Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная. - презентация

1 Уравнение вида называется ДУ первого порядка. Где х – независимая переменная; у– неизвестная функция; у – ее производная.

2 Если из уравнения можно выразить производную неизвестной функции, то оно примет вид: 2 Это уравнение называется ДУ первого порядка, Например:

3 Решением ДУ первого порядка называется функция у=φ(х), определенная на некотором интервале (a,b), которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.

4 Пусть дано ДУ (2). Если функция f(x,y) и ее частная производная f y (x,y) непрерывны в некоторой области D плоскости ХОУ, то в некоторой окрестности любой внутренней точки (х 0,у 0 ) этой области существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющего условию х=х 0, у=у 0.

5 заключается в том, что график решения ДУ есть интегральная кривая. В области D содержится бесконечно много интегральных кривых. Теорема гарантирует, что при соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая. Условия, задающие значения функции в фиксированной точке называются начальными условиями (условиями Коши): 3

6 Задача решения уравнения (2), удовлетворяющего условию (3) называется задачей Коши. (из множества интегральных кривых выделяется та, которая проходит через заданную точку). В некоторых случаях, если условия теоремы Коши не выполнены, через точку вообще не проходит интегральная кривая, или их проходит несколько. Такие точки называются

7 уравнения (2) называется функция удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении С. уравнения (2) называется функция полученная при определенном значении С=С 0.

8 Рассмотрим уравнение Правая часть уравнения удовлетворяет всем условиям теоремы Коши во всех точках плоскости ХОУ: Функции f(x,y)=2x и f y =0 определены и непрерывны на всей плоскости. Общее решение уравнения:

9 Это решение описывает семейство парабол:

10 Для нахождения частного решения зададим начальные условия (3) и подставим их в общее решение: Это частное решение выделяет из семейства парабол одну, проходящую через точку (х 0,у 0 ).