ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ §1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. Множества А и В называются равномощными. - презентация

1 ГЛАВА II ТЕОРИЯ БЕСКОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ §1. Счетные множества. Примеры. Минимальность счетной мощности Определение 1. Множества А и В называются равномощными (обозначим: ), если существует биекция : А В.

2 Теорема 2. Отношение равномощности есть отношение эквивалентности. Доказательство. Необходимо проверить три условия: рефлексивность, симметричность, транзитивность.

3 Рефлексивность выполняется, так как отображение I A : A A осуществляет биекцию множества А на себя, то есть. Симметричность. Пусть, то есть существует биекция, тогда существует отображение, которое также является биекцией, то есть

4 Транзитивность. Пусть,, то есть существуют биекции и Тогда является биекцией, причем, то есть. Транзитивность, а вместе с ней и теорема доказаны.

5 Примеры.1) Докажем, что то есть докажем, что любые два интервала равномощны, то есть, грубо говоря, состоят из одного и того же количества точек, независимо от их длины. Рассмотрим функцию y(0) = a, y(1) = b. Так как эта функция линейна и отлична от константы, то биективно отображает (0;1) на (a, b). Заметим, что по теореме 2 для любых открытых промежутков

6 2), то есть прямая равномощна открытой полупрямой. В самом деле, отображение, определяемое функцией есть не что иное, как биекция между R и.

7 Определение 3. Множество А называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел, то есть =. Другими словами, множество А счетно, если его элементы можно занумеровать натуральными числами, то есть представить в виде: А=

8 Теорема 4. Любое подмножество счетного множества или конечно или счетно (т.е. не может содержать никаких других бесконечностей).

9 Доказательство. Пусть А – счетное множество и В А. Перенумеруем все элементы множества А: "Передвигаясь" в перечне элементов множества А от с меньшими номерами к элементам с большими номерами, будем выбирать из этого списка элементы подмножества В:

10 Если какой-то элемент окажется последним в списке В, то В является конечным множеством, состоящим из к элементов: Если же для каждого элемента из В в списке А всегда найдется следующий элемент то мы получаем список (множество) который занумерован числами 1,2,3,…,k,….

11 Если пере обозначить то Теорема доказана.