Алгоритмы на графах Топологическая сортировка отсечением вершин Югов Иван Олегович МОУ Гимназия 10, г. Тверь. - презентация

1 Алгоритмы на графах Топологическая сортировка отсечением вершин Югов Иван Олегович МОУ Гимназия 10, г. Тверь

2 Нахождение компонент связности В первой строке файла input.txt заданы целые n и m соответственно число вершин и число рёбер неориентированного графа (1 n , 0 m ). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами. В файл output.txt вывести единственное число количество компонент связности графа. Ограничение по времени 1 сек. Ограничение по памяти 16 Мб.

3 Домашнее задание Сколько различных путей есть в дереве с n вершинами? Какое максимальное количество циклов (длиной 3 и более) может быть в неориентированном графе с n вершинами? Какое максимальное количество циклов (длиной 3 и более) может быть в неориентированном графе с n вершинами и k компонентами связности? Написать программу, определяющую количество компонент связности, с использованием матрицы смежности Написать программу, определяющую максимальный размер компоненты связности, с использованием списка смежности.

4 Топологическая сортировка Дан ориентированный ациклический граф Топологической сортировкой называется присвоение номеров вершинам: любая дуга направлена из вершины с меньшим номером в вершину с большим номером

5 Топологическая сортировка Почему это возможно? Всегда найдётся вершина, в которую не входит ни одно ребро. ? Такой вершине можно присвоить минимальное значение, после чего убрать её из графа.

6 Топологическая сортировка Как быстро определить вершины, в которые не входит ни одно ребро? Будем хранить входящую степень каждой вершины: массив deg_in длины n, deg_in[i] число соседей i -й вершины. Pascal... a[u, v] := True; Inc(deg_in[v]);... C... a[u, v] = TRUE; deg_in[v]++;...

7 Топологическая сортировка массив order длины n, order[i] присвоенный i -й вершине порядковый номер при топологической сортировке; currorder текущий присваиваемый номер. Pascal for i := 1 to n do order[i] := 0; currorder := 0; TopSort; TopSort: for i := 1 to n do for j := 1 to n do if (deg_in[j] = 0) and (order[j] = 0) then begin Inc(currorder); order[j] := currorder; for do Dec(deg_in[u]); end; C for(i = 0; i < n; i++) order[i] = 0; currorder = 0; TopSort; TopSort: for(i = 0; i < n; i++) for(j = 0; j < n; j++) if((!deg_in[j]) && (!order[j])) { order[j] = ++currorder; for( ) deg_in[u]--; };

8 Топологическая сортировка В первой строке файла input.txt заданы целые n и m соответственно число вершин и число рёбер ориентированного графа (1 n , 0 m ). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбрами. В файл output.txt вывести номера, которые приобретут вершины после топологической сортировки. i -е число означает номер, приобретённый i -й вершиной. Ограничение по времени 3 сек. Ограничение по памяти 16 Мб.

9 Топологическая сортировка В первой строке файла input.txt заданы целые n и m соответственно число вершин и число рёбер ориентированного графа (1 n , 0 m ). В следующих m строках файла заданы пары номеров вершин, соединённых рёбра ми. В файл output.txt вывести упорядоченные топологический номера вершин. Ограничение по времени 3 сек. Ограничение по памяти 16 Мб.

10 Домашнее задание Предприятие «Авто-2010» выпускает двигатели известных во всём мире автомобилей. Двигатель состоит ровно из n деталей, пронумерованных от 1 до n, при этом деталь с номером i изготавливается за p i секунд. Специфика предприятия «Авто- 2010» заключается в том, что там одновременно может изготавливаться лишь одна деталь двигателя. Для производства некоторых деталей необходимо иметь предварительно изготовленный набор других деталей. Генеральный директор «Авто-2010» поставил перед предприятием амбициозную задачу за наименьшее время изготовить деталь с номером 1, чтобы представить её на выставке. Требуется написать программу, которая по заданным зависимостям порядка производства между деталями найдёт наименьшее время, за которое можно произвести деталь с номером 1.

11 Домашнее задание Первая строка входного файла details.in содержит число n (1 n ) количество деталей двигателя. Вторая строка содержит n натуральных чисел p 1, p 2, …, p n, определяющих время изготовления каждой детали в секундах. Время для изготовления каждой детали не превосходит 10 9 секунд. Каждая из последующих n строк входного файла описывает характеристики производства деталей. Здесь i -я строка содержит число деталей k i, которые требуются для производства детали с номером i, а также их номера. Сумма всех чисел k i не превосходит Известно, что не существует циклических зависимостей в производстве деталей. В первой строке выходного файла details.out должны содержаться два числа: минимальное время ( в секундах), необходимое для скорейшего производства детали с номером 1 и число k деталей, которые необходимы для этого производства. Во второй строке требуется вывести через пробел k чисел номера деталей в том порядке, в котором их следует производить для скорейшего производства детали с номером 1. Ограничение по времени 2 сек. Ограничение по памяти 64 Мб.

12 Домашнее задание details.indetails.out

13 Источники Курс «Базовые алгоритмы для школьников» (Станкевич А. С., Абакумов К. В., Мухачёва М. А.) «Интернет-университет информационных технологий»