Векторная алгебра Умножение векторов. Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению. - презентация

1 Векторная алгебра Умножение векторов

2 Скалярное произведение Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними. Физический смысл. Пусть материальная точка под действием силы перемещается из положения в положение Обозначения :

3 Скалярное произведение Работа силы по перемещению материальной точки равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения. Свойства скалярного произведения Следствия из формулы 4 :

4 Скалярное произведение Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. 7. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Определение перпендикулярных векторов: 90°

5 Скалярное произведение Скалярное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Условие перпендикулярности векторов в координатной форме :

6 Векторное произведение Ориентированные тройки векторов. Рассмотрим три упорядоченных некомпланарных вектора Определение 1. У порядоченная тройка векторов имеет правую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки.

7 Векторное произведение Поменяем порядок векторов и : Изменится ориентация тройки. Определение 2. Упорядоченная тройка векторов имеет левую ориентацию, когда смотришь с конца третьего вектора и кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит по часовой стрелке. Пример. Тройка векторов имеет правую ориентацию. x y z 0 Система координат х, у, z имеет правую ориентацию.

8 Векторное произведение Определение 3. Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, удовлетворяющий трем условиям : Тройка векторов имеет правую ориентацию. Обозначения :

9 Векторное произведение Физический смысл. Пусть к твердому телу, закрепленному в точке А, приложена в точке В сила Момент силы, приложенной в точке В, относительно точки А равен векторному произведению вектора и силы : А В

10 Векторное произведение Пример. Рассмотрим три вектора Найти всевозможные попарные векторные произведения этих векторов. Решение x y z 0

11 Векторное произведение Свойства векторного произведения Геометрический смысл. Модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах:

12 Векторное произведение 5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору: 6.

13 Векторное произведение Векторное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Тогда

14 Смешанное произведение Определение. Смешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых двух векторов, умноженное скалярно на третий вектор: Обозначения: Замечание. Результат смешанного произведения трех векторов является скалярной величиной.

15 Смешанное произведение Свойства смешанного произведения векторов Если поменять местами два соседних сомножителя, то изменится только знак произведения: 3. Циклическая перестановка сомножителей не меняет значение смешанного произведения:

16 Смешанное произведение 4. Геометрический смысл. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах : Знак смешанного произведения определяет ориентацию тройки векторов : если, то тройка имеет правую ориентацию; если, то тройка имеет левую ориентацию.

17 Смешанное произведение 5. Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведение этих векторов равно нулю. Смешанное произведение векторов, заданных в координатной форме. Пусть Д.з. Доказать самостоятельно, используя геометрический смысл Тогда

18 Доказательства Доказательство свойств скалярного произведения Используя свойство 4 и свойства проекций, получим :

19 Доказательства 7. Необходимость. Достаточность.

20 Доказательства Из свойств скалярного произведения следует Значит

21 Доказательства Геометрический смысл векторного произведения.

22 Доказательства Необходимость. Достаточность.