Выполнила ученица 8 класса Козловской СОШ 3 Султанова Ангелина. - презентация

1 Выполнила ученица 8 класса Козловской СОШ 3 Султанова Ангелина.

2 Появление счёта, измерения. Понятие геометрической фигуры. Измерение площадей и объёмов простых фигур и тел. «Начала» Евклида играют роль стандарта математической строгости в течение 2-х тысячелетий. В ХVI-XVIII веках уходит вперёд европейская математика. Разработка математических моделей зависимости(функция). XIX-XX век. Мощь математики и её престиж высоки как никогда прежде.

3 1.Счет, измерение линий, поверхностей, объёмов. 2.Для счёта использовали камешки, верёвки, пальцы рук и т.д. 3.Применяется десятичная система счисления. 4.Операции с числами: сложение, вычитание, умножение, деление. 5.Человек абстрагировал плоские и пространственные формы. 6.Ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров. Измерительный инструмент: мерная верёвка с узлами и пометками. Счётное устройство инков

4 Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии и при строительстве. Основные источники: папирус Ахмеса(84 задачи) и свиток Голенищева. Математика развивалась путём догадок. Математика в Древнем Египте тех лет начинала приобретать теорию. Извлекали корни, возводили в степень, решали уравнения. Иероглиф «куча» обозначал неизвестное число. Египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции, знали точные формулы объёма. После воцарения Птолемеев начинается плодотворный синтез египетской и греческой культур. Иероглифическая запись уравнения

5 Задачи на решение уравнений 2 степени. При решении применялись пропорции, проценты. Использовалась геометрическая терминология(ab- S; abc- V и т.д.). Венцом планиметрии была теорема Пифагора. Использовали 60- ричную систему счисления. Вычисление квадратных корней: a n+1 = (a n + N / a n ) / 2 Полагали, что π = 3 Математика Вавилона была лишена доказательной базы.. В авилонские цифры

6 Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н.э. Запись числа 1946 представлялась как 1M9C4X6. Вычисления производились на счётной доске суаньпань(см. на фото). Нуль обозначался пустым местом. Для запоминания таблицы умножения была специальная песня. Применялся метод фан-чэн для решения систем линейных уравнений. Использовался способ тянь-юань для нахождения корней многочлена. Китайские(вверху) и японские счёты

7 Появление дедуктивной математики. Математическая модель обладала предсказательной силой в области астрономии, оптики, музыки, механики и геометрии. Зачатки анализа у Архимеда, корни алгебры- у Диофанта и т.д. 1.Греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанных на сформулированных законах логики. 2.Провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели- ключ к их познанию. Афинская школа Муза геометри и(лувр).

8 Для цифр сначала была сиро- финикийская система, а VI века до н.э.- написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. После, эти значки стали современными, которые мы называем арабскими. Около 500г н.э. индийский математик изобрёл новую систему записи чисел- десятичную позиционную систему. К V-VI векам в трудах Ариабхаты «Ариабхатиам» встречаются множество вычислительных задач. Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Ариабхата

9 В V веке потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников. Арифметика изучается по учебнику Никомаха Геразского. Беда Достопочтенный занимался календарём, теорией счёта на пальцах. Римский папа под именем Сильвестр II- автор нескольких трудов по астрономии и математике. С XI века появляются первые университеты(Салерно, Болонья). В традиционный квадривиум входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка. С XIV века охотно переводились и издавались «Начала» Евклида. В XII-XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи и начинается её применение. В книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария усматриваются зачатки символической алгебры. Латинский перевод «Начал» Евклида.

10 Первым крупным математиком средневековой Европы стал XIII веке Леонардо Пизанский. Основной его труд: «Книга абака». Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. В XIV веке университеты появляются во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена, Лейпциг и др.) В конце XIV века жил Николай Орезмский- физик, математик, астроном, философ, епископ. Впервые в Европе ввёл изображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость рядов. Немецкий математик и астроном XV века Иоганн Мюллер или Региомонтан напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый тригонометрии. Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, дал ясный набросок алгебраической символики. Страница из «Книги абака».

11 Франсуа Виет окончательно сформулировал символический метаязык арифметики- буквенную алгебру. В своей книге «Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Третье великое открытие XVI века- изобретение логарифмов (Джон Непер). В 1585 году фламандец Симон Стевин издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями. В XVI-XVII веках роль университетской науки падает, появляется множество учёных- непрофессионалов: Стевин- военный инженер, Виет и Ферма- юристы, Дезарг и Рен- архитекторы, Лейбниц- чиновник, Непер, Декарт, Паскаль- частные лица. В математику впервые вошли комплексные числа. Математики XVI века Джон Непер

12 Появилась аналитическая геометрия. Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики- теорию вероятностей. Появился исключительно могучий инструмент исследования- математический анализ. Теория отрицательных чисел всё ещё находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1)=(-1):1- в ней первый член слева больше второго, а справа наоборот, и получается, что большее равно меньшему («парадокс Арно»). В XVII веке Даламбер и Эйлер установили, что комплексные числа замкнуты относительно всех операций, включая извлечение корня любой степени. Геометрические измерения

13 Впервые появилась математическая физика. В науке, благодаря Ньютону, царила механика. Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. Далеко продвинулись теория и техника интегрирования. Входят в широкое употребление кратные интегралы (Эйлер, Лагранж). Сформировалось понятие краевой задачи, возникли первые методы её решения. В конце XVIII века было положено начало общей теории Потенциала (Лагранж, Лаплас, Лежандр). Вскоре Лаплас ввёл важный класс ортоганальных сферических функций. Лидером математиков XVIII века был Эйлер. Он сделал из анализа совершенный инструмент исследования, обогатил ассортимент функций, продвинул практически все области математики. Ж.Л.Лагранж

14 Стремительно развивается линейная алгебра. Де Муавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение. Лагранж выяснил, что «истинная метафизика уравнений- теория подстановок». В геометрии появляются новые разделы: дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, начертательная геометрия (Монж), проективная геометрия (Лазар Карно). Ведущую роль играет Парижская академия. В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» Монтюкла. Расширяется издание научно- популярной литературы. Нормальное и биномиальное распределения. Подсчёт определителя по Крамеру. Эйлер на почтовой марке.

15 В геометрии, алгебре, анализе появляются многочисленные нестандартные структуры с необычными свойствами: неевклидовы и многомерные геометрии, кватернионы, конечные поля и т.п. Объектами математического исследования становятся нечисловые объекты: события, предикаты, множества, векторы, функции и т.д. Возникает и получает широкое развитие математическая логика. Георг Кантор вводит в математику предельно абстрактную теорию множеств, а заодно понятие актуальной бесконечности произвольного масштаба. Математика вновь становится университетской наукой. Появляются первые математические общества: Лондонское, Американское, Московское, а также общества в Палермо и Эдинбурге. Неевклидовы геометрии

16 Появляются новые разделы: векторное исчисление и векторный анализ, геометрия Лобачевского, многомерная риманова геометрия. Возникает алгебраическая геометрия. В трудах Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях» были явно определены метрика и внутренняя геометрия поверхности. Крупнейшим достижением стало введение понятия вектора и векторного поля. Первым векторы ввёл У.Гамильтон в связи со своими кватернионами. У Гамильтона уже появилось скалярное и векторное произведение. Сверх того Гамильтон ввёл дифференциальный оператор («набла»). Карно сформулировал принцип двойственности (прямых и точек на плоскости). Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной формы, обобщил теорию поверхностей Гаусса.

17 Во второй половине XIX века наконец привлекает общее внимание геометрия Лобачевского. В самом конце века рождается топология, сначала под названием analysis situs. Окончательно комбинаторная топология оформилась в работах Пуанкаре ( ). Жан-Виктор Понселе Н.И.Лобачевский Соприкасающаяся плоскость для для кривой и три вектора Френе.

18 Анализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции. Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа (Коши, затем Вейерштрасс). Благодаря Коши анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Широчайшее развитие получила теория аналитических функций, над которой работали Лаплас, Коши, Абель, Якоби и другие. Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна. К концу XIX века появляются векторный анализ и тензорный анализ. Гомеоморфизм топологии кружки и тора. Пример Вейерштрасса: всюду непрерывна, но нигде не дифференцируемая функция.

19 Гаусс дал первое безупречное доказательство основной теоремы алгебры. Жозеф Луивилль доказал существование бесконечного количества трансцендентных чисел (1844, подробнее в 1851). В 1873 году Шарль Эрмит публикует доказательство трансцендентности числа Эйлера. У.Гамильтон открыл удивительный некоммутативный мир кватернионов. Возникла геометрическая теория чисел. (Минковский) Галуа завершил работы Абеля, доказавшего, что уравнения степени выше 4-й неразрешимы в радикалах. Быстро развивается абстрактная алгебра. К 1870 году доказаны все базовые теоремы линейной алгебры. В 1871 году Дедекинд вводит понятия кольца, модуля и идеала. Дедекинд и Кронекер создают общую теорию делимости. В конце XIX века в математику входят группы Ли. Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл кватернионы».

20 На первое место выходят теория ошибок, статистика и физические приложения. Этим занимались Гаусс, Пуассон, Коши. Благодаря работам Карла Пирсона возникает математическая статистика с проверкой гипотез и оценкой параметров. Гильберт в начале XX века отнёс математические основы теории вероятностей к прикладной физике. Карл Пирсон

21 Создание алгебры логики повторилось на новой основе: концепция множество истинности позволила построить математическую логику как теорию классов, с теоретико-множественными операциями. Пионерами стали Август де Морган и Джордж Буль. В 1847 году де Морган описал понятие универсума, ввёл общее понятие математического отношения. Джордж Буль в своих работах годов заложил основы современной математической логики и описал алгебру логики. Чарльз Пирс в конце XIX века изложил общую теорию отношений и пропозициональных функций, а также ввёл кванторы. Законы де Моргана в символике их автора.

22 В 1821 году Коши опубликовал «Алгебраический анализ», где чётко определил основные понятия на основе концепции предела. 1837: Уильям Гамильтон строит модель комплексных чисел как пар вещественных. 1888: Дедекинд предлагает набросок системы аксиом для натуральных чисел. 1899: выходят в свет «Основания геометрии» Гильберта. Аксиоматический фундамент для теории вероятностей и теории множеств появился позже, в XX веке. Огюстен Луи Коши

23 Кантор Георг ввёл в математику актуальную бесконечность. Теория множеств рассматривалась как основа будущей аксиоматики всей математики. Анри Пуанкаре отверг теорию множеств и назвал её «тяжёлой болезнью математики». В начале XX века удалось согласовать вариант теории множеств, свободный от обнаруженных ранее противоречий (теория классов). Анри Пуанкаре Георг Кантор

24 Л.Ф.Магницкий написал учебник арифметики в 1703 году. Автор в учебнике изложил материал ясно, с многочисленными примерами и пояснениями. В начале XIX века было создано Министерство народного просвещения. Возникли учебные округа и стали открываться гимназии во всех крупных городах России. В XIX веке молодая российская математика уже выдвинула учёных мирового уровня: М.В.Остроградский, В.Я.Буняковский и мн.др. Н.И.Лобачевский в XIX веке выступил против догмата евклидовости пространства. Он построил геометрию Лобачевского и глубоко исследовал её необычные свойства. П.Л.Чебышёв сделал открытия в областях математики-теории чисел, теории вероятностей. А.А.Марков известен первоклассными работами по теории вероятностей. К концу XIX века формируются две активные отечественные математические школы- московская и петербургская.

25 В 1900 г. Давид Гильберт на Международном конгрессе математиков представил список из 23 нерешённых математических проблем. Сегодня 10 проблем решены,7 частично решены и 2 всё ещё открыты. В школе Гильберта появился функциональный анализ. В начале века Эмми Нётер и Ван дер Варден завершили построение основ абстрактной алгебры. Лебег и Борель обобщили жорданову теорию меры; на её основе был построен интеграл Лебега. Герман Минковский в 1907 г. разработал геометрическую модель кинематики специальной теории относительности, позднее послужившую основой для Общей теории относительности. В 1910-х годах Рамануджан сформулировал более чем 3000 теорем. В 1931 году Курт Гёдель опубликовал 2 свои теоремы о неполноте. Капитальные результаты получены в теории алгоритмов. Было доказано, что теорема может быть правильной, но алгоритмически неподдающейся.

26 В 1933 году А.Н.Колмогоров завершил аксиоматику теории вероятностей. В 1960-х годах Абрахам Робинсон опубликовал изложение нестандартного анализа. В 1963 году Пол Коэн доказал, что континуум- гипотеза Кантора недоказуема. Во второй половине XX века, в связи с появлением компьютеров, выросла роль таких разделов, как численные методы, теория оптимизации, имитация искусственного интеллекта, кодирование звуковых и видеоданных и т.д. Возникли новые науки- кибернетика и информатика. Эндрю Уайлс, работая один в своём офисе в течение многих лет, доказал последнюю теорему Ферма в 1995 году. «Арифметика» Магницкого

27 П.Л.Чебышёв Давид Гильберт Абрахам Робинсон Норберт Винер С.А.Рамануджан