Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с началом координат О и направляющим вектором. Эта прямая в данном случае будет называться. - презентация

1 Полярные координаты Пусть на плоскости задана координатная прямая с началом координат О и направляющим вектором. Эта прямая в данном случае будет называться полярной осью. Полярными координатами точки А на плоскости с заданной полярной осью называется пара (r,φ), где r - расстояние от точки А до точки О, φ - угол между полярной осью и вектором, отсчитываемый в направлении против часовой стрелки. При этом первая координата r называется полярным радиусом, а вторая φ - полярным углом. Полярный угол φ можно задавать в градусах или радианах.

2 Полярные координаты Если на плоскости задана декартова система координат, то обычно за полярную ось принимается ось Ox. В этом случае каждой точке плос­кости с декартовыми координатами (x,y) можно сопоставить полярные координаты (r,φ). При этом декартовы координаты выражаются через полярные по формулам И, наоборот, полярные координаты выражаются через декартовы по формулам

3 Окружность Окружность радиуса R и центром в точке О задается уравнением r = R.

4 Спираль Архимеда Спираль Архимеда - кривая, задаваемая уравнением r = aφ, где a - некоторое фиксированное число. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa. Действительно, если угол φ увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается на 2πa, что и составляет расстояние между соседними витками.

5 Логарифмическая спираль Логарифмическая спираль задается уравнением в полярных координатах r = a φ, где a - некоторое фиксированное положительное число, φ - угол, измеряемый в радианах. Геометрическим свойством этой спирали является то, что каждый следующий ее виток подобен предыдущему. Действительно, если угол увеличивается на 2π, т.е. точка делает один оборот против часовой стрелки, то радиус увеличивается в a 2π раз. Это означает, что следующий виток подобен предыдущему, и коэффициент подобия равен a 2π.

6 Трилистник Трилистник – кривая, задаваемая уравнением r = sin 3φ.

7 Упражнение 1 Для следующих точек с заданными полярными координатами найдите их декартовы координаты: Ответ:

8 Упражнение 2 Для следующих точек с заданными декартовыми координатами найдите их полярные координаты: а) ; б) B(-10,0) ; в) ; г). Ответ: а) A(2, 45 о ); б) B(10, 180 о ); г) D(2, 150 о ). в) C(2, -60 о );

9 Упражнение 3 Могут ли разным полярным координатам соответствовать одинаковые точки на плоскости? Ответ: Да.

10 Упражнение 4 Найдите геометрическое место точек на плоскости, для которых: а) полярный радиус r постоянен и равен r 0 ; б) полярный угол φ постоянен и равен φ 0. Ответ: а) Окружность; б) луч.

11 Упражнение 5 Центром правильного шестиугольника является начало координат. Одна из его вершин имеет полярные координаты (1, 0). Найдите полярные координаты остальных вершин. Ответ: (1, 60 о ), (1, 120 о ), (1, 180 о ), (1, 240 о ), (1, 300 о ).

12 Упражнение 6 Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = -φ. Ответ:

13 Упражнение 7 Нарисуйте пятилепестковую розу - кривую, задаваемую уравнением r = sin 5φ. Ответ:

14 Упражнение 8 Нарисуйте гиперболическую спираль - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

15 Упражнение 9 Нарисуйте спираль Гилилея - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

16 Упражнение 10 Нарисуйте Жезл - кривую, задаваемую уравнением Ответ:

17 Упражнение 11 Нарисуйте «заячью капусту»- кривую, задаваемую уравнением Ответ:

18 Упражнение 12 Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением Ответ: