Французский математик и философ 1596-1650 Тема: Векторное и смешанное произведение векторов. - презентация

1 Французский математик и философ Тема: Векторное и смешанное произведение векторов

2 Французский юрист и математик

3 Немецкий физик и математик

4 Великий русский математик ( )

5 скалярные длина длина масса масса температура температура плотность плотность и т.д. и т.д. векторные перемещение перемещение скорость скорость сила сила ускорение ускорение и т.д. и т.д. Т и п ы в е л и ч и н

6 Векторная величина определяется числовым значением и направлением Геометрической абстракцией векторной величины есть вектор – направленный отрезок прямой. Чтобы задать вектор необходимо указать направление длину

7 Действия с векторами Сложение векторов Сложение векторов Определение: Суммой векторов называется вектор, замыкающий ломаную, построенную из данных векторов таким образом, что конец предыдущего вектора является началом последующего а2а2а2а2 а3а3а3а3 а4а4а4а4 а1а1а1а1

8 Пусть на плоскости задана прямоугольная (декартова) система координат Пусть точка А имеет координаты (х 1,у 1 ), О х1х1 х2х2 у1у1 у2у2 А (х 1,у 1 ) а точка В имеет координаты (х 2,у 2 ) тогда вектор х у (х 2,у 2 ) В имеет координаты а его длина вычисляется по формуле

9 Скалярное произведение векторов Из скалярного произведения находят угол между векторами Если вектора заданы своими координатами тогда =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 )

10 Работа А силы, произведенная этой силой при перемещении тела на пути, определяемом вектором, вычисляется по формуле Скалярное произведение векторов в теоретической механике

11 Три вектора а,b,c, будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу, кратчайший поворот от а к b из точек вектора с кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке). Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу, кратчайший поворот от а к b из точек вектора с кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).правая левая

12 Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов а и b, если: |c| = |a| |b| sinφ, |c| = |a| |b| sinφ, c a, c b c a, c b тройка векторов abc правая. тройка векторов abc правая. Теорема. /геометрический смысл векторного произведения/ Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b. где φ – угол между а и b.

13 ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Пусть вектора заданы своими координатами =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 ) тогда координаты векторного произведения вычисляются по формуле

14 С помощью векторного произведения можно вычислить вращающий момент М силы F, приложенной к точке В тела, закрепленного в точке А: Векторное произведение векторов в теоретической механике

15 Смешанное произведение векторов Определение Пусть даны три вектора a, b, c. Если вектор a векторно умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор скалярно умножить на вектор с, то в результате получается которое называется смешанным произведением векторов a, b, c число, Обозначение

16 Теорема (геометрический смысл смешанного произведения) Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c Если три вектора лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю Замечание

17 СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ Если три вектора определены своими декартовыми координатами то смешанное произведение равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов =(х 2,у 2,z 2 ) =(х 1,у 1,z 1 ) =(х 2,у 2,z 2 )

18 ЗАДАЧА 1 Даны координаты вершин пирамиды Методами векторной алгебры определить Угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 Угол между ребрами А 1 А 2 и А 1 А 4 Площадь грани А 1 А 2 А 3 Площадь грани А 1 А 2 А 3 Объем пирамиды Объем пирамиды

19 Вычислить работу равнодействующей F сил F 1 =(3,-4,5), F 2 =(2,1,-4), F 3 =(-1,6,2), приложенных к материальной точке, которая под их действием перемещается прямолинейно из точки М 1 (4,2,-3) в точку М 2 (7,4,1) Вычислить координаты вращающего момента М силы F(3,2,1), приложенной к точке А (-1,2,4), относительно начала координат О ЗАДАЧА 2 ЗАДАЧА 3