Компактность. - презентация

1 Презентация по предмету Топология МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УЗБЕКИСТАНА ИМЕНИ МИРЗО УЛУГБЕКА Самостоятельная работа на тему : Компактность Выполнила : Студентка II курса Направление : Математика Колосова Светлана Приняла : Саитова С. С.

2 Компакты в хаусдорфовом пространстве. пространстве. 1. Введение 2. История 3. Компактность 4. Компактные топологические пространства 5. Заключение

3 История История Бикомпактное пространство понятие, введённое Александровым в усиление определённого Морисом Фреше понятия компактного пространства : топологическое пространство компактно в первоначальном смысле слова если в каждом счётном открытом покрытии этого пространства содержится его конечное под покрытие. Однако дальнейшее развитие математики показало, что понятие и компактности настолько важнее первоначального понятия компактности, что в настоящее время под компактностью понимают именно бикомпактность, а компактные в старом смысле пространства называют счётно - компактными. Оба понятия равносильны в применении к метрическим пространствам. Александровым Морисом Фреше

4 Павел Сергеевич Александров Морис Рене Фреше Феликс Хаусдорф

5 Компактность относится к числу центральных понятий математики. Особенно важны компактные хаусдорфовы пространства или компакты. Впервые компактность появилась в математике как одно из главных топологических свойств отрезка, квадрата, сферы и всех замкнутых ограниченных подмножеств конечномерных евклидовых пространств. Когда было осознано, что именно это свойство ответственно за ряд фундаментальных фактов, относящихся к замкнутым ограниченным множествам в евклидовых пространствах таких, в частности, как ограниченность и равномерная непрерывность непрерывных функций, компактность получила абстрактное определение на языке общей топологии, далеко выходящее за рамки класса метрических пространств.

6 Хорошо известно, что фундаментальные факты, лежащие в самих основах классического математического анализа, основаны на одном замечательном свойстве отрезка числовой прямой, известном под названием леммы Гейне Бореля Лебега и заключающемся в том, что из любого покрытия этого отрезка открытыми интервалами можно выбрать конечное под покрытие. По этой причине оказалось естественным в общих топологических пространствах особо выделять такие их подмножества, которые обладают аналогичным свойством, что и привело к одному из фундаментальных понятий топологии – к понятию компактности. Заслуга выделения этого замечательного класса пространств принадлежит П. С. Александрову. Отметим также, что теория компактных пространств впервые была построена П. С. Александровым и П. С. Урысоном в работе " Мемуар о компактных топологических пространствах "

7

8 Компакты в хаусдорфовом пространстве. Определение : Топологическое пространство M называется компактным, если каждое открытое покрытие M имеет конечное под покрытие.

9 Замечание. Замкнутое подмножество компакта очевидно компактно. Обратное неверно. Утверждение : Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.

10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ( Бореля - Лебега ). Топологическое пространство Х называется компактным, если оно удовлетворяет условию Бореля - Лебега : из всякого открытого покрытия пространства Х, можно выделить конечное под покрытие. Теорема. Для компактности топологического пространства Х необходимо и достаточно, чтобы любое его семейство замкнутых подмножеств с пустым пересечением содержало конечное подсемейство с пустым пересечением Теорема 1. Всякий отрезок [a; b] R компактен.

11 Теорема 2. Пусть X - компактное топологическое пространство и Y X - его замкнутое подмножество. Тогда Y компактно. Теорема 3. Пусть X - хаусдорфово пространство и A X - его компактное подмножество. Тогда A замкнуто в X. Теорема 1. ( основная теорема о компакте ) Подмножество X R компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено

12 Следствие 2. Пусть f : X R - непрерывная функция на компактном пространстве X. Тогда f достигает на X наибольшего и наименьшего значения. Следствие : X, Y – компакты. Тогда X × Y – компакт Пусть X и Y - топологические пространства. Топологией произведения на их прямом произведении X×Y называется топология, определяемая следующим образом : подмножество W X × Y называется открытым, если существуют такие открытые подмножества U X и V Y, что x U × V W.

13 Каждый компакт является нормальным и, тем более, вполне регулярным пространством. Пересечение любого счетного семейства открытых всюду плотных в компакте множеств всюду плотно в нем. Равносильное утверждение : никакой компакт нельзя представить в виде объединения счетного семейства нигде не плотных множеств. Компакты характеризуются как регулярные пространства, замкнутые в любом объемлющем их хаусдорфовом пространстве.

14 1. А. В. Архангельский, Компактность, Общая топология – 2, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробел. мат. Фундам. направления, 50, ВИНИТИ, М., 1989, 5128, 2. А. В. Архангельский, Некоторые последние достижения и открытые пробелемы в общей топологии, УМН, 52:5(317) (1997), 45–70