершину } Head := Head^.next; { удалить вершину из стека } Dispose(q); { удалить из памяти } end; Можно ли переставлять операторы? ? ? q := Head; Head := Head^.next; Dispose(q); q := Head; Head := Head^.next; Dispose(q);

65 65 Реализация стека (список) Изменения в основной программе: var S: Stack;... S.size := 0; var S: Stack;... S.size := 0; var S: PNode; S := nil; Больше ничего не меняется! ! ! Пустой или нет? function isEmpty ( S: Stack ): Boolean; begin Result := (S = nil); end; function isEmpty ( S: Stack ): Boolean; begin Result := (S = nil); end;

66 66 Вычисление арифметических выражений a b + c d / Как вычислять автоматически: Инфиксная запись (знак операции между операндами) (a + b) / ( c + d – 1) необходимы скобки! Постфиксная запись (знак операции после операндов) польская нотация, Jan ŁukasiewiczJan Łukasiewicz (1920) польская нотация, Jan ŁukasiewiczJan Łukasiewicz (1920) скобки не нужны, можно однозначно вычислить! Префиксная запись (знак операции до операндов) / + a b - + c d 1 обратная польская нотация, F. L. BauerF. L. Bauer and E. W. DijkstraE. W. Dijkstra обратная польская нотация, F. L. BauerF. L. Bauer and E. W. DijkstraE. W. Dijkstra a + b c + d c + d - 1

67 67 Запишите в постфиксной форме (32*6-5)*(2*3+4)/(3+7*2) (2*4+3*5)*(2*3+18/3*2)*(12-3) (4-2*3)*(3-12/3/4)*(24-3*12)

68 68 Вычисление выражений Постфиксная форма: a b + c d / Алгоритм: 1)взять очередной элемент; 2)если это не знак операции, добавить его в стек; 3)если это знак операции, то взять из стека два операнда; выполнить операцию и записать результат в стек; 4)перейти к шагу 1. a b aa+b c d c c+d a+b 1 c+d a+b c+d-1 a+bX X =

69 69 Системный стек (Windows – 1 Мб) Используется для 1)размещения локальных переменных; 2)хранения адресов возврата (по которым переходит программа после выполнения функции или процедуры); 3)передачи параметров в функции и процедуры; 4)временного хранения данных (в программах на языке Ассмеблер). Переполнение стека (stack overflow): 1)слишком много локальных переменных (выход – использовать динамические массивы); 2)очень много рекурсивных вызовов функций и процедур (выход – переделать алгоритм так, чтобы уменьшить глубину рекурсии или отказаться от нее вообще).

70 70 Очередь Очередь – это линейная структура данных, в которой добавление элементов возможно только с одного конца (конца очереди), а удаление элементов – только с другого конца (начала очереди). FIFO = First In – First Out «Кто первым вошел, тот первым вышел». Операции с очередью: 1)добавить элемент в конец очереди (PushTail = втолкнуть в конец); 2)удалить элемент с начала очереди (Pop).

71 71 Реализация очереди (массив) самый простой способ 1)нужно заранее выделить массив; 2)при выборке из очереди нужно сдвигать все элементы.

72 72 Реализация очереди (кольцевой массив) 1 2 Head Tail Сколько элементов можно хранить в такой очереди? ? ? Как различить состояния «очередь пуста» и «очередь полна»? ? ? 345

73 73 Реализация очереди (кольцевой массив) 1 Head Tail В очереди 1 элемент: Очередь пуста: Очередь полна: Head = Tail + 1 Head = ( Tail mod N) N размер массива 123 Head = Tail + 2 Head = ( Tail+1) mod N N 123 Head = Tail

74 74 Реализация очереди (кольцевой массив) type Queue = record data: array[1..MAXSIZE] of integer; head, tail: integer; end; type Queue = record data: array[1..MAXSIZE] of integer; head, tail: integer; end; Структура данных: Добавление в очередь: procedure PushTail( var Q: Queue; x: integer); begin if Q.head = (Q.tail+1) mod MAXSIZE + 1 then Exit; { очередь полна, не добавить } Q.tail := Q.tail mod MAXSIZE + 1; Q.data[Q.tail] := x; end; procedure PushTail( var Q: Queue; x: integer); begin if Q.head = (Q.tail+1) mod MAXSIZE + 1 then Exit; { очередь полна, не добавить } Q.tail := Q.tail mod MAXSIZE + 1; Q.data[Q.tail] := x; end; замкнуть в кольцо mod MAXSIZE

75 75 Реализация очереди (кольцевой массив) Выборка из очереди: function Pop ( var S: Queue ): integer; begin if Q.head = Q.tail mod MAXSIZE + 1 then begin Result := MaxInt; Exit; end; Result := Q.data[Q.head]; Q.head := Q.head mod MAXSIZE + 1; end; function Pop ( var S: Queue ): integer; begin if Q.head = Q.tail mod MAXSIZE + 1 then begin Result := MaxInt; Exit; end; Result := Q.data[Q.head]; Q.head := Q.head mod MAXSIZE + 1; end; очередь пуста взять первый элемент удалить его из очереди максимальное целое число

76 76 Реализация очереди (списки) type PNode = ^Node; Node = record data: integer; next: PNode; end; type PNode = ^Node; Node = record data: integer; next: PNode; end; type Queue = record head, tail: PNode; end; type Queue = record head, tail: PNode; end; Структура узла: Тип данных «очередь»:

77 77 Реализация очереди (списки) procedure PushTail( var Q: Queue; x: integer ); var NewNode: PNode; begin New(NewNode); NewNode^.data := x; NewNode^.next := nil; if Q.tail <> nil then Q.tail^.next := NewNode; Q.tail := NewNode; { новый узел – в конец} if Q.head = nil then Q.head := Q.tail; end; procedure PushTail( var Q: Queue; x: integer ); var NewNode: PNode; begin New(NewNode); NewNode^.data := x; NewNode^.next := nil; if Q.tail <> nil then Q.tail^.next := NewNode; Q.tail := NewNode; { новый узел – в конец} if Q.head = nil then Q.head := Q.tail; end; Добавление элемента: создаем новый узел если в списке уже что-то было, добавляем в конец если в списке ничего не было, …

78 78 Реализация очереди (списки) function Pop ( var S: Queue ): integer; var top: PNode; begin if Q.head = nil then begin Result := MaxInt; Exit; end; top := Q.head; Result := top^.data; Q.head := top^.next; if Q.head = nil then Q.tail := nil; Dispose(top); end; function Pop ( var S: Queue ): integer; var top: PNode; begin if Q.head = nil then begin Result := MaxInt; Exit; end; top := Q.head; Result := top^.data; Q.head := top^.next; if Q.head = nil then Q.tail := nil; Dispose(top); end; Выборка элемента: если список пуст, … запомнили первый элемент если в списке ничего не осталось, … освободить память

79 79 Дек Дек (deque = double ended queue, очередь с двумя концами) – это линейная структура данных, в которой добавление и удаление элементов возможно с обоих концов Операции с деком: 1)добавление элемента в начало (Push); 2)удаление элемента с начала (Pop); 3)добавление элемента в конец (PushTail); 4)удаление элемента с конца (PopTail). Реализация: 1)кольцевой массив; 2)двусвязный список.

80 80 Задания «4»: В файле input.dat находится список чисел (или слов). Переписать его в файл output.dat в обратном порядке. «5»: Составить программу, которая вычисляет значение арифметического выражения, записанного в постфиксной форме, с помощью стека. Выражение правильное, допускаются только однозначные числа и знаки +, -, *, /. «6»: То же самое, что и на «5», но допускаются многозначные числа.

81 Тема 6. Деревья © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

82 82 Деревья директор гл. инженер гл. бухгалтер инженер бухгалтер Что общего во всех примерах? ? ?

83 83 Деревья Дерево – это структура данных, состоящая из узлов и соединяющих их направленных ребер (дуг), причем в каждый узел (кроме корневого) ведет ровно одна дуга. Корень – это начальный узел дерева. Лист – это узел, из которого не выходит ни одной дуги. корень Какие структуры – не деревья?

84 84 Деревья Предок узла x – это узел, из которого существует путь по стрелкам в узел x. Потомок узла x – это узел, в который существует путь по стрелкам из узла x. Родитель узла x – это узел, из которого существует дуга непосредственно в узел x. С помощью деревьев изображаются отношения подчиненности (иерархия, «старший – младший», «родитель – ребенок»). ! ! Сын узла x – это узел, в который существует дуга непосредственно из узла x. Брат узла x (sibling) – это узел, у которого тот же родитель, что и у узла x. Высота дерева – это наибольшее расстояние от корня до листа (количество дуг).

85 85 Дерево – рекурсивная структура данных Рекурсивное определение: 1. Пустая структура – это дерево. 2. Дерево – это корень и несколько связанных с ним деревьев Двоичное (бинарное) дерево – это дерево, в котором каждый узел имеет не более двух сыновей. 1. Пустая структура – это двоичное дерево. 2. Двоичное дерево – это корень и два связанных с ним двоичных дерева (левое и правое поддеревья).

86 86 Двоичные деревья Структура узла: type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record data: integer; { полезные данные } left, right: PNode; { ссылки на левого и правого сыновей } end; type PNode = ^Node; { указатель на узел } Node = record data: integer; { полезные данные } left, right: PNode; { ссылки на левого и правого сыновей } end; Применение: 1)поиск данных в специально построенных деревьях (базы данных); 2)сортировка данных; 3)вычисление арифметических выражений; 4)кодирование (метод Хаффмана).

87 87 Двоичные деревья поиска Какая закономерность? ? ? Слева от каждого узла находятся узлы с меньшими ключами, а справа – с бóльшими. Ключ – это характеристика узла, по которой выполняется поиск (чаще всего – одно из полей структуры). Как искать ключ, равный x : 1)если дерево пустое, ключ не найден; 2)если ключ узла равен x, то стоп. 3)если ключ узла меньше x, то искать x в левом поддереве; 4)если ключ узла больше x, то искать x в правом поддереве. Сведение задачи к такой же задаче меньшей размерности – это …? ? ?

88 88 Двоичные деревья поиска Поиск в массиве (N элементов): При каждом сравнении отбрасывается 1 элемент. Число сравнений – N. Поиск по дереву ( N элементов): При каждом сравнении отбрасывается половина оставшихся элементов. Число сравнений ~ log 2 N. быстрый поиск 1)нужно заранее построить дерево; 2)желательно, чтобы дерево было минимальной высоты.

89 89 Реализация алгоритма поиска { Функция Search – поиск по дереву Вход: Tree - адрес корня, x - что ищем Выход: адрес узла или nil (не нашли) } function Search(Tree: PNode; x: integer): PNode; begin if Tree = nil then begin Result := nil; Exit; end; if x = Tree^.data then Result := Tree else if x < Tree^.data then Result := Search(Tree^.left, x) else Result := Search(Tree^.right, x); end; { Функция Search – поиск по дереву Вход: Tree - адрес корня, x - что ищем Выход: адрес узла или nil (не нашли) } function Search(Tree: PNode; x: integer): PNode; begin if Tree = nil then begin Result := nil; Exit; end; if x = Tree^.data then Result := Tree else if x < Tree^.data then Result := Search(Tree^.left, x) else Result := Search(Tree^.right, x); end; дерево пустое: ключ не нашли… нашли, возвращаем адрес корня искать в левом поддереве искать в правом поддереве

90 90 Как построить дерево поиска? { Процедура AddToTree – добавить элемент Вход: Tree - адрес корня, x - что добавляем } procedure AddToTree( var Tree: PNode; x: integer ); begin if Tree = nil then begin New(Tree); Tree^.data := x; Tree^.left := nil; Tree^.right := nil; Exit; end; if x < Tree^.data then AddToTree(Tree^.left, x) else AddToTree(Tree^.right, x); end; { Процедура AddToTree – добавить элемент Вход: Tree - адрес корня, x - что добавляем } procedure AddToTree( var Tree: PNode; x: integer ); begin if Tree = nil then begin New(Tree); Tree^.data := x; Tree^.left := nil; Tree^.right := nil; Exit; end; if x < Tree^.data then AddToTree(Tree^.left, x) else AddToTree(Tree^.right, x); end; дерево пустое: создаем новый узел (корень) адрес корня может измениться добавляем к левому или правому поддереву Минимальная высота не гарантируется! ! !

91 91 Обход дерева Обход дерева – это перечисление всех узлов в определенном порядке. Обход ЛКП («левый – корень – правый»): Обход ПКЛ («правый – корень – левый»): Обход КЛП («корень – левый – правый»): Обход ЛПК («левый – правый – корень»):

92 92 Обход дерева – реализация { Процедура LKP – обход дерева в порядке ЛКП (левый – корень – правый) Вход: Tree - адрес корня } procedure LKP(Tree: PNode); begin if Tree = nil then Exit; LKP(Tree^.left); write(' ', Tree^.data); LKP(Tree^.right); end; { Процедура LKP – обход дерева в порядке ЛКП (левый – корень – правый) Вход: Tree - адрес корня } procedure LKP(Tree: PNode); begin if Tree = nil then Exit; LKP(Tree^.left); write(' ', Tree^.data); LKP(Tree^.right); end; обход этой ветки закончен обход левого поддерева вывод данных корня обход правого поддерева Для рекурсивной структуры удобно применять рекурсивную обработку! ! !

93 93 Разбор арифметических выражений a a b b / / c c d d a b + c d / Как вычислять автоматически: Инфиксная запись, обход ЛКП (знак операции между операндами) (a + b) / ( c + d – 1) необходимы скобки! Постфиксная запись, ЛПК (знак операции после операндов) a + b / c + d – 1 польская нотация, Jan ŁukasiewiczJan Łukasiewicz (1920) польская нотация, Jan ŁukasiewiczJan Łukasiewicz (1920) скобки не нужны, можно однозначно вычислить! Префиксная запись, КЛП (знак операции до операндов) / + a b - + c d 1 обратная польская нотация, F. L. BauerF. L. Bauer and E. W. DijkstraE. W. Dijkstra обратная польская нотация, F. L. BauerF. L. Bauer and E. W. DijkstraE. W. Dijkstra

94 94 Вычисление выражений Постфиксная форма: a b + c d / Алгоритм: 1)взять очередной элемент; 2)если это не знак операции, добавить его в стек; 3)если это знак операции, то взять из стека два операнда; выполнить операцию и записать результат в стек; 4)перейти к шагу 1. a b aa+b c d c c+d a+b 1 c+d a+b c+d-1 a+bX X =

95 95 Вычисление выражений Задача: в символьной строке записано правильное арифметическое выражение, которое может содержать только однозначные числа и знаки операций +-*\. Вычислить это выражение. Алгоритм: 1)ввести строку; 2)построить дерево; 3)вычислить выражение по дереву. Ограничения: 1)ошибки не обрабатываем; 2)многозначные числа не разрешены; 3)дробные числа не разрешены; 4)скобки не разрешены.

96 96 Построение дерева Алгоритм: 1)если first=last (остался один символ – число), то создать новый узел и записать в него этот элемент; иначе... 2)среди элементов от first до last включительно найти последнюю операцию (элемент с номером k ); 3)создать новый узел (корень) и записать в него знак операции; 4)рекурсивно применить этот алгоритм два раза: построить левое поддерево, разобрав выражение из элементов массива с номерами от first до k-1 ; построить правое поддерево, разобрав выражение из элементов массива с номерами от k+1 до last. 5+7*6-3*2 first last k k k+1 k-1

97 97 Как найти последнюю операцию? Порядок выполнения операций умножение и деление; сложение и вычитание. 5+7*6-3*2 Нужно искать последнюю операцию с наименьшим приоритетом! ! ! Приоритет (старшинство) – число, определяющее последовательность выполнения операций: раньше выполняются операции с большим приоритетом: умножение и деление (приоритет 2); сложение и вычитание (приоритет 1).

98 98 Приоритет операции { Функция Priority – приоритет операции Вход: символ операции Выход: приоритет или 100, если не операция } function Priority ( c: char ): integer; begin case ( c ) of '+', '-': Result := 1; '*', '/': Result := 2; else Result := 100; end; { Функция Priority – приоритет операции Вход: символ операции Выход: приоритет или 100, если не операция } function Priority ( c: char ): integer; begin case ( c ) of '+', '-': Result := 1; '*', '/': Result := 2; else Result := 100; end; сложение и вычитание: приоритет 1 умножение и деление: приоритет 2 это вообще не операция

99 99 Номер последней операции { Функция LastOperation – номер последней операции Вход: строка, номера первого и последнего символов рассматриваемой части Выход: номер символа - последней операции } function LastOperation ( Expr: string; first, last: integer): integer; var MinPrt, i, k, prt: integer; begin MinPrt := 100; for i:=first to last do begin prt := Priority ( Expr[i] ); if prt <= MinPrt then begin MinPrt := prt; k := i; end; Result := k; end; { Функция LastOperation – номер последней операции Вход: строка, номера первого и последнего символов рассматриваемой части Выход: номер символа - последней операции } function LastOperation ( Expr: string; first, last: integer): integer; var MinPrt, i, k, prt: integer; begin MinPrt := 100; for i:=first to last do begin prt := Priority ( Expr[i] ); if prt <= MinPrt then begin MinPrt := prt; k := i; end; Result := k; end; проверяем все символы вернуть номер символа нашли операцию с минимальным приоритетом

100 100 Построение дерева Структура узла type PNode = ^Node; Node = record data: char; left, right: PNode; end; type PNode = ^Node; Node = record data: char; left, right: PNode; end; Создание узла для числа (без потомков) function NumberNode(c: char): PNode; begin New(Result); Result^.data := c; Result^.left := nil; Result^.right := nil; end; function NumberNode(c: char): PNode; begin New(Result); Result^.data := c; Result^.left := nil; Result^.right := nil; end; возвращает адрес созданного узла один символ, число

101 101 Построение дерева { Функция MakeTree – построение дерева Вход: строка, номера первого и последнего символов рассматриваемой части Выход: адрес построенного дерева } function MakeTree ( Expr: string; first, last: integer): PNode; var k: integer; begin if first = last then begin Result := NumberNode ( Expr[first] ); Exit; end; k := LastOperation ( Expr, first, last ); New(Result); Result^.data := Expr[k]; Result^.left := MakeTree ( Expr, first, k-1 ); Result^.right := MakeTree ( Expr, k+1, last ); end; { Функция MakeTree – построение дерева Вход: строка, номера первого и последнего символов рассматриваемой части Выход: адрес построенного дерева } function MakeTree ( Expr: string; first, last: integer): PNode; var k: integer; begin if first = last then begin Result := NumberNode ( Expr[first] ); Exit; end; k := LastOperation ( Expr, first, last ); New(Result); Result^.data := Expr[k]; Result^.left := MakeTree ( Expr, first, k-1 ); Result^.right := MakeTree ( Expr, k+1, last ); end; осталось только число новый узел: операция

102 102 Вычисление выражения по дереву { Функция CalcTree – вычисление по дереву Вход: адрес дерева Выход: значение выражения } function CalcTree(Tree: PNode): integer; var num1, num2: integer; begin if Tree^.left = nil then begin Result := Ord(Tree^.data) - Ord('0'); Exit; end; num1 := CalcTree(Tree^.left); num2 := CalcTree(Tree^.right); case Tree^.data of '+': Result := num1+num2; '-': Result := num1-num2; '*': Result := num1*num2; '/': Result := num1 div num2; else Result := MaxInt; end; { Функция CalcTree – вычисление по дереву Вход: адрес дерева Выход: значение выражения } function CalcTree(Tree: PNode): integer; var num1, num2: integer; begin if Tree^.left = nil then begin Result := Ord(Tree^.data) - Ord('0'); Exit; end; num1 := CalcTree(Tree^.left); num2 := CalcTree(Tree^.right); case Tree^.data of '+': Result := num1+num2; '-': Result := num1-num2; '*': Result := num1*num2; '/': Result := num1 div num2; else Result := MaxInt; end; вернуть число, если это лист вычисляем операнды (поддеревья) выполняем операцию некорректная операция

103 103 Основная программа { Ввод и вычисление выражения с помощью дерева } program qq; var Tree: PNode; Expr: string; { процедуры и функции } begin write('Введите выражение > '); readln( Expr ); Tree := MakeTree( Expr, 1, Length(Expr) ); writeln(' = ', CalcTree(Tree) ); end. { Ввод и вычисление выражения с помощью дерева } program qq; var Tree: PNode; Expr: string; { процедуры и функции } begin write('Введите выражение > '); readln( Expr ); Tree := MakeTree( Expr, 1, Length(Expr) ); writeln(' = ', CalcTree(Tree) ); end.

104 104 Дерево игры Задача. Перед двумя игроками лежат две кучки камней, в первой из которых 3, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 1 камень в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 16. Кто выигрывает при безошибочной игре – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Как должен ходить выигрывающий игрок?

105 105 Дерево игры 3, 2 игрок 1 3, 6 27, 2 3, 18 3, 3 4, 2 12, 2 4, 6 5, 2 4, 3 9, 3 4, 3 36, 2 4, 18 15, 2 12, 2 4, 6 5, 3 4, 4 36, 2 12, 6 15, 3 12, 4 27, 3 игрок 2 При правильной игре выиграет игрок 2! ! ! игрок 1 игрок 2 9, 2 4, 3 ключевой ход игрок 1 выиграл игрок 1

106 106 Задания «4»: «Собрать» программу для вычисления правильного арифметического выражения, включающего только однозначные числа и знаки операций +, -, *, /. «5»: То же самое, но допускаются также многозначные числа и скобки. «6»: То же самое, что и на «5», но с обработкой ошибок (должно выводиться сообщение).

107 Тема 7. Графы © К.Ю. Поляков, Динамические структуры данных (язык Паскаль)

108 108 Определения Граф – это набор вершин (узлов) и соединяющих их ребер (дуг). Направленный граф (ориентированный, орграф) – это граф, в котором все дуги имеют направления. Цепь – это последовательность ребер, соединяющих две вершины (в орграфе – путь). Цикл – это цепь из какой-то вершины в нее саму. Взвешенный граф (сеть) – это граф, в котором каждому ребру приписывается вес (длина) Дерево – это граф? ? ? Да, без циклов!

109 109 Определения Связный граф – это граф, в котором существует цепь между каждой парой вершин. k -cвязный граф – это граф, который можно разбить на k связных частей. Полный граф – это граф, в котором проведены все возможные ребра ( n вершин n(n-1)/2 ребер)

110 110 Описание графа Матрица смежности – это матрица, элемент M[i][j] которой равен 1, если существует ребро из вершины i в вершину j, и равен 0, если такого ребра нет Симметрия! ! ! Список смежности

111 111 Матрица и список смежности

112 112 Построения графа по матрице смежности

113 113 Как обнаружить цепи и циклы? Задача: определить, существует ли цепь длины k из вершины i в вершину j (или цикл длиной k из вершины i в нее саму ). M 2 [i][j]=1, если M[i][1]=1 и M[1][j]=1 или M[i][2]=1 и M[2][j]=1 или M[i][3]=1 и M[3][j]=1 строка i логическое умножение столбец j логическое сложение M = или M[i][4]=1 и M[4][j]=1

114 114 Как обнаружить цепи и циклы? M 2 = M M Логическое умножение матрицы на себя: матрица путей длины M2 =M2 = = M 2 [3][1] = 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 1 маршрут маршрут 3-4-1

115 115 Как обнаружить цепи и циклы? M 3 = M 2 M Матрица путей длины 3: M3 =M3 = = на главной диагонали – циклы! M4 =M4 = =

116 116 Весовая матрица Весовая матрица – это матрица, элемент W[i,j] которой равен весу ребра из вершины i в вершину j (если оно есть), или равен, если такого ребра нет

117 117 Задача Прима-Краскала Задача: соединить N городов телефонной сетью так, чтобы длина телефонных линий была минимальная. Та же задача: дан связный граф с N вершинами, веса ребер заданы весовой матрицей W. Нужно найти набор ребер, соединяющий все вершины графа (остовное дерево) и имеющий наименьший вес

118 118 Жадный алгоритм Жадный алгоритм – это многошаговый алгоритм, в котором на каждом шаге принимается решение, лучшее в данный момент. В целом может получиться не оптимальное решение (последовательность шагов)! ! ! Шаг в задаче Прима-Краскала – это выбор еще невыбранного ребра и добавление его к решению В задаче Прима-Краскала жадный алгоритм дает оптимальное решение! ! !

119 119 Реализация алгоритма Прима-Краскала Проблема: как проверить, что 1) ребро не выбрано, и 2) ребро не образует цикла с выбранными ребрами. Решение: присвоить каждой вершине свой цвет и перекрашивать вершины при добавлении ребра Алгоритм: 1)покрасить все вершины в разные цвета; 2)сделать N-1 раз в цикле: выбрать ребро (i,j) минимальной длины из всех ребер, соединяющих вершины разного цвета; перекрасить все вершины, имеющие цвет j, в цвет i. 3)вывести найденные ребра. 44

120 120 Реализация алгоритма Прима-Краскала Структура «ребро»: type rebro = record i, j: integer; { номера вершин } end; type rebro = record i, j: integer; { номера вершин } end; const N = 5; var W: array[1..N,1..N] of integer; Color: array[1..N] of integer; i, j, k, min, col_i, col_j: integer; Reb: array[1..N-1] of rebro; begin... { здесь надо ввести матрицу W } for i:=1 to N do { раскрасить в разные цвета } Color[i] := i;... { основной алгоритм – заполнение массива Reb }... { вывести найденные ребра (массив Reb)} end. const N = 5; var W: array[1..N,1..N] of integer; Color: array[1..N] of integer; i, j, k, min, col_i, col_j: integer; Reb: array[1..N-1] of rebro; begin... { здесь надо ввести матрицу W } for i:=1 to N do { раскрасить в разные цвета } Color[i] := i;... { основной алгоритм – заполнение массива Reb }... { вывести найденные ребра (массив Reb)} end. Основная программа: весовая матрица цвета вершин

121 121 Реализация алгоритма Прима-Краскала for k:=1 to N-1 do begin min := MaxInt; for i:=1 to N do for j:=i+1 to N do if (Color[i] <> Color[j]) and (W[i,j] < min) then begin min := W[i,j]; Reb[k].i := i; Reb[k].j := j; col_i := Color[i]; col_j := Color[j]; end; for i:=1 to N do if Color[i] = col_j then Color[i] := col_i; end; for k:=1 to N-1 do begin min := MaxInt; for i:=1 to N do for j:=i+1 to N do if (Color[i] <> Color[j]) and (W[i,j] < min) then begin min := W[i,j]; Reb[k].i := i; Reb[k].j := j; col_i := Color[i]; col_j := Color[j]; end; for i:=1 to N do if Color[i] = col_j then Color[i] := col_i; end; Основной алгоритм: нужно выбрать всего N-1 ребер цикл по всем парам вершин учитываем только пары с разным цветом вершин запоминаем ребро и цвета вершин перекрашиваем вершины цвета col_j

122 122 Сложность алгоритма Основной цикл: O(N 3 ) for k:=1 to N-1 do begin... for i:=1 to N do for j:=i+1 to N do... end; for k:=1 to N-1 do begin... for i:=1 to N do for j:=i+1 to N do... end; три вложенных цикла, в каждом число шагов <=N растет не быстрее, чем N 3 Требуемая память: var W: array[1..N,1..N] of integer; Color: array[1..N] of integer; Reb: array[1..N-1] of rebro; var W: array[1..N,1..N] of integer; Color: array[1..N] of integer; Reb: array[1..N-1] of rebro; O(N 2 ) Количество операций:

123 123 Кратчайшие пути (алгоритм Дейкстры) Задача: задана сеть дорог между городами, часть которых могут иметь одностороннее движение. Найти кратчайшие расстояния от заданного города до всех остальных городов. Та же задача: дан связный граф с N вершинами, веса ребер заданы матрицей W. Найти кратчайшие расстояния от заданной вершины до всех остальных. 1)присвоить всем вершинам метку ; 2)среди нерассмотренных вершин найти вершину j с наименьшей меткой; 3)для каждой необработанной вершины i : если путь к вершине i через вершину j меньше существующей метки, заменить метку на новое расстояние; 4)если остались необработанны вершины, перейти к шагу 2; 5)метка = минимальное расстояние Алгоритм Дейкстры (E.W. Dijkstra, 1959)

124 124 Алгоритм Дейкстры

125 125 Реализация алгоритма Дейкстры Массивы: 1)массив a, такой что a[i]=1, если вершина уже рассмотрена, и a[i]=0, если нет. 2)массив b, такой что b[i] – длина текущего кратчайшего пути из заданной вершины x в вершину i ; 3)массив c, такой что c[i] – номер вершины, из которой нужно идти в вершину i в текущем кратчайшем пути. Инициализация: 1)заполнить массив a нулями (вершины не обработаны); 2)записать в b[i] значение W[x][i] ; 3)заполнить массив c значением x ; 4)записать a[x]= a b c

126 126 Реализация алгоритма Дейкстры Основной цикл: 1)если все вершины рассмотрены, то стоп. 2)среди всех нерассмотренных вершин ( a[i]=0 ) найти вершину j, для которой b[i] – минимальное; 3)записать a[j]:=1 ; 4)для всех вершин k : если путь в вершину k через вершину j короче, чем найденный ранее кратчайший путь, запомнить его: записать b[k]:=b[j]+W[j,k] и c[k]=j a b c Шаг 1:

127 127 Реализация алгоритма Дейкстры a b c Шаг 2: a b c Шаг 3: Дальше массивы не изменяются ! ! !

128 128 Как вывести маршрут? a b c Результат работа алгоритма Дейкстры: длины путей Маршрут из вершины 0 в вершину 4: Сложность алгоритма Дейкстры: O(N 2 ) два вложенных цикла по N шагов Вывод маршрута в вершину i (использование массива c ): 1)установить z:=i ; 2)пока c[i]<>x присвоить z:=c[z] и вывести z.

129 129 Алгоритм Флойда-Уоршелла Задача: задана сеть дорог между городами, часть которых могут иметь одностороннее движение. Найти все кратчайшие расстояния, от каждого города до всех остальных городов. for k: =1 to N for i: = 1 to N for j: = 1 to N if W[i,j] > W[i,k] + W[k,j] then W[i,j] : = W[i,k] + W[k,j]; for k: =1 to N for i: = 1 to N for j: = 1 to N if W[i,j] > W[i,k] + W[k,j] then W[i,j] : = W[i,k] + W[k,j]; i i j j k k W[i,j] W[i,k]W[k,j] Если из вершины i в вершину j короче ехать через вершину k, мы едем через вершину k ! Нет информации о маршруте, только кратчайшие расстояния! ! !

130 130 Алгоритм Флойда-Уоршелла Версия с запоминанием маршрута: for i:= 1 to N for j := 1 to N c[i,j] := i;... for k: =1 to N for i: = 1 to N for j: = 1 to N if W[i,j] > W[i,k] + W[k,j] then begin W[i,j] : = W[i,k] + W[k,j]; c[i,j] := c[k,j]; end; for i:= 1 to N for j := 1 to N c[i,j] := i;... for k: =1 to N for i: = 1 to N for j: = 1 to N if W[i,j] > W[i,k] + W[k,j] then begin W[i,j] : = W[i,k] + W[k,j]; c[i,j] := c[k,j]; end; i –ая строка строится так же, как массив c в алгоритме Дейкстры в конце цикла c[i,j] – предпоследняя вершина в кратчайшем маршруте из вершины i в вершину j c[i,j] := c[k,j]; Какова сложность алгоритма? ? ? O(N 3 )

131 131 Задача коммивояжера Задача коммивояжера. Коммивояжер (бродячий торговец) должен выйти из первого города и, посетив по разу в неизвестном порядке города 2,3,...N, вернуться обратно в первый город. В каком порядке надо обходить города, чтобы замкнутый путь (тур) коммивояжера был кратчайшим? Это NP-полная задача, которая строго решается только перебором вариантов (пока) ! ! ! Точные методы: 1)простой перебор; 2)метод ветвей и границ; 3)метод Литтла; 4)… Приближенные методы: 1)метод случайных перестановок (Matlab); 2)генетические алгоритмы; 3)метод муравьиных колоний; 4)… большое время счета для больших N O(N!) не гарантируется оптимальное решение

132 132 Другие классические задачи Задача на минимум суммы. Имеется N населенных пунктов, в каждом из которых живет p i школьников ( i=1,...,N ). Надо разместить школу в одном из них так, чтобы общее расстояние, проходимое всеми учениками по дороге в школу, было минимальным. Задача о наибольшем потоке. Есть система труб, которые имеют соединения в N узлах. Один узел S является источником, еще один – стоком T. Известны пропускные способности каждой трубы. Надо найти наибольший поток от источника к стоку. Задача о наибольшем паросочетании. Есть M мужчин и N женщин. Каждый мужчина указывает несколько (от 0 до N ) женщин, на которых он согласен жениться. Каждая женщина указывает несколько мужчин (от 0 до M ), за которых она согласна выйти замуж. Требуется заключить наибольшее количество моногамных браков.

133 133 Конец фильма