Метод Гаусса Выполнил Межов В.С. Группа СБ 15-11. - презентация

1 Метод Гаусса Выполнил Межов В.С. Группа СБ15-11

2 История Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода в китайском трактате «Математика в девяти книгах»К. Ф. Гаусса Математика в девяти книгах

3 Критерий совместности Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны). Теорема Кронекера Капелли Теорема Кронекера Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: Системаранг Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

4 Описание метода Пусть исходная система выглядит следующим образом Матрица называется основной матрицей системы, столбцом свободных членов. Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):элементарных преобразований При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных [4].базисный минор [4] Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными. Если хотя бы одно число, где, то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.несовместна Пусть для любых. Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где номер строки): Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.СЛАУэлементарных преобразований Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

5 Алгоритм Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.СЛАУ На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.элементарных преобразований треугольной форме На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.фундаментальную систему решений Метод Гаусса требует арифметических операций. Этот метод опирается на: Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

6 Простейший случай В простейшем случае алгоритм выглядит так:

7 Пример Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему: Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на 1,5 и 1, соответственно: Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончим первый этап алгоритма.треугольному виду На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем: Z=-1 из третьего; Y=3 из второго, подставив полученное Z X=2 из первого, подставив полученные Z и Y.Таким образом исходная система решена. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.фундаментальной системы решений