XXII городская конференция учащихся «Виват, молодая наука!» « Полярная система координат " Выполнил: Ученик 11 класса «Б» МБОУ «СОШ 14» Норман Роман Михайлович. - презентация

1 XXII городская конференция учащихся «Виват, молодая наука!» « Полярная система координат " Выполнил: Ученик 11 класса «Б» МБОУ «СОШ 14» Норман Роман Михайлович Научный руководитель – Козлова Наталья Борисовна

2 Цель работы: Изучение принципов построения графиков в полярной системе координат. Задачи: - организовать поиск и отбор материала по теме; - научиться строить графики в полярной системе координат, - сравнить полярную и декартовую прямоугольную системы координат; - научиться переводить график кривой из одной системы в другую; -провести собственное исследование

3 Объект исследования: полярная система координат. Предмет исследования: элементарные преобразования кривых, заданных в ПСК на примере кардиоиды. Методы исследования: - обзор литературы по теме; - анализ различных систем координат; - анкетирование одноклассников; - эксперимент. Гипотеза: Некоторые элементарные преобразования кривых в ПСК будут соответствовать элементарным преобразованиям в ДСК.

4 При изучении уравнений с двумя переменными, графического способа решения систем уравнений возникла необходимость построения графиков уравнений с двумя переменными типа 2 х+3y=5, x 2 +y 2 =9, x y=4 и т.п. Особый интерес вызвали графики уравнений (x 2 +y 2 ) 2 =2(x 2 -y 2 ). В декартовой системе координат это построение будет весьма сложным. В полярной же системе координат эта процедура намного упрощается. Кроме непосредственного интереса эта тема привлекает внимание ещё и тем, что найдёт свое приложение в «Интегральном исчислении». Актуальность:

5 Существуют разные версии о том, как и когда формально ввели полярную систему координат. Ещё в древности намёки на полярные координаты появлялись у греческого астронома Гиппарха, у Архимеда. Динострат использовал их в неявном виде при исследовании квадратрисы в IV веке до н.э. Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. Чёткое представление об определении точки на плоскости при помощи полярных координат имеется у Л. Эйлера и С.Е. Гурьева.

6 Система координат Системой координат называется совокупность одной, двух, трёх или более пересекающихся координатных осей, точки, в которой эти оси пересекаются, - начала координат – и единичных отрезков на каждой из осей. Каждая точка в системе координат определяется упорядоченным набором нескольких чисел – координат.

7 Любая отличная от начала координат точка М однозначно определяется своим расстоянием ОМ = r от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком ОМ. Кроме того, задаётся единица масштаба для измерения длин отрезков. Полярная система координат – двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом.

8 Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Установим связь между полярными координатами точки и её прямоугольными координатами. При этом будем предполагать, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Рассмотрим АОМ

9 Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 1. Требуется построить точку М ( 2 ; ) в полярной системе координат. Проведем луч ОР под углом к полярной оси ОЕ и отложим от полюса отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Конец М этого отрезка и будут искомой точкой. Пример 2. Найти прямоугольные координаты точки, полярные координаты которой М ( ; ). Решение: По формулам получаем Ответ: М( 3; )

10 Перевод полярных координат в декартовы и обратно. Пример 3. Прямоугольные координаты точки А (1; ). Требуется найти ее полярные координаты. Решение: По формуле получаем. Зная получим откуда Ответ: А( 2 ; )

11 Некоторые кривые в полярных координатах. 1)Окружность. Уравнение вида r = K = const определяет окружность с центром в полюсе радиуса K.

12 2) Спираль Архимеда

13 3) Кардиоида

14 Преобразования кардиоиды.

15 Преобразования кардиоиды.

16

17

18

19 Прямоугольная СК Полярная СК Наиболее простая, часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для пространств любой размерности, что также способствует ее широкому применению. Уравнения некоторых кривых (окружности) в ПСК записываются проще. Распределяются на пространство путем добавления еще одного угла. Сравнение полярной и прямоугольной системы координат.

20 Прямоугольная СК Полярная СК Прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Началом координат служит точка пересечения координатных осей. В ПСК фиксируется точка, являющаяся началом координат, и координатная ось, - прямая, проходящая через это начало.

21 Прямоугольная СК Полярная СК Прямоугольная система координат может быть двухмерной или трехмерной. Полярная система координат может быть только двухмерной. В прямоугольной системе координат отношения между точками можно установить только путем применения тригонометрических преобразований. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов.

22 Полярная система координат в жизни Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. В авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. Графики в полярной системе координат помогут нам лучше понять смысл квадратурной модуляции. Полярные координаты нередко возникают при решении различных задач в электротехнике, акустике, гидростатике и механике.

23 Материал, представленный в работе, расширяет кругозор, пополняет теоретические знания и практические навыки. Мы рассмотрели некоторые примеры, показывающие необходимость и актуальность изученной темы, и пришли к выводу: В ряде случаев при указании места расположения какого- нибудь объекта удобнее определять не его декартовы координаты, а направление и расстояние до объекта, то есть полярные координаты. Я убедился, что все они играют важнейшую роль в различных средах деятельности человека. Построение некоторых линий в полярной системе координат намного проще, а элементарные преобразования уравнений кривых схожи, чем в декартовой СК. Заключение:

24 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ