Числовые ряды Выполнила: Герасимова Мария хим.факультет МПГУ 1 курс, 1 группа 2014 г. - презентация

1 Числовые ряды Выполнила: Герасимова Мария хим.факультет МПГУ 1 курс, 1 группа 2014 г.

2 1. Основные понятия Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда. Этот ряд считается заданным, если известен общий член ряда, выраженный как функция его номера (59.1)

3

4 Примеры 1. Ряд – нельзя считать заданным, а ряд можно: его общий член задается формулой 2. Ряд сходится, его сумма равна Ряд расходится, 4. Ряд расходится, так как последовательность частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... не имеет предела.

5

6 2. Важные свойства рядов т.е ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (59.1)

7 соответственно.

8 Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k - наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (59.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при n > k будет выполняться равенство

9 3. Ряд геометрической прогрессии.

10 4. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

11

12 5. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов Необходимый признак сходимости не дает возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных признаков. Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т.е. рядов с неотрицательными членами. 5.1 Признаки сравнения рядов. Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

13

14 По определению предела последовательности для всех Пример:

15 Решение Ещё один пример: Решение Следовательно, данный ряд сходится.

16 5.2. Признак Даламбера В отличии от признаков сравнения признак Даламбера позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

17 На основании следствия из необходимого признака ряд (59.1) сходится

18 Пример: Решение: Находим

19 5.3. Радикальный признак Коши.

20 Пример: Решение:

21 5.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд

22 Пример: Решение:

23

24 6. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

25 Пример: Решение:

26 6.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Знакочередующийся ряд является честным случаем знакопеременного ряда. содержащий бесконечное множество положит. и бесконечное множество отриц. членов, называется знакопеременным.

27 Пример: Решение:

28 6.3. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов. Св-ва абсолютно сходящихся рядов. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов,сходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится. Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:

29 1.) Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле) 2.) Абсолютно сходящиеся ряды с суммами и можно почленное складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 3.) понимают ряд вида (или соответственно - ) +