Три признака равенства треугольников Три признака равенства треугольников 1 2 3 Завершить. - презентация

1 Три признака равенства треугольников Три признака равенства треугольников Завершить

2 Первый признак

3 Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны Теорема Теорема

4 что вершина A совместится с вершиной A 1, а стороны AB и AC наложатся соответ-ственно на лучи A 1 B 1 и A 1 C 1. Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, AC= A 1 C 1, A = A 1. Так как A = A 1, то ABC можно наложить на A 1 B 1 C 1 так, Докажем, что ABC = А 1 B 1 C 1. Поскольку AB=A 1 B 1, AC= A 1 C 1,то сторона AB совместится со стороной A 1 B 1,а сторона AC – со стороной A 1 C 1. Совместятся стороны BC и B 1 C 1. ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, значит, они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Доказательство Доказательство

5 Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников двух сторон и угла между ними), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ПЕРВЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

6 Второй признак

7 Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема Теорема

8 Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Докажем, что ABС = A 1 B 1 C 1. Доказательство Доказательство

9 Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – с равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как, A = A1, B = B 1, то сторона AC наложится на луч A 1 C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА. Наложим ABC на A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A совместилась с вершиной A 1, сторона AB – с равной ей стороной A 1 B 1, а вершины C и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1. Так как, A = A1, B = B 1, то сторона AC наложится на луч A 1 C 1, а сторона BC – на луч B 1 C 1. Поэтому вершина C – общая точка сторон AC и BC – окажется лежащей как на луче A 1 C 1, так и на луче B 1 C 1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной C 1. Значит, совместятся стороны AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1. Итак, ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, поэтому они равны. ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА.

10 Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и двух углов прилежащих к ней), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ВТОРЫМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

11 Третий признак

12 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Теорема Теорема

13 Рассмотрим ABC и A 1 B 1 C 1, у которых AB=A 1 B 1, AC = A 1 C 1, CB = C 1 B 1. Докажем, что ABС = A 1 B 1 C 1. Доказательство Доказательство Приложим ABC к A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина A с вершиной A 1, вершина B 1 – с B 1, а вершины C и C 1 оказались по разные стороны от прямой А 1 В 1.

14 Соединим точки В и В 1 Рассмотрим равнобедренные А 1 С 1 С и В 1 С 1 С 1 = 2; 3 = 4 Значит, А 1 СВ 1 = А 1 С 1 В 1 А 1 С 1 С = В 1 С 1 С по двум сторонам и углу между ними

15 А 1 С 1 B 1 = A 1 B 1 С по двум сторонам и углу между ними

16 Рассмотрим равно- бедренный С 1 В 1 С CC 1 B 1 = C 1 CB 1 1 = 2 Рассмотрим равно- бедренный С 1 А 1 С Следовательно, 3 = 4 Таким образом, С 1 А 1 В 1 = СА 1 В 1

17 Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников трех сторон), по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется ТРЕТЬИМ ПРИЗНАКОМ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ Из третьего признака следует, что треугольник жесткая фигура