Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом. - презентация

1 Анализ процессов в электромеханических системах классическим методом

2 Три метода Решение систем дифференциальных уравнений и соответственно анализ процессов в электромеханических системах осуществляют с использованием трех методов: Классический метод; Операторный метод; Метод переменных состояний.

3 Решения системы дифференциальных уравнений на примере RLC-цепи Схема RLC-цепи при подключении к источнику постоянного напряжения имеет следующий вид:

4 Составим Систему Дифференциальных Уравнений, описывающую процессы в данной цепи.

5 Представим СДУ в нормальной форме Коши:

6 Запишем СДУ в матричной форме:

7 где - матрица коэффициентов перед переменными состояния цепи

8 - вектор свободных членов СДУ; - Вектор переменных состояний

9 Определение корней СДУ Запишем однородную СДУ в виде:

10 Составим характеристическое уравнение введем обозначения

11 Тогда характеристическое уравнение можно записать в виде: Решение этого уравнения имеет следующий вид

12 Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и разные : Отметим, что для устойчивости динамической системы необходимо, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными.

13 Найдем собственные вектора для каждого собственного значения матрицы A. Для значения λ 1 = a алгебраическая система уравнений будет выглядеть следующим образом:

14 или Примем значение h 1 λ1 =1 и определим h 2 λ1 из второго уравнения системы:

15 Собственный вектор для первого собственного значения матри- цы A : Аналогично будет находиться собственный вектор и для второго собственного значения матрицы A :

16 Общее решение однородной СДУ x 0 (t) запишется в виде: или

17 Можно записать отдельно выражения для каждой неизвестной временной функции: И

18 Предположим, что корни характеристического уравнения ком- плексно сопряженные: В этом случае собственный вектор ищется только для одного из этих значений. Найдем собственный вектор для λ 1 = α + jβ :

19 Принимаем h1 λ1 =1 и находим h2 λ1 из второго уравнения системы:

20 Общее решение однородной СДУ в этом случае запишется в виде:

21 Запишем каждую компоненту общего решения отдельно:

22 Найдем составляющие общего решения однородной СДУ. По формуле Эйлера для комплексных чисел:

23 тогда Для разделения вещественной и мнимой частей второй составляющей h2 λ1 собственного вектора домножим числитель и знаменатель h2 λ1 на число, комплексно сопряженное знаменателю h2 λ1 :

24 Учитывая формулу умножения комплексно сопряженных чисел друг на друга, запишем:

25

26 Общее решение однородной СДУ:

27 Вывод Сравнивая результаты общего решения однородной СДУ при действительных и комплексно сопряженных корнях, можно отметить, что в первом случае переходные процессы в ЭМС имеют апериодический характер, а во втором случае – затухающий колебательный.

28 Частное решение СДУ Найдем частное решение неоднородной СДУ при подстановке в исходную СДУ значения t = :

29 Найдем решение этой СЛАУ методом Крамера.

30 Тогда получим Полученное частное решение неоднородной СДУ легко объясняется физически – конденсатор заряжается до напряжения источника питания E, а ток в цепи после окончания переходного процесса становится равным нулю, так как при работе на постоянном токе конденсатор представляет собой разрыв цепи.

31 Этапа определения постоянных интегрирования Нахождение постоянных интегрирования осуществляют путем подстановки в общее решение неоднородной СДУ значения t = 0 и последующего решения получившейся СЛАУ. Решим задачу Коши для обоих случаев собственных значений матрицы A – действительных и комплексно сопряженных

32 Действительные отрица- тельные корни Найдем постоянные интегрирования при действительных отрицательных собственных значениях матрицы A : λ 1 = a, λ 2 = b. Общее решение неоднородной СДУ в этом случае имеет вид

33

34 При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, U C (0) =0. Запишем получившуюся СЛАУ:

35 Перенесем свободные члены: Решим эту СЛАУ методом Крамера:

36

37 тогда Запишем компоненты общего решения неоднородной СДУ: - для тока

38 для напряжения на емкости

39 Комплексные сопряженные корни Определим постоянные интегрирования при комплексно сопряженных корнях характеристического уравнения: λ 1,2 = α ± jβ. Общее решение неоднородной СДУ имеет в этом случае следующий вид:

40 Общее решение неоднородной СДУ

41 При t = 0 и нулевых начальных условиях, то есть i (0) = 0, U C (0) =0. Запишем получившуюся СЛАУ Перенесем свободные члены, а также учтем, что h1 λ1 = 1 и Re(h1 λ 1 ) = 1, Jm(h1 λ1 ) = 0, тогда получим систему линейных дифференциальных уравнений в виде:

42 Решим эту СЛАУ методом Крамера:

43 Тогда

44 Запишем компоненты общего решения СДУ :