РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учитель: Копеина Наталья Васильевна 10 класс МОУ «Киришский лицей» - презентация

1 РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Учитель: Копеина Наталья Васильевна 10 класс МОУ «Киришский лицей»

2 Содержание. 1.Вводная часть, повторение теоретического материала.Вводная часть, повторение теоретического материала. 2.Решение тригонометрических уравнений.Решение тригонометрических уравнений. 3.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.Проблемы, возникающие при решении тригонометрических уравнений.

3 ЦЕЛЬ: Повторить решение тригонометрических уравнений. 1. Знать формулы для решения простейших тригонометрических уравнений. 2. Различать типы тригонометрических уравнений и знать способы их решений. 3. Уметь решать тригонометрические уравнения любых типов. Выделение основных проблем при решении этих уравнений: Потеря корней. Посторонние корни. Отбор корней.

4 Устная работа. Решите уравнения А) 3 х – 5 = 7 Б) х 2 – 8 х + 15 = 0 В) 4 х 2 – 4 х + 1= 0 Г) х 4 – 5 х = 0 Д) 3 х 2 – 12 = 0 Ответы 4 3; 5 0,5 -2; -1; 1; 2 -2; 2

5 Устная работа Упростите выражения А) (sin a – 1) (sin a + 1) Б) sin 2 a – 1 + cos 2 a В) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a Г) Ответы - cos 2 a 0 2 |1- tg х|

6 Повторим значения синуса и косинуса у π/2 90° 1 120° 2π/3 π/3 60° 135° 3π/4 π/4 45° 150° 5π/6 1/2 π/6 30° 180° π ° x -1/2 ½ 2π 360 (cost) 210° 7π/6 -1/2 11π/6 330° [-π/6] 225° 5π/4 7π/4 315° [-π/4] 240° 4π/3 5π/3 300° [-π/3] 270° 3π/2 [-π/2] (sint)

7 Арккосинус у х π/2 0π 1 -а а arccos а = t arccos(-а) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0;π], что cos t = а. Причём, | а | 1. arccos( - а) = π- arccos а Примеры: 1)arccos(-1) = π 2)arccos( )

8 Арксинус Примеры: у х π/2 -π/2 1 а arcsin а = t - а arcsin(- а )= - arcsin а arcsin(- а ) Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1. Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [-π/2;π/2], что sin t = а. Причём, | а | 1.

9 Арктангенс у π/2 -π/2 х 0 а arctgа = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (-π/2;π/2), что tg t = а. Причём, а Є R. arctg(-а) = - arctg а -а-а arctg(-а ) Примеры: 1) arctg3/3 = π/6 2) arctg(-1) = -π/4

10 Арккотангенс у х 0π а arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0;π), что ctg t = а. Причём, а ЄR. arcctg(- а) = π – arcctg а - а- а arcctg(- а) 1) arcctg(-1) = Примеры: 3π/4 2) arcctg3 = π/6

11 Повторение 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 arcsin 2/2 arccos 1 arcsin (- 1/2 ) arccos (- 3/2) arctg 3 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6 arccos 2/2 arcsin 1 arccos (- 1/2) arcsin (- 3/2) arctg 3/3

12 Повторение Ответы 1 вариант - 3/2 - 1/2 3/3 1 3/2 2/2 π/4 0 - π/6 5π/6 π/3 Ответы 2 вариант 2/2 3/ /2 - 3/2 π/4 π/2 2π/3 - π/3 π/6

13 Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 1.cost = а, где |а| 1 или Частные случаи 1) cost=0 t = π/2+πk kЄZ 2) cost=1 t = 2πk kЄZ 3) cost = -1 t = π+2πk kЄZ

14 Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 2. sint = а, где | а | 1 или Частные случаи 1) sint=0 t = πk kЄZ 2) sint=1 t = π/2+2πk kЄZ 3) sint = - 1 t = - π/2+2πk kЄZ

15 Формулы корней простейших тригонометрических уравнений 3. tgt = а, аЄR t = arctg а + πk k ЄZ 4. ctgt = а, а ЄR t = arcctg а + πk kЄZ

16 При каких значениях х имеет смысл выражение: 1.arcsin(2x+1) 1.arcsin(2x+1) 2.arccos(5-2x) 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 1) -1 2х х 0 -1 х 0 Ответ: [-1;0] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] 2) х х -4 2 х 3 Ответ: [2;3] -1 х² х² 2 Ответ: -1 х² х² 2 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ: -14х²-3х1 4х²-3х -1 4х²-3х 1 4х²-3х-1 0 Ответ:

17 Примеры: 1)cost= - ; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; 4) ctgt = - t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ± + 2πk, kЄZ t= ±arccos(-1/2)+2πk, kЄZ t= ± + 2πk, kЄZ Частный случай: t = πk, kЄZ Частный случай: t = πk, kЄZ t = arctg1+πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arctg1+πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arcctg( ) + πk, kЄZ t = + πk, kЄZ. t = arcctg( ) + πk, kЄZ t = + πk, kЄZ.

18 Решение простейших уравнений 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 1)tg2x = -1 2x = arctg (-1) + πk, kЄZ 2x = -π/4 + πk, kЄZ x = -π/8 + πk/2, kЄZ Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ. 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 2) cos(x+π/3) = ½ x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ. 3) sin(π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin(x/3) = 0 частный случай x/3 = πk, kЄZ x = 3πk, kЄZ. Ответ: 3πk, kЄZ.

19 Виды тригонометрических уравнений 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 1.Сводимые к квадратным Решаются методом введения новой переменной asin²x + bsinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| 1, тогда ap² + bp + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения.

20 2.Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной. asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m 2.Однородные 1)Первой степени: Решаются делением на cos х (или sinx) и методом введения новой переменной. asinx + bcosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx (или на sinx ). Получим: простое уравнение atgx + b = 0 или tgx = m Виды тригонометрических уравнений Пример. Решите уравнение sinx + 2cosx = 0. Решение: Разделим обе части уравнения на cosx. Получим Ответ:

21 2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной. asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. 2) Однородные уравнения второй степени: Решаются делением на cos² х (или sin²x) и методом введения новой переменной. asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 Разделим обе части на cos²x. Получим квадратное уравнение: atg²x + btgx + c = 0. Виды тригонометрических уравнений П р и м е р. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Р е ш е н и е. 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x, sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0, tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0, отсюда y 2 + 4y +3 = 0, корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда 1) tg x = –1, 2) tg x = –3, Ответ:

22 Виды тригонометрических уравнений 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С 0 3. Уравнение вида: А sinx + B cosx = C. А, В, С 0 sin x + cos x = 1. Р е ш е н и е. Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0,

23 Виды тригонометрических уравнений 4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. 4. Решение тригонометрических уравнений с помощью универсальной тригонометрической подстановки Решаются с помощью введения вспомогательного аргумента. А sinx + B cosx = C При переходе от уравнения (1) к уравнению (2), могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения корнями данного уровнения. Проверка Если, - не верно, значит, не является корнями исходного уравнения Ответ:

24 Формулы. a cosx +b sinx заменим на C sin(x+ ), где sin = cos = - вспомогательный аргумент. Универсальная подстановка. х + 2 n; Проверка обязательна! Понижение степени. = (1 + cos2x ) : 2 = (1 – cos 2x) : 2 Метод вспомогательного аргумента.

25 Правила. Увидел квадрат – понижай степень. Увидел произведение – делай сумму. Увидел сумму – делай произведение.

26 1.Потеря корней: делим на g(х). опасные формулы (универсальная подстановка). Этими операциями мы сужаем область определения. 2. Лишние корни: возводим в четную степень. умножаем на g(х) (избавляемся от знаменателя). Этими операциями мы расширяем область определения. Потеря корней, лишние корни.

27 Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам Вариант 1. На «3» 3 sin x+ 5 cos x = 0 5 sin 2 х - 3 sinх cos х - 2 cos 2 х =0 На «4» 3 cos 2 х + 2 sin х cos х =0 5 sin 2 х + 2 sinх cos х - cos 2 х =1 На «5» 2 sin x - 5 cos x = sin 2x + 6 cos 2 х = 0 Вариант 2. На «3» cos x+ 3 sin x = 0 6 sin 2 х - 5 sinх cos х + cos 2 х =0 На «4» 2 sin 2 x – sin x cosx =0 4 sin 2 х - 2sinх cos х – 4 cos 2 х =1 На «5» 2 sin x - 3 cos x = 4 2 sin 2 х - 2sin 2х +1 =0

28