Построение некоторых типов нелинейных моделей. Нелинейные модели Линейные модели двух типов: - линейные по переменным - линейные по параметрам Примеры. - презентация

1 Построение некоторых типов нелинейных моделей

2 Нелинейные модели Линейные модели двух типов: - линейные по переменным - линейные по параметрам Примеры. 1. Линейная модель множественной регрессии: Является линейной как по переменным, так и по параметрам 2. Производственная функция Кобба-Дугласа: Является нелинейной как по переменным, так и параметру а 1

3 Основные типы нелинейных моделей 1.Обобщенная модель нелинейная по переменным 2. Степенные функции 3. Показательные функции (1) (2) (3)

4 Обобщенная модель нелинейная по переменным Линеаризация обобщенной нелинейной модели 1. Вводятся новые переменные: 2. Подставляя новые переменные в модель (1), получим модель линейную по переменным z: (1.1) (1.2) 3. После оценки параметров модели делается обратный переход к модели (1.1)

5 Обобщенная модель нелинейная по переменным Примеры. 1. Полиномиальные модели: Новые переменные: После перехода к новым переменным получается линейная модель множественной регрессии: Оценка и анализ проводится уже известными методами (1.3)

6 Обобщенная модель нелинейная по переменным 1.Полиномиальные модели: Параболические модели широко применяются - при моделировании средних и предельных издержек в зависимости от объема выпуска продукции - при моделировании зависимости прибыли предприятия от расходов на рекламу Кубические модели – при моделировании общих издержек в зависимости от объема выпуска продукции

7 Обобщенная модель нелинейная по переменным 2. Модели гиперболического типа Новая переменная: В результате подстановки получим уравнение парной регрессии в виде: (1.4)

8 Обобщенная модель нелинейная по переменным Модели параболического вида нашли применение при моделировании: - зависимости спроса от цен - зависимости спроса от дохода (кривые Энгеля) - спрос на предметы роскоши от дохода (функции Торнквиста) - уровня относительного изменения заработной платы в зависимости от относительного изменения уровня безработицы (кривая Филлипса)

9 Пример построения функции Энгеля Се- м ь я Потребл ение в фунт ах (Y) Доход в (тыс$) (Z) 11,9311,000 27,1320,500 38,7830,333 49,6940, ,0950, ,4260, ,6270, ,7180, ,7990, ,13100, Построение линейной модели парной регрессии

10 Пример построения функции Энгеля Се- м ь я Потребл ение в фунта х (Y) Доход в (тыс $) (Z) 11,9311,000 27,1320,500 38,7830,333 49,6940, ,0950, ,4260, ,6270, ,7180, ,7990, ,13100, Построение гиперболической модели

11 Пример построения функции Энгеля Меняется экономический смысл параметров модели: -Линейная модель а 0 – минимально необходимое потребление, а 1 – предельное потребление - Гиперболическая модель: а 0 – максимальное потребление, а 1 – экономической интерпретации не имеет Предельное потребление равно: Эластичность:

12 Пример временного ряда 3. Временные ряды (динамические модели) Например вида: где f(t) – функция временного тренда T – период внутри которого производится моделирование

13 Степенные модели Степенная модель нелинейна по параметрам 1. Метод линеаризации – логарифмирование с последующим введением новых переменных: 2. Вводятся новые переменные и параметры: В новых переменных исходное уравнение принимает вид уравнения множественной регрессии: (2.1) (2.2) (2.3)

14 Степенные модели 3. Оцениваются параметры b 0, b 1, b 2 – методом наименьших квадратов и проверяются гипотезы о выполнении предпосылок теоремы Гаусса-Маркова для модели (2.3) 4. Осуществляется возврат к исходной модели (2.1): В частном случае, когда в модели присутствует одна экзогенная переменная модель называют двойной логарифмической

15 Экономическая интерпретация параметров двойной логарифмической модели Двойная логарифмическая модель: (2.4) Дифференцируем (2.4) по х Откуда получаем, что: Параметр а 1 имеет смысл эластичности переменной Y по переменной x

16 Степенные модели Виды кривых, описываемых с помощью степенных моделей Степенные модели применяются при моделировании объектов с постоянной эластичностью

17 Пример применения степенной модели Потреб ление в Фунтах (Y) Доход в (тыс $) (Х) Z= ln(x) Y*= ln(Y) 1,9310,0000,658 7,1320,6931,964 8,7831,0992,172 9,6941,3862,271 10,0951,6092,312 10,4261,7922,344 10,6271,9462,363 10,7182,0792,371 10,7992,1972,379 11,13102,3032,410 Модель:

18 Показательные функции в моделях Показательная (экспоненциальная) Модель (3.1) 1. Метод линеаризации - логарифмирование 2. Введение новых переменных и параметров: 3. Оценка линейной регрессионной модели 4. Обратный переход к исходной модели (3.1) (3.2)

19 Показательные функции в моделях Экономическая интерпретация коэффициентов модели Дифференцируем уравнение (3.1) по Х Экономический смысл коэффициента а 1 в модели (3.1) – темп роста переменной Y Коэффициент а 0 – начальное значение переменной Y Показательные функции находят применение при моделировании процессов с постоянным темпом роста

20 Полулогарифмические модели Экспоненциальную модель (3.1) в виде (3.2) называют также полулогарифмической. К полуэкспоненциальным относят также модель вида: С помощью моделей вида (3.3) описывают процессы, обладающие свойством насыщения. Например, кривые Энгеля для товаров повседневного спроса. (3.3)

21 Кинематические функции Перла-Рида Вид функции: 1. Способ линеаризации - логарифмирование 2. Вод новых переменных 3. Переход к модели множественной регрессии в новых переменных (4.1) (4.2) (4.3)

22 Сложная экспоненциальная модель Общий вид модели Линеаризация в два этапв: 1. Логарфмирование После введения переменной Y*=ln(Y), получится модель типа (1.1) (5.1) (5.2)