Для повседневных вычислений используется десятичная система счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно. - презентация

1

2 Для повседневных вычислений используется десятичная система счисления, предшественницей которой является индусская десятичная система, возникшая примерно в XII-м столетии. В современной науке с развитием компьютерной техники на первые роли выдвинулась двоичная система счисления. Ее зачатки наблюдаются у многих народов. Например, у древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги, жизнь которого относится к 4-му тысячелетию до новой эры. Оказывается, к открытию двоичной системы счисления имели отношение многие математики, в частности, Фибоначчи.

3 Как представляются в компьютере целые числа?

4 Номер разрядов Биты числа Номер разрядов Биты числа Номер разрядов Биты числа

5

6

7 Число 1 10 = 1 2 Знак числа «+» Число = Знак числа «+»

8 Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа двоичный код его абсолютной величины. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы нулями. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду Прямой код числа - 1 Знак числа «-» Прямой код числа Знак числа «-» Число: - 1 Код модуля числа: Обратный код числа: Число: Код модуля числа: Обратный код числа: Дополнительны код числа Дополнительны код числа - 127

9 Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами? В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ. В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

10 Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая: А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Десятичная запись Двоичные коды Получен правильный результат. Десятичная запись Двоичные коды обратный код числа обратный код числа обратный код числа -7 Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: = А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. Десятичная запись Двоичные коды обратный код числа

11 А и В отрицательные. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n-1, где n количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n- 1 = 27 = 128). Десятичная запись Двоичные коды переполнение переполнение А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n-1. Десятичная запись Двоичные коды Двоичные коды обратный код числа обратный код числа обратный код числа переполнение переполнение Десятичная запись Двоичные коды обратный код числа обратный код числа обратный код числа обратный код числа обратный код числа -10 Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа вместо обратного кода числа ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: = Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа вместо обратного кода числа ) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: = При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения. При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения. Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы ( = ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки. Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы ( = ), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки. Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

12 А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: = = Десятичная запись Двоичные коды обратный код числа обратный код числа обратный код числа -7 Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает. А и B отрицательные Двоичные коды обратный код числа перенос отбрасывается перенос отбрасывается Десятичная запись Десятичная запись Двоичные коды доп. код числа доп. код числа доп. код числа перенос отбрасывается перенос отбрасывается Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода. Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев: Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

13 Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами? Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции окончательный результат.

14 Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя Накапливающий сумматор Множитель Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения Сдвиг на две позиции влево Сдвиг на одну позиции влево Сдвиг на две позиции влево

15

16 - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем В непозиционных системах счисления вес цифры не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Так, например, в римской системе счисления в числе XXXII (тридцать два) вес цифры X в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее позиции в последовательности цифр, изображающих число. Любая позиционная система характеризуется своим основанием. НЕПОЗИЦИОННЫЕПОЗИЦИОННЫЕ

17 Десятичная система счисления: Пришла в Европу из Индии, где она появилась не позднее VI века н.э. В этой системе 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором цифра стоит (то есть ее позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 - основание системы, и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа - число десятков, следующая - число сотен и т.д. Двоичная система счисления: В этой системе всего две цифры - 0 и 1. Особую роль здесь играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра - число двоек, следующая - число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет закодировать любое натуральное число - представить его в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и любую другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Инженеров двоичное кодирование привлекает тем, что легко реализуется технически. Например, при подаче сигнала тока возможны 2 случая - есть сигнал (1) и нет сигнала ( 0). Восьмеричная система счисления: В этой системе счисления 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, указанная в самом младшем разряде, означает - как и в десятичном числе - просто единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 100 (восьмеричное) есть не что иное, как 64 (десятичное). Шестнадцатеричная система счисления: Запись числа в восьмеричной системе счисления достаточно компактна, но еще компактнее она получается в шестнадцатеричной системе. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а вот в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат просто единицу. Та же цифра 1 в следующем - 16 (десятичное), в следующем (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).. Условимся записывать основание системы счисления справа от числа

18 Способ записи чисел в позиционных системах счисления В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и таким образом мы продвигаемся от одного числа к другому. Основание позиционной системы счисления - это количество различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе. За основание можно принять любое натуральное число, начиная с двойки - два, три, четыре, шестнадцать и т.д. Следовательно, возможно бесконечное множество позиционных систем. Продвижение цифры - называют замену ее следующей по величине. Продвинуть цифру 1 - значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 - значит заменить ее на 3 и т.д. Но в позиционной системе счисления цифр ограниченное количество, как же продвинуть старшую цифру (например 9 в десятичной системе счисления)? Целые числа в любой системе счисления порождаются по правилу счета для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа(в младшем разряде); если после продвижения какая-либо цифра стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее (по умолчанию слева 0). Сейчас в большинстве стран мира, несмотря на то, что там говорят на разных языках, считают одинаково, "по-арабски". Но так было не всегда. Еще каких-то пятьсот лет назад ничего подобного и в помине не было даже в просвещенной Европе, не говоря уже о какой- нибудь Африке или Америке.

19 Так появилась аддитивная система счисления Какое число нужно записать, столько сделают засечек на палке, или в кучку камешков положат. Но это удобно, пока числа небольшие. Вы только представьте себе число записанное с помощью кучки камушков, а ?. Неудобно? Тогда стали люди придумывать как по другому записывать большие числа. Для начала решили, что каждые 10 палочек заменять загогулинкой, и счет пошел легче! Самая простая система счисления была еще у древних людей Но люди никогда не стоят на месте, они постоянно чего-нибудь изобретают. Не захотелось людям вырисовывать по десятку палочек да загогулинок, и решили каждое круглое число обозначить по- особому. Но для этого потребовалось большое количество цифр-символов, и, чтобы не изобретать велосипед, решили использовать алфавит. Так появилась алфавитная аддитивная система счисления Такая система очень долго использовалась по всей Европе, и во многих государствах за ее пределами. Но далеко не все народы делали свои записи с помощью алфавита или слоговых знаков (об алфавитах и слоговых знаках. В Китае иероглифы не позволили появиться такой системе счисления, и тогда ученые изобрели немного другую систему, Эта система имела одно очень важное свойство: в ней одна и та же цифра, в зависимости от расположения в записи числа могла иметь разные значения. Именно такой системой счисления мы с Вами сейчас и пользуемся. Так появилась мультипликативная система счисления

20 Во втором типе каждая цифра может иметь разные значения в зависимости от своего местоположения в числе: Система счисления - очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними. Самое главное, что нужно знать о системе счисления - ее тип: аддитивная или мультипликативная. В первом типе каждая цифра имеет свое значение, и для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр: XXXV = = 35; CCXIX = = 219; (иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5) Здесь дважды использован иероглиф "2", и в каждом случае он принимал разные значения «2000» и «20» 2´ ´ 100+2´ 10+5 = 2425 Для аддитивной системы нужно знать все цифры-символы с их значениями (их бывает до десятков), и порядок записи. Например, в Латинской записи если меньшая цифра записана перед большей, то производится вычитание, а если после, то сложение (IV = (5-1) = 4; VI = (5+1) = 6).

21 А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему. А если на другой руке откладывать пальцами количество полных дюжин, то получим всем известную шестидесятеричную вавилонскую систему. В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом. В разных цивилизациях считали по-разному, но и сейчас можно даже в языке, в названиях и изображениях цифр найти остатки совсем других систем счисления, когда-то использовавшихся этим народом. Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как "четырежды двадцать". Так у французов когда-то была двадцатеричная система счисления, поскольку 80 по-французски звучит как "четырежды двадцать". Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X - это две таких же руки. Римляне, или их предшественники использовали когда-то пятеричную систему, так как V ни что иное, как изображение ладони с отставленным большим пальцем, а X - это две таких же руки. Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичная". В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления - десятичная. Для мультипликативной системы нужно знать изображение цифр и их значение, а так же основание системы счисления. Определить основание очень легко, нужно только пересчитать количество значащих цифр в системе. Если проще, то это число, с которого начинается второй разряд у числа. Мы, например, используем цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Их ровно 10, поэтому основание нашей системы счисления тоже 10, и система счисления называется "десятичная". В вышеприведенном примере используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (вспомогательные 10, 100, 1000, и т. д. не в счет). Основных цифр здесь тоже 10, и система счисления - десятичная. Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. "Но на одной то руке всего пять пальцев" - скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. Как можно догадаться, сколько есть чисел, столько же может быть и оснований систем счисления. Но используются только самые удобные основания систем счисления. Как вы думаете, почему основание самой употребительной человеческой системы счисления 10? Да, именно потому, что на руках у нас 10 пальцев. "Но на одной то руке всего пять пальцев" - скажут некоторые и будут правы. История человечества знает примеры пятеричных систем счисления. Очень интересно понятие "дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число - мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги. Очень интересно понятие "дюжина". Всем известно, что это 12, но откуда появилось такое число - мало кто знает. Посмотрите на свои руки, вернее, на одну руку. Сколько фаланг на всех пальцах одной руки, не считая большого? Правильно, двенадцать. А большой палец предназначен отмечать отсчитанные фаланги.

22 , и т. д. Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными (add добавлять, складывать англ.). Такая система счисления уже годится для записи чисел, но она крайне неудобна для счета. Вы только попробуйте перемножить два вот таких числа: Аддитивные системы счисления, а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров, десяток пут - одна мерная веревка Например в Египте единицы записывали палочками А ведь всего-то это 1457 ´ Удобств для счета, как мы видим ни каких. Такой системой счисления пользовались Египтяне, Ацтеки, племена Майя.

23 В таких системах счисления для записи чисел используется уже определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Все цифры здесь изображаются определенными символами. Запись числа 1999 означает, что 1´ ´ ´ Для того, чтобы "собрать" такое число используется умножение (multiplication англ.), из-за чего систему и назвали "мультипликативной". Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой. По сей день мы используем только такую систему счисления. Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета. Любое из действий арифметики и алгебры может быть выполнено легко. Для счета здесь не нужна большая сноровка. Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.КитаеАрабской

24

25 Попробуйте сложить эти два числа, зная, что более 9 одинаковых иероглифов использовать нельзя Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

26

27 В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, и обозначались H, X, M. Числа 50, 500, обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, и обозначались H, X, M. Числа 50, 500, обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000, Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так: Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так: Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая нумерация в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой. В ней числа обозначаются первыми буквами греческого алфавита: числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами : числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами: Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока. Примерно по такому же принципу организованную систему счисления имели в древности евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока.

28

29 При отсутствии разряда вставлялся значок, игравший роль нуля Однако отсутствие низшего разряда не обозначалось, и поэтому число 180 = 3 60 записывалось так _______, а обозначать эта запись могла и 3, и 180, и ( ), и т. д. Различать эти числа можно было только по смыслу текста. шестидесятиричной. В древнем Вавилоне примерно за 40 веков до нашего времени создалась позиционная нумерация, то есть такой способ записи чисел, при котором одна и та же цифра может обозначать разные числа, смотря по месту, занимаемому этой цифрой. Наша теперешняя нумерация тоже поместная. В вавилонской поместной нумерации ту роль, которую у нас играет число 10, играет число 60, и потому эту нумерацию называют шестидесятиричной. Числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например -3;-20;-32 Это число 59. Это число 302, то есть 5х Это число 302, то есть 5х

30

31 Эта нумерация очень интересна тем что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной. начиная со знаков затем знаки а потом больших значений и заканчивая меньшими. Записывались цифры числа в столбик

32

33 Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то его пропускали. Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Интереснее всего записывались числа второго десятка: Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре на десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре на десять. И так для всех чисел от 11 до 19. Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение: = Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.

34

35 Такая запись числа мультипликативна, то есть в ней используется умножение: 1´ и 5´ 100+4´ 10+8 Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф- цифра в данном разряде. поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около тысяч лет тому назад в Китае. поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около тысяч лет тому назад в Китае.

36 Такая система счисления использовалась, и до сих пор используется в основном народами, не имеющими письменности. Но иногда такой системой счисления пользуются и современные люди, например, отмечая зарубками количество прошедших дней, или карандашом отмечая черточками в тетради количество проданных товаров. В этой системе счисления для записи чисел используется только одна цифра. Ее можно изобразить в виде палочки, кружочка, или любой другой фигуры. Числа будут записываться примерно так: Самая простая система счисления

37

38 Есть правило, по которому нельзя записывать подряд 4 одинаковых цифры, такая комбинация заменяется комбинацией с правилом вычитания, например: Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века. Это, наверное, самая известная нумерация, после арабской. Прежде знак M изображался знаком Ф, потому то 500 и стал изображать знак D как "половина" Ф. Так же построена и пары L и C, X и V. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д. Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими, слева направо. Если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. CCXXXVII = = 237 Но XXXIX = = 39 XXXX = XC (50-10) IIII = IV (5-1) CCCC = CD ( )

39

40 Название "арабская" для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации - Индия. В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари". Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию. Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне. Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

41

42

43 В позиционной системе счисления любое число записывается в виде последовательности цифр: Основание позиционной системы счисления определяет ее название. В вычислительной технике применяются двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы. В дальнейшем, чтобы явно указать используемую систему счисления, будем заключать число в скобки и в индексе указывать основание системы счисления. В двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1. Любое двоичное число может быть представлено в следующей форме: A 2 = +(a m-1 2 m-1 )+a m-2 2 m a 0 +a a -l 2 -l ) Например, двоичное число 10101,101 2 = 1*2 4 +0*2 3 +1*2 2 +0*2+1+1* * *2 -3 =21, В восьмеричной системе счисления для записи чисел используется восемь цифр (0,1,2,3,4,5,6,7), а в шестнадцатеричной - шестнадцать (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F). Системы счисления и способы перевода чисел из одной системы в другую.

44

45 Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по сравнению с другими системами. Все остальные системы счисления применяются только для удобства пользователей. Для хранения и обработки данных в ЭВМ используется двоичная система, так как она требует наименьшего количества аппаратуры по сравнению с другими системами. Все остальные системы счисления применяются только для удобства пользователей. В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами. В двоичной системе очень просто выполняются арифметические и логические операции над числами. Много разрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Много разрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Много разрядные числа складываются, вычитаются, умножаются и делятся по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления. Перевод числа из одной системы в другую выполняется по универсальному алгоритму, заключающемуся в последовательном делении целой части числа и образующихся целых частных на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, и в последующем умножении дробной части и дробных частей получающихся произведений на то же основание, записанное в исходной системе счисления. Перевод числа из одной системы в другую выполняется по универсальному алгоритму, заключающемуся в последовательном делении целой части числа и образующихся целых частных на основание новой системы счисления, записанное в исходной системе счисления, и в последующем умножении дробной части и дробных частей получающихся произведений на то же основание, записанное в исходной системе счисления. При переводе целой части получающиеся в процессе последовательного деления остатки представляют цифры целой части числа в новой системе счисления, записанные цифрами исходной системы счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа. При переводе целой части получающиеся в процессе последовательного деления остатки представляют цифры целой части числа в новой системе счисления, записанные цифрами исходной системы счисления. Последний остаток является старшей цифрой переведенного числа.

46 При переводе дробной части числа целые части чисел, получающихся при умножении, не участвуют в последующих умножениях. Они представляют собой цифры дробной части исходного числа в новой системе счисления, изображенные числами старой системы. Значение первой целой части является первой цифрой после запятой переведенного числа. Если при переводе дробной части получается периодическая дробь, то производят округление, руководствуясь заданной точностью вычислений. Если при переводе дробной части получается периодическая дробь, то производят округление, руководствуясь заданной точностью вычислений. Для осуществления автоматического перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-десятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII. Для осуществления автоматического перевода десятичных чисел в двоичную систему счисления необходимо вначале каким-то образом ввести их в машину, Для этой цели обычно используется двоично-десятичная запись чисел или представление этих чисел в кодах ASCII. При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой): (983,65)10 = ( , )2-10 При двоично-десятичной записи каждая цифра десятичного числа заменяется четырехзначным двоичным числом (тетрадой): (983,65)10 = ( , )2-10 При записи чисел в кодах ASCII цифрам от 0 до 9 поставлены в соответствие восьмиразрядные двоичные коды от до При записи чисел в кодах ASCII цифрам от 0 до 9 поставлены в соответствие восьмиразрядные двоичные коды от до ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации, например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в десятичной системе счисления над числами, представленными в двоично-десятичных кодах и кодах ASCII. ЭВМ, предназначенные для обработки экономической информации, например IBM AT, позволяют производить арифметические операции в десятичной системе счисления над числами, представленными в двоично-десятичных кодах и кодах ASCII. Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются только программистами и операторами ЭВМ, так как представление чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и перевод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень просто (основания этих систем представляют собой целую степень числа 2). Шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления используются только программистами и операторами ЭВМ, так как представление чисел в этих системах более компактное, чем в двоичной, и перевод из этих систем в двоичную и обратно выполняется очень просто (основания этих систем представляют собой целую степень числа 2). Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой), а для перевода шестнадцатеричного числа - четырьмя (тетрадой). Для перевода восьмеричного числа в двоичное достаточно каждый восьмеричный разряд представить тремя двоичными (триадой), а для перевода шестнадцатеричного числа - четырьмя (тетрадой).

47 исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления или на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.

48 –результирующее число Последнее частное от деления, поскольку 1

49 –результирующее число 1 Таким образом, = –результирующее число Таким образом, = 653 8

50 Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления. Имеем: = 1* *16 0 = = Таким образом, = Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления. Имеем: = 1* * * * *2 0 = = Таким образом, = Выполнить перевод числа в десятичную систему счисления. Имеем: = 6* * *8 0 = = Таким образом, =

51 Пример: Выполнить перевод числа в шестнадцатеричную систему счисления. Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем: В соответствии с таблицей = 11 2 = 3 16 и = 1 2 = Тогда = таблицей исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4 каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей. таблицей Первая тетрада – младшая цифра числаВторая тетрада – старшая цифра числа

52 Пример: Пример Выполнить перевод числа в двоичную систему счисления. По таблице имеем:таблице 1 16 = 1 2 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 1 2 = ; 3 16 = 11 2 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 11 2 = Тогда = После удаления незначащих нулей имеем = ё каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей. Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады; таблицей незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.

53 Каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр) Нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

54 Через двоичную систему с помощью триад и тетрод.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления Через двоичную систему с помощью триад и тетрод. Перевести в шестнадцатеричную систему счисления

55

56 1. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. 2. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 3. Перевести число 365 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 4. Двоичное число переведите в десятичную систему счисления. 1. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. 2. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 3. Перевести число 313 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 4. Двоичное число переведите в десятичную систему счисления.

57 1. 1. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. 2. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 3. Перевести число 113 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 4. Двоичное число переведите в десятичную систему счисления. 1. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления. 2. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в восьмеричную систему счисления. 3. Перевести число 322 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. 4. Двоичное число переведите в десятичную систему счисления.