Треугольник, простейший и неисчерпаемый. Задачи для подготовки к ЕГЭ. - презентация

1 Треугольник, простейший и неисчерпаемый. Задачи для подготовки к ЕГЭ.

2 Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. В. Произволов

3 Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Содержание. Исторические сведения Справочный материал

4 Задача 1 Стороны треугольника равны 12 м., 16 м., и 20 м.. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла. Дано: A B C ABC - треугольник AB = 12 м. BC = 16 м. AC = 20 м. Найти: BD D

5 Решение задачи 1: A B C D X 2.AD = X 20 - X 2 1.Угол B = 90˚, так как AC = BC + BA 22 3.DC = 20 - X

6 X Решение задачи 1: A B D 4.Рассмотрим треугольник ABD и ВDC C D B BD = 12 - X 222 BD = X(20 – X) 2 12 – X = X(20 – X) 22

7 – X = 20X – X – X – 20X + X = – 20X = 0 7,5 – X = 0 X = 7,2 BD = 7,2(20 – 7,2) = 92,16 2 BD = 9,6 Решение задачи 1:

8 Задача 2 Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника. Дано: MCN – вписанный треугольник MC = 15 Найти: MN M C N D DN = 16 (проекция CN)

9 Решение задачи 2: 90 o M C N D d d = MN = MD + DN MD = x x d = x + DN CD = 15 - x CD = 16 x 2 2

10 Решение задачи 2: 15 - x = x x x + 16x – 225 = 0 2 D = = 1156 x = = -25x = = 9 d = x + DN d = = 25

11 Задача 3 Задача 3 Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Биссектриса АМ треугольника АВС делит сторону СВ на отрезки СМ=10 и МВ = 14, АВ=21. Найдите радиус описанной вокруг треугольника АВС окружности. Дано: CM=10, MB=14, AB=21 Найти : R А С В M O

12 Решение задачи 3: M А С В O 1.Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. = AB BM AC CM = AC 10 AC= 15 2.Радиус описанной окружности найдём по формуле: R= a b c 4 S Где S найдём по формуле Герона S= p(p-a)(p-b)(p-c) 15 Где p= 1 2 (a + b + c) p= ( ) 1 2 p= 30 S= = 90 3 R= = 7 3 Ответ: R= 7 3

13 Задача 4: Дано: ABC, H А B C O BH= 12, BH AC, sin A= sin C= 5 4 Найти: r Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH равна 12 и известно, что Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник ABC, если высота BH равна 12 и известно, что sin A= sin C= 5 4 О – центр, вписанной окружности

14 Решение задачи 4: H А B C O 1. r = S p 2. По определению синуса из BHC, где BHC=90 ( по условию BH AC) sinA = = BH AB AB = 12 : = sinС = = BH BC 4 5 BC = BH : sinC = HC² = BC² - BH² = 225 – 144 = 81 HC = 9 5. AH² = AB² - BH² = 25 AH = 5 6. AC = AH + HC = S = ah = = p = (a + b + c) = r = = 4 84 Ответ : r = 4

15 Задача 5 Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром О. Найдите её радиус, если площадь треугольника BOC равна 16. Дано: АВС, АС- основание, ВАС=75, О – центр описанной окружности, S BОC=16. Найти: R. А В С О D

16 Решение задачи 5 В А С О D 1.Треугольник по условию равнобедренный, проведем высоту BD, она является и медианой, Поэтому точка О принадлежит BD. 2. ОВ=ОС =R, S BOC= 1/2ВО*ОС*sin BOC 3.Треугольник вписан в окружность с центром О, значит ВОС это соответствующий центральный угол вписанного угла А и равен = 1/2 R*R*sin150, sin150 =sin30 =1/2 R=8 Ответ: 8

17 Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2 м, а радиус описанной окружности равен 5 м. Найдите больший катет треугольника Задача 6 Дано: АВС, С=90 r=2 м, R=5м, О 1 - центр вписанной окружности, Найти: больший катет N А ВС О M K О

18 Решение задачи 6 1.О – центр описанной окружности; так как треугольник АСВ прямоугольный, то его гипотенуза является диаметром окружности, угол АСB =90 и является вписанным AB = 2R = 5 2 = 10 м. 2. O - центр вписанной окружности: OK AB; OM AC; ON CB; ON = OK = OM = r = 2м, СМО 1 N - квадрат 3. Отрезки BK и BN равны как отрезки касательных, проведенных из одной точки, аналогично CN = CM; AM = AK; обозначим BK = BN = x; тогда CB = 2 + x; AK = AM = 10 – x; AC = 12 – x. 4. По т. Пифагора AB² = CB² + AC²; 10² = (2 + x)² + (12 –x)² 2x² - 20x + 48 = 0, x² - 10x = 24 = 0, x = 6, x = 4; AC = = 6; CB = = 8м. Ответ: 8м. N А ВС О M K О

19 Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности. Дано: ABC – треугольник P=72 C=90 r = 6 м Найти: d описанной окружности. Задача 7 A C B 6 О M y K y 6 N x x

20 Решение задачи 7: 1.АВС – прямоугольный ; угол C = 90˚, Значит диаметр описанной окружности совпадает с гипотенузой т.е. d=AB 3. Обозначим отрезки BN = BK = x (OK AB) OK=r, ВN=ВК как отрезки касательных AM = MK = y P АВС = AC + AB + CB, но АС = 6+у, АВ = x + у СВ = 6+х P АВС = 6+у+х+у+6+х = 12+2х+2у = 72 (по условию) х + у = (72-12) : 2, х + у = 30, АВ=30 2. О – центр вписанной окружности, ON = ОМ = r = 6 По свойству касательной ON CВ, ОМ ВС ; значит СМ=СN, как отрезки касательных к окружности с центром О, проведенных из одной точки, итак, четырехугольник CMON – квадрат со стороной ОМ = 6. A C B 6 О M y K y 6 N x x Ответ : 30

21 Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м. Найдите площадь треугольника. Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведённая из вершины основания – 24 м. Найдите площадь треугольника. Дано: ABC – треугольник AB=BC AC=3 см AD BC AD=24 см Найти: S ABC AC B X X-DC 24 см D Задача 8

22 Решение задачи 8: 1.S АВС = ½ AD BC Найдём ВС, обозначим АВ = ВС = х, тогда DB = x - DC 2. Из АВС найдём DC DB = x -18 S АВС = ½ = 300 (м ) 2 Ответ: 300 м 2 3. ABD по т. Пифагора имеем: AB = BD + AD ; BD = AB - AD (x – 18) = x x = x = 100 X = DC = 30 – 24 = (30 – 24) ( ) = 18 AC B X X-DC 24 см D

23 Задача 9 В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18. Дано: АВС- равнобедренный, О- центр вписанной окружности DE AC, DE=8 AC=18 В DE A C Найти : r O

24 О В D N E MA C Решение задачи 9 1.Четырехугольник ADEC - описанный, все его стороны касаются окружности с центром О. Стороны такого четырехугольника обладают свойством DE + AC = AD + EC. 2. По условию отрезок DE параллелен АС, а так как треугольник равнобедренный, то AD = CE, значит DE + AC = 2AD. Отсюда AD= Проведем ВМ –высоту треугольника, она является и биссектрисой, значит центр вписанной окружности О лежит на ВМ 4. Из вершины D и Е проведем перпендикуляры. КL 6. Из треугольника ADK : DK = 12, DK=MN =2r, r = KL=DE, AK =LC и AK+LC= 18-8=10 AK = 5. Ответ : 6.

25 Исторические сведения. Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Исторические сведения. Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная фигура; одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII в. до н. э. Фалесом, в школе Пифагора и других; оно было затем полностью изложено в первой книге «Начал» Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Фалес Пифагор / 624 до н. э. прим. 570 до н. э. 624 до н. э.570 до н. э. Евклид II век до н. э. II век до н. э.

26 Справочный материал Проекция катета на гипотенузу- отрезок (часть гипотенузы), соединяющий основание перпендикуляра, опущенного из прямого угла и конец катета, общий с гипотенузой. Окружность, касающаяся всех трех сторон треугольника, называется его вписанной окружностью. Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется его описанной окружностью. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.

27 СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!