Разработал Никаноров В.Б.1 Лекция 4. 2 Эквивалентное преобразование звезды и треугольника – три сопротивления, образующих три узла A,B,С – три сопротивления, - презентация

1 Разработал Никаноров В.Б.1 Лекция 4

2 2 Эквивалентное преобразование звезды и треугольника – три спортивления, образующих три узла A,B,С – три спортивления, образующих один узел O Y Треугольник Звезда Y A C IAIAIAIA IBIBIBIB ICIC AB BC CA B A B C IAIA IBIB ICIC rArA rBrB rCrC

3 Разработал Никаноров В.Б.3 Пример Определить R ах, если все спортивления равны 2 Ом.

4 Разработал Никаноров В.Б.4 Разработал к.т.н. Никаноров В.Б. ТЕМА Электрические цепи однофазного синусоидального тока

5 Разработал Никаноров В.Б.5 Преимущества 1. Источники переменного тока (электромеханические генераторы) могут быть выполнены очень большой мощности (100…1500 МВт) и являются основными источниками энергии в технике. 2. Экономичная передача переменного тока с минимальными потерями на большие расстояния. Передача ведется при высоком уровне напряжения (до 750 кВ) благодаря простому и экономичному преобразованию уровня напряжения трансформаторами. 3. ЭТУ проще и дешевле, чем ЭТУ постоянного тока. Наибольшее применение получил синусоидальный переменный ток.

6 Разработал Никаноров В.Б.6 Мгновенные значения i(t) = I m sin(ωt+ i ); u(t) = U m sin(ωt+ u ) Определяются 3 параметрами: амплитудой I m и U m – макс. значение; угловой частотой ω [1/c] – скорость изменения аргумента (фазы) ωt+ -[рад]; начальной фазой i и u [рад] – значение аргумента при t=0. Величины, характеризующие синусоидальные функции Кроме того используют величины: 1. Период -Т– время одного полного колебания [c] ωТ=2π 2. Частота – число периодов в 1 с [Гц]. Стандартная f=50 Гц. Используют высокие частоты - 200, 400, 1000 Гц и т.д. 3. Фазовый сдвиг между u и i.

7 Разработал Никаноров В.Б.7 4. Действующее значение переменного тока I(E,U) эквивалентно постоянному току, который за одинаковый интервал времени выделяет на спортивлении R такую же энергию, что и переменный ток. Приравнивая энергии на постоянном W_ = I 2 R T и переменном токе Получаем действующее значение среднеквадратичное. значение переменной величины Для синусоидального тока аналогично Действующий I(U) - основной эксплуатации. параметр ЭТУ (паспорт). Шкалы большинства измерительных приборов проградуированы на действующие значения.

8 Разработал Никаноров В.Б.8 в в в в в в инии ддт ее а а а а инн аапа лол инии тттт инии чччч ее сс кк инии хох в в в в ыыыы р-р-р аапа жж ее инн инии йййй (неудобно из-за громоздкости действий с тригонометрияескими функциями); в виде векторов на комплексной плоскости. Представлениесинусоидальной функции: В прямоугольной системе координат В прямоугольной системе координат +1- ось действииельных чисел; +j - ось мнимых чисел( - мнимая единица): из начала координат под углом u (начальная фаза) к оси действииельных чисел (+1) проводят вектор (например, напряжения), длина которого в масштабе равна амплитуде U m (или действ. знач. U). «+» u - откладывают против часовой стрелки, «-» по часовой стрелке. конец вектора находится в точке, которой соответствует комплексное число – комплексная амплитуда синусоидальной величины или комплексное действующее значение

9 Разработал Никаноров В.Б.9 Три формы записи комплексного числа Показательная форма Тригонометрич форма Алгебраическая форма Переход от показательной к тригонометрияеской форме по формуле Эйлера: e j =cos + jsin e j - оператор поворота (от оси +1) U mд =U m cos u –действииельная часть - координата точки по оси +1; U mм = U m sin u – мнимая часть - по +j. модуль вектора фаза вектора Совокупность векторов комплексных значений называется векторной диаграммой.

10 Разработал Никаноров В.Б.10 Алгебраич. и тригонометрия. формы - для сложения и вычитания к.ч. Показательная - при умножении и делении к. ч. φ = ψ u - ψ i = /2 = - /2 U совпадает с I U опережает I U отстает от I Умножение на j – поворот В против час стрелки на 90 Умножение на -j – поворот вектора по час стрелке на 90 Умножение на j – поворот В против час стрелки на 90 Умножение на -j – поворот вектора по час стрелке на 90 При = 0 Сопряженные к.ч. – отличаются знаком перед мнимой частью или знаком перед начальной фазой: С=а+jв и сопряженное ему С*=а-jв СС*=(а+jв)·(а-jв)=а 2 +гав-гав-(j 2 )в 2 = а 2 + в 2 – действии. Используют для освобождения от к.ч. в знаменателе выражения.

11 Разработал Никаноров В.Б.11 Пример: Дан ток i = 8sin(ωt + 20˚). Записать комплексную амплитуду и комплекс тока. Решение. 1. I m = 8 A, i = 20˚ 2. I = I m /2 = 8/ 2 A – действующее значение тока 3. Тогда Пример: дан комплекс напряжения Найти: мгновенныеное значение u(t). Решение:

12 Разработал Никаноров В.Б.12 Задача Дано: комплексное действующее значение тока Найти: мгновенныеное значение тока Решение 1. Действующее значение тока 2. Амплитуда тока 2. Амплитуда тока 3. Начальная фаза тока (+180, т.к. вектор находится в III квадранте) 4. Искомое мгновенныеное значение тока А

13 Разработал Никаноров В.Б.13 Задача Заданы: параметры синусоидального тока – амплитуда I m =56,6A, начальная фаза i =-30, угловая частота =314 рад/с. Определить: мгновенныеное значение тока, рассчитать его комплексное действующее значение в трех формах. Решение. 1. Мгновенное значение 2. Действующее значение 3. Комплексное действующее значение в 3 формах

14 Разработал Никаноров В.Б.14 Лекция 5

15 Разработал Никаноров В.Б Резистор i = I m sin(ωt + i ) u R = i R = R I m sin(ωt + i ) = U Rm sin(ωt + u ) u = i = u - i = 0 U Rm = R I m U R = R I - соотношения между мгновенныеными, амплитудными и действующими значениями подчиняется закону Ома Закон Ома в комплексной форме Закон Ома в комплексной форме Закон Ома в комплексной форме В комплексной форме I в R совпадает по фазе с U

16 Разработал Никаноров В.Б.16 Задача Дано: к резистору R=10 Ом приложено синусоидальное напряжение Найти: показания амперметра, измеряющего действующее значение, и записать мгновенныеное значение тока. Решение. 1. Действующее значение напряжения 2. Закон Ома выполняется для действующих и максимальных и мгновенныеных значений 3. Ток в резисторе совпадает по фазе с напряжением i = u Показания амперметра

17 Разработал Никаноров В.Б Индуктивность Из компонентного уравнения u = i +90˚ ˚ U Lm = X L I m U L = X L I - подчиняются закону Ома В компл. форме Закон Ома Сопротивление L пропорционально частоте X L =ω·L При ω=0 (постоянный ток) X L =0 i = I m sin(ωt + i) U на индуктивности опережает по фазе ток на 90 град. Индуктивность оказывает току спортивление, которое называется реактивным = u - i = 90˚ [X L ]=Ом

18 Разработал Никаноров В.Б.18 Задача Дано: К индуктивному элементу L=100 м Гн приложено синусоидальное напряжение Найти: Найти: мгновенныеное и действующее значение тока и ЭДС самоиндукции. Построить векторную диаграмму. Решение: 1. Действующее напряжение 2. Комплексное напряжение 3. Индуктивное спортивление 4. В комплексной форме 4. В комплексной форме jX L =j31,4 Ом 5. Ток в индуктивном элементе Мгновенное значение тока 7. Мгновенное значение ЭДС 8. В комплексной форме

19 Разработал Никаноров В.Б.19

20 Разработал Никаноров В.Б.20 Закон Ома 3. Емкостной элемент Ток i = I msin(ωt + i ) Из компонентного уравнения u = i -90˚ U см = X c I m ;U c = X c I - подчиняется закону Ома Обратно пропорционально частоте Емкость оказывает току спортивление, которое как и X L называется реактивным Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90˚Напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90˚ = u - i = - 90˚

21 Разработал Никаноров В.Б.21 Законы Кирхгофа в комплексной форме 1 закон Кирхгофа Сумма комплексов токов, направленных к узлу равна сумме комплексов токов направленных от узла. 2 закон Кирхгофа Для всякого замкнутого контура алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов падений напряжения Методы решения – как в ЭЦ постоянного тока

22 Разработал Никаноров В.Б.22 Символический (комплексный) метод расчета При классическом методе расчета (по мгновенныеным значениям) При символическом методе для перехода к алгебраическим уравнениям (как на пост. токе) заменяем мгновенные. значения их символами в комплексном виде: Имеем интегро-дифференциальное уравнение – сложно для решения. По закону Кирхгофа - позволяет найти комплекс I через комплекс E и R,L,C.

23 Разработал Никаноров В.Б.23 Комплексное спортивление и проводимость 1. Комплексное спортивление 1. Комплексное спортивление R - активное спортивление; X=X L - X C –реактивное спортивление Реактивные спортивления. X L и X C имеют разный знак!!! А)Модуль комплексного спортивления Б) Аргумент комплексного спортивления Характеризует сдвиг по фазе напряжения и тока X L >Xc ; >0 – индуктивный характер Х (I отстает от U) X L

24 Разработал Никаноров В.Б Комплексная проводимость - Вещественная часть При X0 g=1/R -Мнимая часть При R 0 b=1/X -Модуль фаза

25 Разработал Никаноров В.Б.25 Задача Дано: В сеть с f=100Гц включены R=12 Ом и C=99,50 мкФ. Определить: мгновенныеное напряжение сети, если I=5A, построить вект. диаграмму. Решение. 2. Комплексное спортивление ЭЦ 1. Сопротивление конденсатора 3. Напряжение сети 4. Модуль напряжения 5. Начальная фаза напряжения 6. Напряжение на R и C:U R =60B (совпадает с I); U C =80B (отстает на 90 град)

26 Разработал Никаноров В.Б.26 Задача Дано: катушка индуктивности с параметрами L и R=4,4 Ома подключена к синусоидальному напряжения с f= 50Гц с U=220 В(показания V) и I=25 А (показания А). Определить:L,угол между Uи I, построить векторную диаграмму. Решение Полное спортивление катушки z=U/I=220/25=8,8 Ом; 2. Индуктивное спортивление 3. Индуктивность 4. Угол между U и I 5. Напряжения на L и R U L =X L I=7,62 25=190,5B; U R =RI=4,4 25=110B

27 Разработал Никаноров В.Б.27 Задача Дано: в ЭЦ синусоидального тока с U=220В последовательно включены R=8 Ом, X L =4 Ом,X C =10 Ом. Определить: Определить:I, U R,U L,U C,φ, построить вект. Диаграмму Решение. 1. Комплексное спортивление ЭЦ 2. Ток 3. Фазовый угол 4.Напряжения

28 Разработал Никаноров В.Б.28Задача Дано: R 1 =10 Ом; R 2 =8 Ом; Х с =6 Ом;U=127 B. Найти: токи и построить векторную диаграмму. Решение. 1. Комплекс напряжения Приняли u =0 2. Комплексное спортивление ветвей 3. Токи в ветвях 4. Модули токов

29 Разработал Никаноров В.Б.29 Лекция 6

30 Разработал Никаноров В.Б.30 Мощность цепи синусоидального тока +j+j+j+j +1 Векторная диаграмма: o Строят I по оси+1; oU R совпадает с I; oU L на 90 град; oU c на -90 град; oU замыкает многоугольник.

31 Разработал Никаноров В.Б.31 Мгновенная мощность - необратимые преобразование в др. виды энергии (тепло) Только в R!!!! 2. Реактивные элементы (L и C) Среднее значение равно нулю! Необратим. преобраз. нет Имеют разный знак Энергия магн. поля Энергия эл. поля [ВАр] активная мощность - средняя за период Р [ Вт] 3. Полная мощность. Максимально возможная мощн. ЭТУ (паспорт) Стремятся к макс. сosφ !! 1. Резистор 4. Коэффициент мощности

32 Разработал Никаноров В.Б Мощность в комплексном виде На комплексной плоскости получаем Баланс мощности В любой t алгебраическая сумма мгновенныеных р ис равна алгебраической сумме р пр всех приемников энергии. Алгебраическая сумма активных мощностей всех р ис арифметической сумме мощностей всех резисторов. Алгебраическая сумма реактивных мощностей всех источников равна алгебраической сумме мощностей всех индуктивных и емкостных элементов. +1 +j+j+j+jP Q=Q L -Q c S Треугольник мощностей cos =P/S - сопряженный комплекс тока

33 Разработал Никаноров В.Б.33 Пример Дано: напряжение и ток на аходе пассивного двухполюсника: Ù = 8+j6 и ĺ = 2 - j Найти: P, Q, z ах и схему замещения. Решение: 1. = (8+j6)(2+j)=10+j20 R ах = 2 Ом X ах = X L = 4 Ом 4. Схема замещения пассивного двухполюсника – последовательно соединенные резистор и индуктивность. P=10Вт, Q=20 ВАр 2 3

34 Разработал Никаноров В.Б.34 Резонанс в ЭЦ синусоидального тока Резонанс - режим работы участка ЭЦ, содержащей L и С, при котором угол сдвига фаз φ между U и I равен нулю (cos = 1). Различают: Резонанс напряжений Резонанс напряжений Резонанс токов. Резонанс токов. - возникает на участке ЭЦ с последов. соедин. R,L,C. 1. Резонанс напряжений Резонанс определяется тем, что X L и X C зависят от частоты и имеют разный знак.

35 Разработал Никаноров В.Б.35 Из условия резонанса = 0 при этом z ах = R минимально! Условие выполняется при изменения ω, L или С - резонансная частота (не зависит от R). Условие резонанса напряженийX L =X C Условие резонанса напряжений - X L =X C При резонансе Ù ах = Ù R +Ù L +Ù C = Ù R + jĺ(X L -X C ) = Ù R Если X L >>R то U L = IX L >>U R =U ах При резонансе напряжение на реактивных элементах может существенно превышать напряжение на аходе Усиление напряжения – важнейшее свойство резонанса напряжений. Коэффициент усиления напряжения – добротность контура тем выше, чем больше L и меньше C и R Ток I р =U/Z ах и мощность Р р =I p 2 R при резонансе максим. – характерный признак резонанса напряжений ω р L =1/ω р C

36 Разработал Никаноров В.Б.36 Резонансные кривые - I(ω), U L (ω), U C (ω) – амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) 1. Ток при ω=ω p 2. Напряжение на L U L (0)=0 U L ( )=U ах Максимум U L при ω<ω p 3 Напряжение на C U С (0)=U ах U c ( )=0 Максимум U c при ω>ω p При ω0 1/ωС I =0 При ω ωL I =0 4. Фаза - (ω) - фазочастотная характеристика (ФЧХ) ω = 0 tg (0)=- =- /2 ω = tg ( )= = /2

37 Разработал Никаноров В.Б j+j ÙLÙL ÙcÙc Ù ĺ Векторная диаграмма при резонансе напряжений При меняется характер Z ах от активно-емкостного (Х<0) при < p до активного (Z ах =R, X=0 - минимум) при = p и далее до активно- индуктивного (Х>0) при > p Происходит периодический обмен энергией между L и C. – колебательный процесс 6. Мощность при ω = ω p P = U ах I; - максимальна Q ах = 0, но Q L = Qc =U ах 2 Xc/R 2 0 !!! Входное спортивление Z ах

38 Разработал Никаноров В.Б.38 Задача Дано: U = 60 B, R= 100 Ом, L = 1 Гн, C= 10 мкФ Определить: ω p, f p, при резонансе I max, U R, U L, U c, P,Q. Решение. 1. Резонансная частота 1/с Гц 2. Индуктивное и емкостное спортивление при резонансе 3. Модуль полного спортивления 4. Ток максимальный при резонансе 5. Напряжение при резонансе на R,L,C 6.Мощн. Вт ВАр Q=0

39 Разработал Никаноров В.Б.39 Задача Дано: в предыдущ. примере уменьшили частоту в 3 раза. Определить: ток, напряжения и мощность. Решение. 1 Гц 1/с !!! !!! 5 6 7

40 Разработал Никаноров В.Б.40 2 Резонанс токов Суммарная проводимость Из условия резонанса = 0 b L =b c Условие резонанса !!! Резонансная частота При R 1 и R 2 <

41 Разработал Никаноров В.Б.41 При резонансе: Входная проводимость Y=g L + g c - минимальна Входное спортивление Z = 1/Y – максимально Ток ĺ = ÙY минимален характерный признак резонанса токов. Токи в реактивных элементах: I L = Ub L и Iс = Ubс при больших b L и b с существенно превышают ток на аходе и противоположно направлены Частотные характеристики Ток в L Ток в C Общий ток Активная мощность Реактивная мощность

42 Разработал Никаноров В.Б.42 Пример Дано: Напряжение на аходе контура U=100В, частота 50 Гц, R 1 =1 Ом, R 2 =0,5 Ом, X L =6 Ом. Найти: С при резонансе и токи. Решение: при резонансе b L =b c 1. Проводимость катушки: См 3. Емкостное спортивление - из уравнения X c1 =6,13 Ом X c2 =0,04 Ом – выбираем X c1, соответствующее меньшему конденсатору. 4. Токи 5. Конденсатор мкФ 2. Проводимость конденсатора

43 Разработал Никаноров В.Б.43 Лекция 7

44 Разработал Никаноров В.Б.44 Задача Дано: R=60Ом, Х=80 Ом,Q c =2500ВАр Определить: 1).Мгновенное и действующее значение U, 2) Z, φ, X L, X c, L, C, U 1, U 2, 3) Построить векторную диаграмму. Решение 1. Реактивная мощность конденсатора Q c = I 2· X c X c =Q c /I 2 При токе I=5 А X c =2500/5 2 =100Ом 2. Индуктивное спортивление X=X L – X c X L =X+X c = = 180 Ом 3. Угол нагрузки tgφ = X/R = 80/60 =1,333 φ = 53,1˚ 4. Индуктивность L = X L /ω = 180/314 = 0,574 Гн Т.к. ω = 314 1/с из тока.

45 Разработал Никаноров В.Б Емкость конденсатора X c = 1/(ω·C) C=1/ (ω·X c ) = 1/(314·100) == 3,18·10 -5 Ф = 31,8 мкФ. 6. Модуль полного спортивления 7. Напряжения на элементах U 1 = I·X c = 5·100 = 500 B U = I·z = 5·100 = 500 B U R = I·R = 5·60 = 300 B U L = I·X L = 5· 180 = 900 B U2 = (U R 2 +U L 2 ) = ( ) = 950B 8. Векторную диаграмму строим на комплексной плоскости Ом

46 Разработал Никаноров В.Б j I 15˚ URUR ULUL UcUc U2U2 U

47 Разработал Никаноров В.Б.47 Задача Определить для предыдущей задачи: 1. Комплексы полного спортивления, тока и напряжений. 2. Рассчитать параметры элемента, который нужно включить, чтобы в ЭЦ наступил резонанс напряжений. 3. Построить векторную диаграмму. Решение. 1. Комплекс тока 2. Комплекс напряжения на конденсаторе 3. Комплекс полного спортивления 4. Комплекс напряжения на аходе

48 Разработал Никаноров В.Б Комплекс напряжения на катушке 6. При резонансе X L =Xc Т.к. X L =180 Ом, а X c =100 Ом, то последовательно надо включить конденсатор X c =X L -X c = =80 Ом

49 Разработал Никаноров В.Б.49 Задача Дано: в узле соединены 3 ветви с токами. Амплитуда токов I2 и I3 одинаковы Im=22 А, частота f= 50 Гц. Два тока заданы на диаграмме. Найти: Запишите мгновенныеные значения токов i 1,i 2 и i 3, определите ток i 1 по диаграмме. Запишите токи в комплексной форме. Решение

50 Разработал Никаноров В.Б где 4. 1/с А А А

51 Разработал Никаноров В.Б.51 Пример Дано: при изменении С в последовательной цепи получили максимальный ток. При этом показания А = 10А, V = 100В, Vс =250В. Частота 50 Гц Найти: параметры C,R,L и V k ? Решение 1. При макс токе в цепи резонанс напряжений. При этом U L =U c =250B; U R = U = 100B 2. Напряжение на катушке: 3. Емкостное спортивление: Ом 4.Емкость: мкФ 5. Активное спортивление: т.к. X L =X c, то R=Z=U/I=100/10=10Ом 6. Индуктивность: L=X L /ω = 25/(2 50) =7, Гн = 7,96 м Гн

52 Разработал Никаноров В.Б.52 Пример Дано: последовательно соединенные R,L и C подключены к напряжению переменного тока U=10В. R=3Ом, X L =9Ом, Xc=5Ом. Найти: I, P, Q, S, Q L, Qc. Решение: 1. Ом 2. I = U/z = 10/5=2 A 3.P=I 2 R = = 12 Вт 4. Q L =I 2 X L = =36 Вар 5. Qc = I 2 Xc = = 20 Вар 6. Q = Q L – Qc = = 16 Вар 7. S = UI = 102 = 20 ВА

53 Разработал Никаноров В.Б.53 Пример Дано Решение

54 Разработал Никаноров В.Б.54 При последовательно соединенных R, L, C построение начинают с вектора I. Далее откладывают в масштабе вектор U R, совпадающий по направлению с вектором I. К концу вектора U R пристраивают вектор U L (вверх). К концу вектора U L в противоположном направлении пристраивают вектор U c. Из начала координат к концу вектора U c проводят вектор U напряжения источника. P = U R I=UIcosφ Q = (U L -U C )I = UIsinφ +j+j+j+j Векторная диаграмма +1

55 Разработал Никаноров В.Б.55 Задача Задано: комплексное напряжение частота f=50 Гц. Найти: мгновенныеное значение напряжения u. Решение. 1. Действующее значение 2. Амплитуда 3. Начальная фаза (вектор во II квадранте) 4. Угловая частота рад/с 5. Мгновенное значение

56 Разработал Никаноров В.Б.56 (98)

57 Разработал Никаноров В.Б.57 (100)

58 Разработал Никаноров В.Б.58 (115)