Подготовили: ученицы 8 Бкласса Пашвинская Т., Костромина Е., Харьковская Е. Руководитель: Мариничева Ирина Михайловна. умя другими? - презентация

1 Подготовили: ученицы 8 Бкласса Пашвинская Т., Костромина Е., Харьковская Е. Руководитель: Мариничева Ирина Михайловна. ума другими?

2 Наше фото Пашвинская Т. Костромина К. Харьковская Л. Фотограф Теоретик Дизайнер

3 Виды четырехугольников. Трапеция Ромб Прямоугольник Квадрат параллелограмм

4 Четырехугольники. Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными. Четырехугольники бывают выпуклые и не выпуклые. Каждая диагональ выпуклого четырехугольника разделяет его на два треугольника. Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180 0, то сумма углов выпуклого четырехугольника равна А2А2 А 3 А 1 А 4 А) А 4 А 1 А 3 А 2

5 Четырехугольник Параллелограммом- называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы прямые. Квадрат - прямоугольник, у которого все стороны равны. Трапецией- называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. Параллелограмм - четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

6 Кроссворд. По горизонтали: 1.Многоугольники, имеющие равные площади. 9. Длина катета равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 8 кв. ед. 6. Четырёхугольник, площадь которого равна произведению его основания на высоту. 7. Многоугольник, площадь которого равна половине произведения его основания на высоту. 3. Четырёхугольник, площадь которого равна квадрату его стороны. По вертикали: 2. Четырёхугольник, площадь которого равна произведению его смежных сторон. 4. Длина стороны квадрата, площадь которого равна 64 кв. ед. 5. Чему равен периметр прямоугольника, если его площадь равна 8 кв. ед., а одна сторона в 2 раза больше другой? 8. Площадь прямоугольника, острый угол которого равен 300, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 4 и 5.

7 Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом. Площадь параллелограмма равна произведению двух смежных сторон и синуса угла между ними. S=a*bsincl b cl a

8 Ромб. О а в с d Теорема 40. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он - ромб. Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, прямоугольные и равны по двум катетам (диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам). Поэтому равны и их гипотенузы, т.е. все стороны параллелограмма равны между собой. Теорема 41. Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то он - ромб. Для доказательства достаточно увидеть, что все четыре треугольника, на которые ромб разбивается диагоналями, равны по стороне и двум углам (противоположные углы ромба равны, значит и их половины равны). Для треугольников АВО и СВО - ВО - общая, углы АВО и СВО равны и ВАО и ВСО равны (как половины противоположных углов). Поэтому равны и их соответственные стороны, т.е. все стороны параллелограмма равны между собой.

9 Свойство ромба. Теорема (свойства ромба). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Доказательство. Пусть ABCD – данный ромб. Диагонали ромба пересекаются в точке O. По свойству параллелограмма AO = OC, значит BO – медиана Δ ABC. А так как треугольник ABC - равнобедренный, то по свойствам медианы равнобедренного треугольника проведенной к основанию, BO является также высотой и биссектрисой. Значит прямая BO AC и ABO = CBO. Теорема доказана.

10 Площадь ромба Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту. Кроме того площадь ромба может быть вычислена по формуле: где угол между двума смежными сторонами ромба.

11 Докажите, что точки A(-2;-3), B(2;1) и C(7;6) лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двума другими? Решение. Формула уравнения прямой, проходящих через две точки (x 1 ;y 1 ) и (x 2 ;y 2 ) имеет вид ( y - y 1 ) / ( y 2 - y 1 ) = (x - x 1 ) / (x 2 -x 1 ) Выведем уравнение прямой AB. Применим координаты точек A(- 2;-3), B(2;1). Получим: ( y - (-3) ) / ( 1 - (-3) ) = ( x - (-2) ) / ( 2 - (-2)) ( y + 3 ) / 4 = ( x + 2 ) / 4 y + 3 = x + 2 y = x - 1 Таким образом, полученному уравнению соответствуют все точки, лежащие на данной прямой. Подставив в уравнение, значение х точки С, получим: y = = 6 То есть прямая проходит через точку C(7;6) Вывод: Все точки A, B, C лежат на одной прямой Задачи

12 Свойства трапеции. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Пусть ABCD – данная трапеция.EF – средняя линия трапеции. Проведем через вершину B и точку F прямую. Пусть эта прямая пересекает прямую AD в некоторой точке G. Δ CFB = Δ FDG по второму признаку равенства треугольников (CF = FD, по построению, BCF = ПВА, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и DG и секущей CD, CFB = DFG, как вертикальные). Значит BC = DG и BF = FG. Поэтому, средняя линия трапеции EF является средней линией треугольника ABG. По свойству средней линии треугольника EF || AD, а

13 Свойства прямоугольника Теорема (свойство прямоугольника). Диагонали прямоугольника равны. Доказательство. Пусть ABCD – данный прямоугольник. Δ DAB = Δ CAB по первому признаку ( DAB = CBA, AD=BC, как противолежащие стороны параллелограмма, AB – общая), поэтому DB=AC. Теорема доказана. а d в с

14 Где в жизни встречаются четырехугольники?